Cách so sánh luỹ thừa - Toán 11

Đưa về cùng cơ số.

+ Nếu a > 1 thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m > n\).

+ Nếu 0 < a < 1 thì \({a^m} > {a^n} \Leftrightarrow m < n\).

1) Thực hiện các yêu cầu sau:

a) Cho \(A = {199^{2023}}\), \(B = {\sqrt {199} ^{2024}}\). So sánh A, B.

b) Sắp theo \(A = {3^{4999}}\), \(B = {11^{4001}}\) và \(C = {1331^{1000}}\) theo thứ tự từ lớn đến bé.

Giải:

a) \(B = {\sqrt {199} ^{2024}} = {199^{\frac{1}{2}.2024}} = {199^{1012}}\).

Ta có \(199 > 1\) nên \( \Rightarrow {199^{2023}} > {199^{1012}} \Rightarrow A > B\). Vậy \(A > B\).

b) \(C = {1331^{1000}} = {({11^3})^{1000}} = {11^{3000}}\)

Ta có: \(11 > 1\); \({11^{4001}} > {11^{2000}} \Rightarrow B > C\).

Lại có: \({3^{4999}} < {3^{5000}} = {({3^5})^{1000}} = {243^{1000}} < {1331^{1000}} \Rightarrow A < C\).

Vậy \(B > C > A\).

2) Với những giá trị nào của a thì:

a) \({a^e} > {a^\pi }\);

b) \({(a - 1)^2} > {(a - 1)^{\sqrt 5 }}\).

Giải:

a) Điều kiện: \(a > 0\).

\({V_1}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{e < \pi }\\{{a^e} > {a^\pi }}\end{array}} \right. \Rightarrow 0 < a < 1\). Vậy \(0 < a < 1\).

b) Điều kiện: \(a - 1 > 0 \Leftrightarrow a > 1\).

\({V_1}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 < \sqrt 5 }\\{{{(a - 1)}^2} > {{(a - 1)}^{\sqrt 5 }}}\end{array}} \right. \Rightarrow 0 < a - 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < a < 2\). Vậy \(1 < a < 2\).