Bài tập cuối chương II - SBT Toán 11 CD

Giải bài 54 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]$

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]$

a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng ${u_{n + 6}} = {u_n}$ với mọi $n \ge 1$

c) Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Thay $n = 1$ , $n = 2$ , $n = 3$ , $n = 4$ , $n = 5$ , $n = 6$ vào biểu thức ${u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]$ để tính ${u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}$ .

b) Thay $n$ bởi $n + 6$ vào biểu thức ${u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]$ và chú ý rằng $\cos \left( {x + k2\pi } \right) = \cos x$ .

c) Sử dụng kết quả câu b.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

${u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {3\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0$

${u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {5\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

${u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {7\frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

${u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {9\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{2} = 0$

${u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {11\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

${u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {13\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là $0, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}, - \frac{{\sqrt 3 }}{2},0,\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ .

b) Ta có:

${u_{n + 6}} = \cos \left[ {\left( {2\left( {n + 6} \right) + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 12\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]$

$= \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = {u_n}$

Bài toán được chứng minh.

c) Theo câu b, ta có ${u_{n + 6}} = {u_n}$ , nên vì vậy ta có:

${u_1} = {u_7} = {u_{13}} = {u_{19}} = {u_{25}}$ ,

${u_2} = {u_8} = {u_{14}} = {u_{20}} = {u_{26}}$ ,

${u_3} = {u_9} = {u_{15}} = {u_{21}} = {u_{27}}$ ,

${u_4} = {u_{10}} = {u_{16}} = {u_{22}}$ ,

${u_5} = {u_{11}} = {u_{17}} = {u_{23}}$ ,

${u_6} = {u_{12}} = {u_{18}} = {u_{24}}$ .

Do đó, ${S_{27}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}$

$= 4\left( {0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 0} \right) + 0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} = - \sqrt 3$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 55 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tổng $n$ số hạng đầu là ${S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}$
Giải bài 56 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} = 1$ , ${u_2} = 2$ , ${u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2$ với $n \ge 2$ .
Giải bài 57 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ , biết ${u_1} = - 2$ , ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$ .
Giải bài 58 trang 58 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25%/năm
Giải bài 59 trang 58 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa.
Giải bài 53 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tổng $1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01$ (12 số hạng) bằng:
Giải bài 52 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có tất cả các số hạng đều không âm
Giải bài 51 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Giải bài 50 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:
Giải bài 48 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) biết ({u_1} = 2), ({u_n} = frac{1}{3}left( {{u_{n - 1}} + 1} right))
Giải bài 49 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:
Giải bài 47 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = {5^n} - n$ . Số hạng ${u_{n + 1}}$ là:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.