Cách rút gọn biểu thức chứa luỹ thừa - Toán 11

Sử dụng phối hợp linh hoạt các tính chất của luỹ thừa.

Với a, b là các số thực dương và m, n là các số thực, ta có:

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\);

\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}\);

\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}}\);

\({(ab)^m} = {a^m}{b^m}\);

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}\).

Chú ý:

+ Nếu a > 1 thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m > n.

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({a^m} > {a^n}\) khi và chỉ khi m < n.

1) Rút gọn các biểu thức:

a) \(P = {a^{\sqrt 2 }} \cdot {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}}\) với \(a > 0\);

b) \(Q = {a^{\frac{7}{3}}}:\sqrt[3]{a}\) với \(a > 0\);

\(K = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[4]{x}}}\) với \(x > 0\);

\(M = {x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}\) với \(x > 0\).

Giải:

a) \(P = {a^{\sqrt 2 }} \cdot {\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}} = {a^{\sqrt 2 }} \cdot {a^{ - \sqrt 2  + 1}} = {a^{\sqrt 2  - \sqrt 2  + 1}} = a\).

b) \(Q = {a^{\frac{7}{3}}}:\sqrt[3]{a} = {a^{\frac{7}{3}}}:{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{7}{3} - \frac{1}{3}}} = {a^2}\).

c) \(K = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}}\sqrt[6]{x}}}{{\sqrt[4]{x}}} = \frac{{{x^{\frac{1}{3}}} \cdot {x^{\frac{1}{6}}}}}{{{x^{\frac{1}{4}}}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4}}} = {x^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{x}\).

d) \(M = {x^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x \).

2) Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Cho a là một số thực dương. Viết biểu thức \(P = {a^{\frac{3}{5}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}\) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ.

b) Viết biểu thức \(P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{x}}}\) (x > 0) dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ.

Giải:

1) \(P = {a^{\frac{3}{5}}}.\sqrt[3]{{{a^2}}} = {a^{\frac{3}{5}}}.{a^{\frac{2}{3}}} = {a^{\frac{3}{5} + \frac{2}{3}}} = {a^{\frac{{19}}{{15}}}}\).

2) \(P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{x}}} = \sqrt[3]{{x.{x^{\frac{1}{4}}}}} = {\left( {{x^{\frac{5}{4}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {x^{\frac{5}{{12}}}}\).