Căn bậc n - Toán 11

Cho số thực a và số nguyên dương n. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu \({b^n} = a\).

Nhận xét:

- Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n và kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\). Căn bậc 1 của số a chính là a.

- Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\) (gọi là căn số học bậc n của a), giá trị âm kí hiệu là \( - \sqrt[n]{a}\).

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

\(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\);

\(\frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\);

\({\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}\);

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = a\) khi n lẻ; \(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn;

\(\sqrt[n]{{\sqrt[k]{a}}} = \sqrt[{nk}]{a}\).

Tính:

1) \(\sqrt[5]{4}.\sqrt[5]{{ - 8}}\);

2) \(\sqrt[3]{{ - 3\sqrt 3 }}\);

3) \(\sqrt[4]{{{{(3 - \pi )}^4}}}\);

4) \(\sqrt[4]{{2\sqrt[3]{2}}}\).

Giải:

1) \(\sqrt[5]{4}.\sqrt[5]{{ - 8}} = \sqrt[5]{{4.( - 8)}} = \sqrt[5]{{32}} = \sqrt[5]{{{{( - 2)}^5}}} =  - 2\);

2) \(\sqrt[3]{{ - 3\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{ - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^3}}} =  - \sqrt 3 \);

3) \(\sqrt[4]{{{{(3 - \pi )}^4}}} = \left| {3 - \pi } \right| = \pi  - 3\) (vì \(\pi  > 3\));

4) \(\sqrt[4]{{2\sqrt[3]{2}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3}.\sqrt[3]{2}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^4}}} = \sqrt[3]{2}\).