Giải bài 5.26 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức>
Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\). Từ vị trí \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\), người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng \(\overrightarrow v = \left( {2;2; - 3} \right)\). Tính độ dài đường hầm cần đào.
Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\).
Từ vị trí \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\), người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng \(\overrightarrow v = \left( {2;2; - 3} \right)\). Tính độ dài đường hầm cần đào.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Đường hầm nằm trên đường thẳng đi qua A có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow v = \left( {2;2; - 3} \right)\).
Tìm giao điểm B khác A của đường thẳng này và mặt cầu.
Độ dài đường hầm cần đào là độ dài cạnh AB.
Lời giải chi tiết
Đường hầm nằm trên đường thẳng d đi qua A và nhận \(\overrightarrow v = \left( {2;2; - 3} \right)\) là vectơ chỉ phương.
Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2} + 2t\\y = \frac{1}{2} + 2t\\z = \frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t\end{array} \right.\)
Gọi B là điểm cuối của đường hầm cần đào. Khi đó B là giao điểm của đường thẳng d và mặt cầu (S). Do B thuộc d nên \(B\left( {\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{2} + 2t;\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)\) với \(t \ne 0\) để B không trùng với A.
Vì B thuộc (S) nên ta có \({\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2} + 2t} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }} - 3t} \right)^2} = 1\).
\( \Leftrightarrow 17{t^2} + \left( {2 - 3\sqrt 2 } \right)t = 0 \Rightarrow t = \frac{{3\sqrt 2 - 2}}{{17}}\) (do trường hợp \(t = 0\) không thỏa mãn).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 3t} \right)}^2}} = \left| t \right|\sqrt {17} = \frac{{3\sqrt 2 - 2}}{{\sqrt {17} }}\).
Vậy độ dài đường hầm cần đào là \(\frac{{3\sqrt 2 - 2}}{{\sqrt {17} }}\).
- Giải bài 5.27 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 5.25 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 5.24 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 5.23 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 5.22 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2 - SBT Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải bài 45 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 44 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 43 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 42 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Đề minh họa kiểm tra cuối học kì 2 - SBT Toán 12 Kết nối tri thức
- Giải bài 45 trang 56 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 44 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 43 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
- Giải bài 42 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức