Hàm số liên tục là tại một điểm, trên một đoạn - Toán 11

a) Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và \({x_0} \in (a;b)\). Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

Nhận xét: Hàm số f(x) không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại \({x_0}\).

b) Hàm số liên tục trên một đoạn

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu mà hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu hàm số đó liên tục trên khoảng (a;b) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a)\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).

Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a;b], [a;b), \(\left( {a; + \infty } \right)\), \(\left[ {a; + \infty } \right)\), \(\left( { - \infty ;a} \right)\), \(\left( { - \infty ;a} \right]\), \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) được định nghĩa tương tự.

Nhận xét: Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng là “đường liền” trên khoảng đó.

a) Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản

- Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx liên tục trên \(\mathbb{R}\).

- Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y = tanx, y = cotx liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

- Hàm căn thức \(y = \sqrt x \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

b) Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

- Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại \({x_0}\).

- Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại \({x_0}\) nếu \(g({x_0}) \ne 0\).

1) Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) tại điểm \({x_0} = 2\).

Giải:

Rõ ràng hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \{ 1\} \), do đó \({x_0} = 2\) thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 3 = f(2)\). 

Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 2\).

2)

a) Hàm số \(f(x) = 2x + 3\) có liên tục trên đoạn [3; 4] hay không?

b) Hàm số \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) (\(x \ne 2\)) có liên tục trên khoảng (1; 3) hay không?

Giải:

a) Với mỗi \({x_0} \in (3;4)\), ta có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} (2x + 3) = 2{x_0} + 3 = f({x_0})\). 

Ta lại có: 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} (2x + 3) = 9 = f(3)\); 

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} (2x + 3) = 11 = f(4)\).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn [3; 4].

b) Hàm số \(f(x) = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) không xác định tại \(x = 2\) nên hàm số không liên tục tại \(x = 2\).

Do \(2 \in (1;3)\) nên hàm số đã cho không liên tục trên khoảng (1; 3).

3) Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\\a\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{khi}\\{khi}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 3}\\{x = 3}\end{array}\). Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\). 

Giải:

Do \(f(x) = x + 1\) nếu \(x \ne 3\) nên hàm số đó liên tục trên mỗi khoảng \(( - \infty ;3)\) và \((3; + \infty )\). 

Với x = 3 thì f(3) = a. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 1) = 3 + 1 = 4\). 

Vậy hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 3 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = f(3) \Leftrightarrow a = 4\).

4) Cho hàm số \(f(x) = {x^3} + 2x + \frac{6}{{x - 2}}\).

a) Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 3.

b) Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên tập xác định của hàm số đó.

Giải:

Tập xác định hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

a) Ta thấy:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^3} + 2x + \frac{6}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {x^3} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (2x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{6}{{x - 2}} = {3^3} + 2.3 + \frac{6}{{3 - 2}} = f(3)\).

Vậy hàm số f(x) liên tục tại x = 3.

b) Hàm số \(g(x) = {x^3} + 2x\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Do đó, hàm số \(g(x)\) liên tục trên mỗi khoảng \(( - \infty ;2)\) và \((2; + \infty )\).

Hàm số \(h(x) = \frac{6}{{x - 2}}\) là hàm số phân thức hữu tỉ liên tục trên mỗi khoảng xác định \(( - \infty ;2)\) và \((2; + \infty )\). Vậy hàm số \(f(x) = g(x) + h(x)\) liên tục trên mỗi khoảng \(( - \infty ;2)\) và \((2; + \infty )\).