Giải bài tập 5.43 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và hai đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}\), \(d':\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\). a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’. b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và song song với đường thẳng d. c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d. d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và hai đường thẳng d: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}\), \(d':\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) và tương ứng có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó:

\({\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1}\not \in {\Delta _2}\)

\({\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \) và \({A_1} \in {\Delta _2}\)

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau \( \Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\)

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.\)

b) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)\). Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) (t là tham số, \(t \in \mathbb{R}\)).

c) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

d) + Viết phương trình mặt phẳng (Oxz).

+ Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxz) theo t.

+ Thay tọa độ tính theo t vào phương trình mặt phẳng (Oxz) tìm t.

+ Tìm lại tọa độ giao điểm.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng d nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(C\left( {0;1;0} \right).\)

Đường thẳng d’ nhận \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;2; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(B\left( { - 1; - {\rm{2}};3} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {CB} \left( { - 1; - 3;3} \right),\) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6;5; - 2} \right) \ne \overrightarrow 0 \)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {CB} = \left( { - 6} \right).\left( { - 1} \right) + 5.\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right).3 = 6 - 15 - 6 = - 15 \ne 0\) nên d, d’ chéo nhau.

b) Đường đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và nhận \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)

c) Vì \(\frac{1}{1} \ne \frac{{0 - 1}}{2}\) nên điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) không thuộc đường thẳng d. \(C\left( {0;1;0} \right).\)\(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} \left( { - 1;1; - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 1}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;0; - 3} \right)\)

Mặt phẳng (P) đi qua \(A\left( {1;0;2} \right)\) và nhận \(\frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {2;0; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - z = 0\)

d) Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: \(y = 0\)

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 2t\\z = 2t\end{array} \right.\). Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là \(\left( {t;1 + 2t;2t} \right)\).

Thay \(x = t,y = 1 + 2t,z = 2t\) vào phương trình mặt phẳng (Oxz) ta có: \(1 + 2t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1}}{2}\)

Do đó, giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là: \(\left( {\frac{{ - 1}}{2};0; - 1} \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.44 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng d: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\). Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải bài tập 5.45 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và song song với đường thẳng d’.
Giải bài tập 5.46 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): \(x - y - z - 1 = 0\), (Q): \(2x + y - z - 2 = 0\) và điểm \(A\left( { - 1;2;0} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A đồng thời vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Giải bài tập 5.47 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = - 2 + t\\z = 2t\end{array} \right.\). a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’. b) Tính góc giữa d và d’.
Giải bài tập 5.48 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng (P): \(x + y - 2z + 3 = 0\).
Giải bài tập 5.49 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng (P): \(x + y + z - 1 = 0\) và mặt phẳng Oxy.
Giải bài tập 5.51 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Bản thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và \(B\left( {5;6; - 2} \right)\). Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.
Giải bài tập 5.52 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Nếu đứng trước biển và nhìn ra xa, người ta sẽ thấy một đường giao giữa mặt biển và bầu trời, đó là đường chân trời đối với người quan sát (H.5.45a). Về mặt Vật lí, đường chân trời là đường giới hạn phần Trái Đất mà người quan sát có thể nhìn thấy được (phần còn lại bị chính Trái Đất che khuất). Ta có thể hình dung rằng, nếu người quan sát ở tại đỉnh một chiếc nón và Trái Đất được “thả” vào trong chiếc nón đó, thì đường chân trời trong trường hợp này là đường chạm giữa Trái Đất và chiếc nón (H.5
Giải bài tập 5.50 trang 63 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Từ mặt nước trong một bể nước, tại ba vị trí đôi một cách nhau 2m, người ta lần lượt thả dây dọi để quả dọi chạm đáy bể. Phần dây dọi (thẳng) nằm trong nước tại ba vị trí đó lần lượt có độ dài 4m; 4,4m; 4,8m. Biết đáy bể là phẳng. Hỏi đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Giải bài tập 5.42 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): \(x - 2y + 2z - 1 = 0\) và hai điểm \(A\left( {1; - 1;2} \right),B\left( { - 1;1;0} \right)\). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song song với mặt phẳng (P). c) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải bài tập 5.41 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 2 + t\\z = 4 - 2t\end{array} \right.\). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và gốc tọa độ O.
Giải bài tập 5.40 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0;1;2} \right),C\left( { - 1; - 2;3} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). b) Viết phương trình đường thẳng AC. c) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC. d) Viết phương trình mặt cầu có tâm A và đi qua B.
Giải bài tập 5.39 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là A. \(I\left( {1; - 2; - 1} \right),R = 3\). B. \(I\left( {1;2;1} \right),R = 9\). C. \(I\left( {1;2;1} \right),R = 3\). D. \(I\left( {1; - 2; - 1} \right),R = 9\).
Giải bài tập 5.38 trang 62 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). Tọa độ tâm I và bán kính R của (S) lần lượt là A. \(I\left( {1;0;3} \right),R = 4\). B. \(I\left( {1;0;3} \right),R = 2\). C. \(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 2\). D. \(I\left( { - 1;0;3} \right),R = 4\).
Giải bài tập 5.37 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua \(I\left( {2;1; - 3} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng (P): \(x - 2y + z - 3 = 0\) là A. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 3}}{1}\). B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\). C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}\). D. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\).
Giải bài tập 5.36 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 1;0; - 1} \right),B\left( {2;1;1} \right)\). Phương trình đường thẳng AB là A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\). B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\). C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\). D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).
Giải bài tập 5.35 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua \(I\left( {2; - 1;1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( {1;2; - 3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương là A. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{1}\). B. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\). C. \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\). D. \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{1}\).
Giải bài tập 5.34 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là A. \(\left( {1; - 2;3} \right)\). B. \(\left( {2;0;0} \right)\). C. \(\left( {2;1; - 1} \right)\). D. \(\left( {2;1;1} \right)\).
Giải bài tập 5.33 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\). Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d có tọa độ là A. \(\left( {1; - 2;3} \right)\). B. \(\left( {2;1; - 2} \right)\). C. \(\left( {2;1;2} \right)\). D. \(\left( {1;2;3} \right)\).
Giải bài tập 5.32 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I\left( {1; - 1;2} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến là A. \(x - y + 2z + 1 = 0\). B. \(x - y + 2z - 6 = 0\). C. \(2x + y - z - 1 = 0\). D. \(2x + y - z + 1 = 0\).
Giải bài tập 5.31 trang 61 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y - 3z + 1 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có tọa độ là A. \(\left( {1;2;3} \right)\). B. \(\left( {1; - 2;3} \right)\). C. \(\left( {1;2; - 3} \right)\). D. \(\left( {1; - 2; - 3} \right)\).