Toán 12 Kết nối tri thức | Giải toán lớp 12 Kết nối tri thức Bài 12. Tích phân - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài tập 4.11 trang 18 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức


Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là \(v\left( t \right) = {t^2} - t - 6\) (m/s). a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\), tức là tính \(\int\limits_1^4 {v\left( t \right)dt} \). b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính \(\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt} \).

Đề bài

 

 

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là \(v\left( t \right) = {t^2} - t - 6\) (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\), tức là tính \(\int\limits_1^4 {v\left( t \right)dt} \).

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính \(\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt} \). 

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

Sử dụng kiến thức về tính chất của tích phân để tính: Cho f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \) \(\left( {a < c < b} \right)\)

 

Lời giải chi tiết

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\) là:

\(\int\limits_1^4 {v\left( t \right)dt}  = \int\limits_1^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt}  = \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}4\\1\end{array} \right. = \left( {\frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{4^2}}}{2} - 6.4} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{1^2}}}{2} - 6.1} \right) = \frac{{ - 9}}{2}\)

Vậy vật dịch chuyển \(\frac{9}{2}m\) trong khoảng thời gian \(1 \le t \le 4\).

b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này là:

\(\int\limits_1^4 {\left| {v\left( t \right)} \right|dt}  = \int\limits_1^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt}  = \int\limits_1^3 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt}  + \int\limits_3^4 {\left| {{t^2} - t - 6} \right|dt}  =  - \int\limits_1^3 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt}  + \int\limits_3^4 {\left( {{t^2} - t - 6} \right)dt} \)

\( =  - \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. + \left( {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^2}}}{2} - 6t} \right)\left| \begin{array}{l}4\\3\end{array} \right.\)

\( =  - \left[ {\left( {\frac{{{3^3}}}{3} - \frac{{{3^2}}}{2} - 6.3} \right) - \left( {\frac{{{1^3}}}{3} - \frac{{{1^2}}}{2} - 6.1} \right)} \right] + \left[ {\left( {\frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{4^2}}}{2} - 6.4} \right) - \left( {\frac{{{3^3}}}{3} - \frac{{{3^2}}}{2} - 6.3} \right)} \right] = \frac{{22}}{3} + \frac{{17}}{6} = \frac{{61}}{6}\)

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua