Giải bài tập 4.22 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 6x - 5\) và trục hoành. (Hình 4.28) a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\). b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(S\) theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.

Đề bài

Gọi \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y = - {x^2} + 6x - 5\) và trục hoành. (Hình 4.28)

a) Tính diện tích \(S\) của hình \((H)\).

b) Từ thế kỉ thứ III trước Công nguyên, khi phép tính tích phân chưa ra đời, Archimedes đã dùng phương pháp của riêng mình và chỉ ra rằng diện tích của hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Tính \(S\) theo kết quả mà Archimedes đã tìm ra và so sánh với kết quả ở câu a.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định của hàm \(y = f(x)\) trên đoạn từ giao điểm của parabol với trục hoành.

Bước đầu tiên là tìm nghiệm của phương trình \[y = 0\] (giao điểm với trục hoành).

Sau đó, sử dụng tích phân xác định để tính diện tích hình phẳng.

Diện tích của tam giác \(ABC\) được tính theo công thức diện tích tam giác.

Sau đó, sử dụng kết quả mà Archimedes đã chỉ ra: Diện tích hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích của tam giác \(ABC\)

Lời giải chi tiết

- Phương trình parabol là:

\(y = - {x^2} + 6x - 5.\)

- Tìm nghiệm của phương trình \(y = 0\):

\( - {x^2} + 6x - 5 = 0\quad \Rightarrow \quad x = 1,{\mkern 1mu} x = 5.\)

- Diện tích hình phẳng \(S\) được tính bằng tích phân:

\(S = \int_1^5 {( - {x^2} + 6x - 5)} {\mkern 1mu} dx.\)

Tính tích phân:

\(S = \left[ { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} - 5x} \right]_1^5 = \left( { - \frac{{125}}{3} + 50} \right) - \left( { - \frac{1}{3} - 2} \right) = \frac{{32}}{3}.\)

Vậy diện tích hình phẳng \(S = \frac{{32}}{3}\).

- Diện tích tam giác \(ABC\) với \(A(3,4)\), \(B(1,0)\), và \(C(5,0)\) là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8.\)

- Theo Archimedes, diện tích hình \((H)\) bằng \(\frac{4}{3}\) lần diện tích tam giác \(ABC\):

\(S = \frac{4}{3} \times 8 = \frac{{32}}{3}.\)

Kết quả này khớp với kết quả của câu a.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 4.23 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính thể tích \(V\) của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = 3\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((1 \le x \le 3)\)thì phần chung giữa chúng là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(3x - 2\).
Giải bài tập 4.24 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành: a) \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = \frac{\pi }{2}\). b) \(y = {x^2} - 3x\), \(y = 0\), \(x = 0\), \(x = 3\).
Giải bài tập 4.25 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Người ta tạo ra mô hình một quả trứng ngỗng bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{30}}\sqrt {7569 - 400{x^2}} \) và trục hoành với \( - 4,35 \le x \le 4,35\) quanh trục hoành. Tính thể tích quả trứng, biết thể tích mô hình này xem như bằng thể tích quả trứng ngỗng và \(x,y\) tính theo centimét.
Giải bài tập 4.21 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) \(y = {e^x},y = 0,x = 0,x = 2\); b) \(y = 2{x^2},y = - 1,x = 0,x = 1\); c) \(y = {x^2} - 4,y = 2x - 4,x = 0,x = 2\).
Giải bài tập 4.20 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị như Hình 4.27 và diện tích hai phần \[A,{\rm{ }}B\] lần lượt bằng 11 và 2. Tính \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\).
Giải bài tập 4.19 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính diện tích hình phẳng được gạch chép trong Hình 4.26.
Giải mục 2 trang 26, 27, 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho một khối nón có đỉnh \(O\), chiều cao bằng 8, bán kính đáy bằng 3, và có trục trùng với Ox. Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x\) (\(0 \le x \le 8\)) thì phần chung giữa mặt phẳng và khối nón là một hình tròn có diện tích \(S(x)\) thay đổi theo \(x\) (Hình 4.19) (khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón kể cả hình nón đó).
Giải mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = x - 3), trục hoành và các đường thẳng (x = 1) và (x = 6).
Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Cùng khám phá
1. Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b