Hàm số tuần hoàn và chu kì của hàm số - Toán 11

a) Khái niệm

Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi \(x \in D\), ta có \(x \pm T \in D\) và \(f(x + T) = f(x)\).

b) Cách xét tính tuần hoàn của hàm số

Sử dụng định nghĩa hàm số tuần hoàn.

Bước 1: Dự đoán số thực T sao cho \(x \in D\), ta có \(x \pm T \in D\) và \(f(x + T) = f(x)\).

Bước 2: Kết luận tính tuần hoàn của hàm số.

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng các hàm số y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx đều là các hàm số tuần hoàn.

Ví dụ minh hoạ:

Xét tính tuần hoàn của hàm số y = sinx và hàm số y = tanx.

Giải:

\(\sin x = \sin (x + 2\pi )\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên y = sinx là hàm số tuần hoàn.

\(\tan x = \tan (x + \pi )\) với mọi \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\) nên y = tanx là hàm số tuần hoàn.

a) Khái niệm

Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện

+ \(\forall x \in D\), ta có \(x \pm T \in D\);

+ \(f(x + T) = f(x)\);

được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn.

b) Cách tìm chu kì của hàm số lượng giác

Hàm số y = k.sin(ax + b) có chu kì là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\).

Hàm số y = k.cos(ax + b) có chu kì là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}\).

Hàm số y = k.tan(ax + b) có chu kì là \(T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}\).

Hàm số y = k.cot(ax + b) có chu kì là \(T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}\).

Hàm số y = f(x) có chu kì \({T_1}\), hàm số y = g(x) có chu kì \({T_2}\) thì chu kì của hàm số \(y = a.f(x) + b.g(x)\) là T = BCNN của \({T_1}\) và \({T_2}\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Chu kì của hàm số y = 2tan(2x – 100) là \(T = \frac{\pi }{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi }{2}\).

2) Chu kì của hàm số \(y =  - \pi .\sin (4x - 2998)\) là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 4 \right|}} = \frac{\pi }{2}\).

3) Xét hàm số \(y = \sin (2x - \pi ) + \frac{1}{2}\tan (x + \pi )\).

Hàm số \(f(x) = \sin (2x - \pi )\) có chu kì \({T_1} = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi \).

Hàm số \(g(x) = \frac{1}{2}\tan (x + \pi )\) có chu kì \({T_2} = \frac{\pi }{{\left| 1 \right|}} = \pi \).

Vậy chu kì của hàm số \(y = \sin (2x - \pi ) + \frac{1}{2}\tan (x + \pi )\) là \(T = \pi \).