Giải mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = f(x) =  - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3\)

b) \(y = f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1\)

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết:

a)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ { - {x^3}\left( {1 - \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}} \right)} \right] =  + \infty \)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow  - 3{x^2} + 4x + 4 = 0 \leftrightarrow x = 2{\rm{  }}\)hoặc \(x =  - \frac{2}{3}\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty  - \frac{2}{3})\) và \((2; + \infty )\), đồng biến trên khoảng \(( - \frac{2}{3};2)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - \frac{2}{3},{y_{CT}} =  - \frac{{121}}{{27}}.\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = 5.\)

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là \((0, - 3)\).

Giao điểm với trục Ox là \((3,0)\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2},0} \right),\left( {\frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2},0} \right)\).

b)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] =  + \infty .\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {{x^3}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] =  - \infty .\)

Ta có:

\({y^\prime } = {x^2} - 2x + 1\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \leftrightarrow x = 1\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên R

Cực trị: Vì hàm số đồng biến trên R nên hàm số không có điểm cực trị

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,1).

Giao điểm với trục Ox là (−0.5874,0).

VD1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 26 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một chi tiết máy có dạng khối nón với bán kính đáy là 6 cm và chiều cao là 8 cm. Người ta cần khoan từ đáy khối nón lên phía trên một khối trụ có bán kính đáy là r (r > 0)và có tâm của đáy trùng tâm của đáy khối nón như Hình 1.32. Xác định r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất.

Phương pháp giải:

- Biểu diễn thể tích khối trụ cần khoan trong khối nón

- Biểu diễn chiều cao h của khối trụ theo bán kính r

- Xác giá trị r để thể tích khối trụ V lớn nhất bằng cách tìm giá trị lớn nhất của V trong khoảng (0, \( + \infty )\).

Lời giải chi tiết:

Ta có thể tích khối trụ là:

\(V = \pi {r^2}h\)

Sử dụng tỷ lệ hình học trong tam giác đồng dạng:

\(\frac{h}{8} = \frac{{6 - r}}{6} \to h = 8.\frac{{6 - r}}{6} = 8 - \frac{{8r}}{6} = 8 - \frac{{4r}}{3}\)

Thay h vào công thức tính thể tích V:

\(V = \pi {r^2}\left( {8 - \frac{{4r}}{3}} \right) = \pi {r^2} \cdot \frac{{24 - 4r}}{3} = \pi  \cdot \frac{{24{r^2} - 4{r^3}}}{3} = \frac{\pi }{3}\left( {24{r^2} - 4{r^3}} \right)\)

Đạo hàm V theo r:

\(\frac{{dV}}{{dr}} = \frac{\pi }{3}\left( {48r - 12{r^2}} \right) = \frac{\pi }{3} \cdot 12r(4 - r) = 4\pi r(4 - r)\)

Với \(\frac{{dV}}{{dr}} = 0\) thì ta có 2 nghiệm r là \(r = 0\) hoặc \(r = 4\) (Loại \(r = 0\) vì \(r > 0\))

Lập bảng biến thiên của hàm số \(f(x) = \frac{\pi }{3}\left( {24{x^2} - 4{x^3}} \right)\)

Nhận thấy khi x = 0 thì giá trị của f(x) là lớn nhất

Vậy giá trị bán kính r sao cho phần thể tích khối trụ có được là lớn nhất là r = 4cm.