Từ điển Toán 11 | Các dạng bài tập Toán 11 Giới hạn của hàm số - Từ điển môn Toán 11

Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực - Toán 11

1. Định nghĩa giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

- Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; + \infty )\).

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là \( + \infty \) khi \(x\) dẫn tới vô cực nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to  + \infty \), ta có \(f({x_n}) \to  + \infty \).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty \) hay \(f(x) \to  + \infty \) khi \(x \to  + \infty \).

- Các trường hợp \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) =  - \infty \) được định nghĩa tương tự.

2. Một số quy tắc cần nhớ liên quan đến giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

Ta có các giới hạn thường dùng sau:

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^k} =  + \infty \) với \(k\) nguyên dương;

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  + \infty \) nếu \(k\) là số nguyên dương chẵn;

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^k} =  - \infty \) nếu \(k\) là số nguyên dương lẻ.

3. Ví dụ minh hoạ về giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

1) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3}\).

Giải:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {x^3} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^3} =  - \infty \).

2) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^2} + 1)\).

Giải:

Viết \({x^2} + 1 = {x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right).\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {x^2} =  + \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 1 + 0 = 1\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^2} + 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \right] =  + \infty .\)