Giải bài 5.5 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {3;2;4} \right)\). a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm H và trục Oy. b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho điểm \(H\left( {3;2;4} \right)\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa điểm H và trục Oy.

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua điểm H và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (với A, B, C đều không trùng với gốc tọa độ O) sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Chọn một điểm A bất kì thuộc Oy, khi đó ta có \(\left( P \right)\) đi qua A. Tích có hướng của \(\overrightarrow {AH} \)

và \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\).

Ý b: Chứng minh H là hình chiếu của O trên (ABC), mặt phẳng cần tìm đi qua H và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta lấy \(O\left( {0;0;0} \right) \in Oy\) suy ra \(O \in \left( P \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;2;4} \right)\).

Do \(\left( P \right)\) chứa O, H và Oy suy ra \(\left( P \right)\) nhận \(\left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right]\) làm vectơ pháp tuyến, vì \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\) là vectơ chỉ phương của Oy. Ta có \(\left[ {\overrightarrow {OH} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 4;0;3} \right)\).

Phương trình mặt phẳng của \(\left( P \right)\) là \( - 4\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow - 4x + 3z = 0\).

b) Giả sử \(D,E\) lần lượt là hình chiếu của \(A,B\) trên cạnh \(BC\) và \(AC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot BC\\BE \bot AC\\AD \cap BE = H\end{array} \right.\).

Do \(Ox \bot \left( {yOz} \right)\) nên \(AO \bot \left( {OBC} \right)\). Khi đó có \(OD\) là hình chiếu của \(AD\) trên \(\left( {OBC} \right)\),

mà \(AD \bot BC\) suy ra \(OD \bot BC\)(định lý ba đường vuông góc).

Vì vậy \(BC \bot \left( {OAD} \right)\). Mặt khác \(OH \subset \left( {OAD} \right)\) nên \(BC \bot OH{\rm{ }}\left( 1 \right)\).

Chứng minh tương tự ta có \(OE\) là hình chiếu của \(BE\) trên \(\left( {OAC} \right)\) suy ra \(AC \bot OH{\rm{ }}\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) hay H là hình chiếu của O trên (ABC).

\(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {3;2;4} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là \(3\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 4\left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y + 4z - 29 = 0\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5.6 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, một máy phát sóng đặt tại vị trí \(A\left( {1;2;1} \right)\) và có bán kính phủ sóng là 2. Hỏi vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) có bán kính bằng bao nhiêu?
Giải bài 5.7 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng \(\left( \beta \right):x + 2y + 2z - 3 = 0\). Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?
Giải bài 5.4 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 1;0} \right)\), \(B\left( {3;1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\). a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa A, B và song song với trục \(Ox\).
Giải bài 5.3 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y - 2z + 9 = 0\) và điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right)\). a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) đi qua A và song song với \(\left( \alpha \right)\).
Giải bài 5.2 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0; - 3;0} \right)\), \(C\left( {0;0;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Giải bài 5.1 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0; - 3} \right)\), \(B\left( {2;1;0} \right)\), \(C\left( {3;2;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).