Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Toán 12 Cùng khám..

Giải bài tập 1.22 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}) b) ({rm{y}} = frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}) c)(y = - x + 1 + frac{1}{{x + 1}}) d)(y = frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}})

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\)

b) \({\rm{y}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}\)

c)\(y = - x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

d)\(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tìm tập xác định của hàm số

- Xét sự biến thiên của hàm số

- Vẽ đồ thị hàm số

Lời giải chi tiết

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{{{(x + 1)}^2} + 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \)

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left[ {x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right] = \infty \]

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } (x + 1) + 0 = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (x + 1) + 0 = - \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

\(\frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

Khi \(x \to \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\) nên \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của hàm số

Ta có: \({y^\prime } = \frac{{(2x + 2)(x + 1) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow {x^2} + 2x \leftrightarrow x(x + 2) = 0 \leftrightarrow x = 0,{\rm{ }}x = - 2\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (-1,0), đồng biến trên khoảng (-2,-1) và (-1,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 2\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 2,{y_{CD}} = - 2\)

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng \({\rm{x}} = - 1\), tiệm cận xiên \(y = x + 1\)

Giao điểm với trục Oy là \((0,2)\)

- Tập xác định: D = R \ {2}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2 + } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \)

Suy ra x = 2 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{(x - 3)(x + 1)}}{{x - 2}}} \right) = - \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

\(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}} = x + \frac{{ - 3}}{{x - 2}}\)

_Khi\(x \to \pm \infty ,\frac{{ - 3}}{{x - 2}} \to 0\)_nên\(y = x\)_{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:}\({y^\prime } = \frac{{(2x - 2)(x - 2) - \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)}}{{{{(x - 2)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 7}}{{{{(x - 2)}^2}}} > 0\forall x \in D\)

Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng (-\(\infty ,2\)) và (2, \(\infty \)).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận xiên y = x.

Giao điểm với trục Oy là (0,\(\frac{3}{2}\))

Giao điểm với trục Ox là (-1,0) và (3,0)

- Tập xác định: D = R \ {-1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \)

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right) = \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi\(x \to \pm \infty ,\frac{1}{{x + 1}} \to 0\)_nên\(y = - x - 1\)_{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:}\({y^\prime } = - 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

Vậy hàm số nghịch biến trên tập xác định

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),-1).và (-1, \(\infty \)).

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y =- x-1.

Đi qua gốc toạ độ O(0,0) và giao với trục hoành tại điểm (-2,0)

- Tập xác định: D = R \ {1}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{(2x + 1)(x - 1) + 2}}{{1 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x - 1 + \frac{2}{{1 - x}}} \right) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \)

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng của hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}}} \right) = \infty \)

Suy ra hàm số không có tiệm cận ngang

_Khi\(x \to \pm \infty ,\frac{2}{{1 - x}} \to 0\)_nên\(y = - 2x - 1\)_{là tiệm cận xiên của hàm số}

_{Ta có:}\({y^\prime } = \frac{{(4x - 1)(1 - x) + (2{x^2} - x + 1)}}{{{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{ - 2{x^2} + 4x}}{{{{(1 - x)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = 2\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-\(\infty \),0) và (2, \(\infty \)), đồng biến trên khoảng (0,1) và (1,2).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 1\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = - 7\)

- Vẽ đồ thị:

Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận xiên y =-2x-1.

Giao điểm với trục Oy là (0,1)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 1.23 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Một người chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng, rộng 3 km và muốn đến điểm B, cách bờ đối diện 8 km về phía hạ lưu, càng nhanh càng tốt như Hình 1.39. Người ấy có thể chèo thuyền qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Tốc độ chèo thuyền là 6 km/h và tốc độ chạy bộ là 8 km/h. Tìm thời gian ngắn nhất mà người này có thể đi từ A đến B (bỏ qua vận tốc của nước và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Giải bài tập 1.24 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Một chất điểm chuyển động theo quy luật \(s(t) = - {t^3} + 2t - t\), với 𝑡 (đơn vị: giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và 𝑠 (đơn vị: mét) là quãng đường chất điểm di chuyển được trong khoảng thời gian đó. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 𝑠=𝑠(𝑡) trên hệ trục tọa độ 𝑡0𝑠. b) Trong khoảng thời gian 2 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, chất điểm đạt được vận tốc lớn nhất là bao nhiêu?
Giải bài tập 1.25 trang 35 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Người ta cần rào một mảnh đất hình chữ nhật ABCD có diện tích là 600 m². Trên mảnh đất này, người ta chia làm ba miếng đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau (Hình 1.40). Giá tiền để xây dựng hàng rào bên trong và bao bên ngoài là 60.000 đồng mỗi mét, biết rằng chiều dài hình chữ nhật ABCD không vượt quá 60 m. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ABCD sao cho chi phí xây dựng hàng rào là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Giải bài tập 1.26 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Người ta cần thiết kế một cái lon có dạng hình trụ có thể tích là 1 lít (Hình 1.41). Tính tỉ lệ chiều cao và bán kính đáy hình trụ này để tổng chi phí làm vỏ lon (bao gồm cả hai đáy) là nhỏ nhất.
Giải bài tập 1.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong Vật lý, điện trở tương đương \({R_{td}}\) của hai điện trở \({R_1},{R_2}\) mắc song song được xác định bởi công thức\(\frac{1}{{{R_{td}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\). Biết rằng \({R_2} = 3\Omega \). Đặt \({R_1} = x(\Omega ),x > 0\). a) Tính \({R_{td}}\) theo \(x\), xem biểu thức tính được này là một hàm số \(y = f(x)\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(f(x)\) với \(x > 0\). b) Khi \(x\) tăng, điện trở \({R_{td}}\) thay đổi như thế nào? \({R_{td}}\) không thể vư
Giải bài tập 1.28 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là BH=6 km (Hình 1.42). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi kilomet và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130.000 USD mỗi kilomet, biết rằng AH=9 km. Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.
Giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\) b) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}}\)
Giải bài tập 1.20 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) (y = {x^3} + 3{x^2} - 4) b) (y = {x^3} + 4{x^2} + 4x) c) (y = - 2{x^3} + 2) d) (y = - {x^3} - {x^2} - x + 1)
Giải mục 5 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong đợt chào mừng kỷ niệm ngày 26 tháng 3, trường X có tổ chức cho các lớp bày các gian hàng tại sân trường. Để có thể che nắng, chứa đồ đạc trong quá trình tham gia hoạt động, một lớp đã nghĩ ra ý tưởng như sau: Dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều rộng là 4m và chiều dài là 6m, bằng cách gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều dài của tấm bạt, hai mép chiều rộng còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m). Tìm x để khoảng
Giải mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) (y = frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}) b) ({rm{y}} = frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}})
Giải mục 3 trang 28 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (y = f(x) = frac{{2x + 4}}{{2x + 1}}).
Giải mục 2 trang 26 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) (y = f(x) = - {x^3} + 2{x^2} + 4x - 3) b) (y = f(x) = frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x + 1)
Giải mục 1 trang 24, 25 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x) = - {x^3} + 3{x^2} - 4\) a) Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là gì? b) Hàm số \(f(x)\) đồng biến, nghịch biến trên các khoảng nào? c) Hàm số \(f(x)\) đạt cực đại và cực tiểu tại những điểm nào? d) Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) có tiệm cận hay không?
Lý thuyết Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá
1. Sơ đồ khảo sát hàm số