Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ - Toán 11

Cho số thực a dương và số hữu tỉ \(r = \frac{m}{n}\), trong đó m là một số nguyên và n là số nguyên dương. Luỹ thừa của a với số mũ r, kí hiệu là \({a^r}\), xác định bởi \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như luỹ thừa với số mũ nguyên.

Với \(a \ne 0\), \(b \ne 0\) và m, n là các số hữu tỉ, ta có:

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\);

\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\);

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\);

\({(ab)^m} = {a^m}{b^m}\);

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\).

Chú ý:

+ Nếu a > 1 thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m > n.

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m < n.

1) Biểu thị các luỹ thừa sau đây dưới dạng căn thức:

a) \({2^{\frac{1}{3}}}\);

b) \({5^{ - \frac{2}{3}}}\).

Giải:

a) \({2^{\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{2}\);

b) \({5^{ - \frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{5^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{{5^2}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{1}{{25}}}}\).

2) Tính:

a) \({16^{\frac{2}{3}}}\);

b) \({8^{ - \frac{2}{3}}}\).

Giải:

a) \({16^{\frac{2}{3}}} = \sqrt {{{16}^3}}  = \sqrt {{{\left( {{4^2}} \right)}^3}}  = \sqrt {{{\left( {{4^3}} \right)}^2}}  = {4^3} = 64\);

b) \({8^{ - \frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{8^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^3}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^{ - 2}}} \right)}^3}}} = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\).