Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực - Toán 11

* Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; + \infty )\).

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi x dần tới vô cực nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \({x_n} > a\) và \({x_n} \to  + \infty \), ta có \(f({x_n}) \to L\).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to  + \infty \).

* Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(( - \infty ;a)\).

Ta nói hàm số \(y = f(x)\) có giới hạn là số L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số \(({x_n})\) bất kì, \({x_n} < a\) và \({x_n} \to  - \infty \), ta có \(f({x_n}) \to L\).

Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = L\) hay \(f(x) \to L\) khi \(x \to  - \infty \).

- Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } c = c\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } c = c\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0\).

- Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi \(x \to {x_0}\) vẫn còn đúng khi \(x \to  + \infty \) hoặc \(x \to  - \infty \).

1) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

Giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\left( {2 + \frac{1}{x}} \right)}}{{x\left( {1 - \frac{1}{x}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{{2 + 0}}{{1 - 0}} = 2\).

2) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 3x}}{{2{x^2} + 1}}\).

Giải:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 3x}}{{2{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{1 - \frac{3}{x}}}{{2 + \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{{1 - 0}}{{2 + 0}} = \frac{1}{2}\).

3) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{X \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\).

Giải:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}}} } \right) =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \)

\( =  - \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}  =  - \sqrt {1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{{x^2}}}}  =  - 1\).