Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - Toán 12 Cùng k..

Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Cùng khám phá

1. Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 4\), trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = 3.

Giải:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:

\(S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} = S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} + S = \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx} \)

\(\int\limits_{ - 2}^2 {({x^2} - 4)dx} + \int\limits_2^3 {({x^2} - 4)dx} = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 2}\end{array} + } \right.\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3\\2\end{array}} \right. = 13\) (đvdt).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \)

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} - 2\), \(y = x\) và các đường thẳng x = -1, x= 2.

Giải:

Ta có \(x \ge {x^2} - 2\) với \(x \in [ - 1;2]\).

Diện tích hình phẳng đã cho là:

\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {{x^2} - 2 - x} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + 2 + x} \right)dx} = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\{ - 1}\end{array}} \right. = \frac{9}{2}\) (đvdt).

Chú ý:

Nếu hàm số f(x) – g(x) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì:

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} = \left| {\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} } \right|\).

2. Tính thể tích vật thể

Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức

\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \)

Ví dụ: Hãy sử dụng tích phân tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S (không đổi) và chiều cao h.

Giải:

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, hai đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox tại x= 0, x = h.

Khi cắt khối lăng trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x \((a \le x \le b)\), thì phần chung giữa mặt phẳng và khối lăng trụ là một hình phẳng có diện tích\(S(x) = S\) không đổi.

Thể tích khối lăng trụ là:

\(V = \int\limits_0^h {S(x)dx} = \int\limits_0^h {Sdx} = (Sx)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}h\\0\end{array}} \right. = Sh\) (đvdt).

Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng quay quanh trục hoành \(y = {x^2} - 2x\), y = 0, x = 2.

Giải:

Thể tích khối tròn xoay là:

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{{({x^2} - 2x)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {({x^4} - 4{x^3} + 4{x^2})dx} \)

\( = \pi \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + \frac{4}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2\\0\end{array}} \right. = \frac{{16\pi }}{{15}}\) (đvdt).

Ví dụ 2: Hình vẽ mô phòng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số \(y = \sqrt x + \frac{3}{2}\) với \(0 \le x \le 4\) quanh trục hoành. Tính thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimét.

Giải:

Thể tích phần trong của chậu cây là:

\(V = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {\sqrt x + \frac{3}{2}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^4 {{{\left( {x + 3{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{9}{4}} \right)}^2}dx} = \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} + 2{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{4}x} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4\\0\end{array}} \right. = 33\pi \) (\(d{m^3}\)).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = x - 3), trục hoành và các đường thẳng (x = 1) và (x = 6).
Giải mục 2 trang 26, 27, 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho một khối nón có đỉnh \(O\), chiều cao bằng 8, bán kính đáy bằng 3, và có trục trùng với Ox. Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x\) (\(0 \le x \le 8\)) thì phần chung giữa mặt phẳng và khối nón là một hình tròn có diện tích \(S(x)\) thay đổi theo \(x\) (Hình 4.19) (khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón kể cả hình nón đó).
Giải bài tập 4.19 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng được gạch chép trong Hình 4.26.
Giải bài tập 4.20 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như Hình 4.27 và diện tích hai phần \[A,{\rm{ }}B\] lần lượt bằng 11 và 2. Tính \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\).
Giải bài tập 4.21 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {e^x},y = 0,x = 0,x = 2\); b) \(y = 2{x^2},y = - 1,x = 0,x = 1\); c) \(y = {x^2} - 4,y = 2x - 4,x = 0,x = 2\).
Giải bài tập 4.22 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 6x - 5\) và trục hoành. (Hình 4.28) a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\). b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(S\) theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.
Giải bài tập 4.23 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính thể tích \(V\) của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = 3\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((1 \le x \le 3)\)thì phần chung giữa chúng là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(3x - 2\).
Giải bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\). b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Giải bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} \) và trục hoành với \( - 4,35 \le x \le 4,35\) quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và \(x,y\) tính theo centimét.