Giải bài 53 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều


Tổng \(1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01\) (12 số hạng) bằng:

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Tổng \(1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01\) (12 số hạng) bằng:

A. \(\frac{{{{10}^{11}} + 107}}{9}\)               

B. \(\frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}\)        

C. \(\frac{{{{10}^{12}} + 107}}{9}\)  

D. \(\frac{{{{10}^{11}} + 98}}{9}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01\\ = 1 + \left( {10 + 1} \right) + \left( {100 + 1} \right) + ... + \left( {100...0 + 1} \right)\\ = 1.12 + \left( {10 + 100 + 1000 + ... + 100...0} \right)\end{array}\)

Xét cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\). Ta thấy tổng cần tính sẽ bằng \(12 + \left( {{u_1} + {u_2} + ... + {u_{11}}} \right)\). Sử dụng công thức \({S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\) để tính tổng của các số hạng trong cấp số nhân đó.

Lời giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01\\ = 1 + \left( {10 + 1} \right) + \left( {100 + 1} \right) + ... + \left( {100...0 + 1} \right)\\ = 1.12 + \left( {10 + 100 + 1000 + ... + 100...0} \right)\end{array}\)

Xét tổng \(10 + 100 + 1000 + ... + 100...0\). Ta thấy tổng này gồm 11 số hạng.

Xét cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = 10\) và công bội \(q = 10\). Ta nhận thấy:

\(10 + 100 + 1000 + ... + 100...0 = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{11}}\).

Vậy tổng trên có giá trị là \({S_{11}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{11}}}}{{1 - q}} = 10\frac{{1 - {{10}^{11}}}}{{1 - 10}} = \frac{{10\left( {{{10}^{11}} - 1} \right)}}{9} = \frac{{{{10}^{12}} - 10}}{9}\)

Suy ra tổng cần tính bằng \(12 + \frac{{{{10}^{12}} - 10}}{9} = \frac{{{{10}^{12}} + 98}}{9}\)

Đáp án đúng là B.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí