Giải bài 5 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x. a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x.

a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);

b) \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về công thức lượng giác để tính:

a) \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\), \(\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\)

b) \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\)

Lời giải chi tiết

a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) \) \(= {\sin ^2}x + \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right) \) \(= {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x\)

\(= {\sin ^2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) \) \(= \frac{1}{4}\)

Vậy giá trị của biểu thức \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\) không phụ thuộc vào giá trị của x.

b) \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \frac{1}{2}\left[ {\cos \frac{{7\pi }}{{12}} + \cos \left( {2x + \frac{{11\pi }}{{12}}} \right)} \right]\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) + \cos \left( {2x + \pi - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \cos \frac{{7\pi }}{{12}}\)

\(= \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) - \cos \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right] + \cos \frac{{7\pi }}{{12}} \) \(= \cos \frac{{7\pi }}{{12}}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) không phụ thuộc vào giá trị của x.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 6 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: a) \(\cos A\cos B - \sin A\sin B + \cos C = 0\);
Giải bài 7 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\). Tìm m để \(\sin 2\alpha = - \frac{3}{4}\).
Giải bài 8 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5},\cos \beta = \frac{{12}}{{13}}\) và \({0^0} < \alpha ,\beta < {90^0}\). Tính giá trị của biểu thức \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\) và \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\).
Giải bài 9 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\sin {6^0}\cos {12^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\); b) \(\cos {68^0}\cos {78^0} + \cos {22^0}\cos {12^0} + \cos {190^0}\).
Giải bài 10 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\), trong đó x(t) (cm) là li độ của vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động \(\left( {A > 0} \right)\) và \(\varphi \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động.
Giải bài 4 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) \(4\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos 3x\);
Giải bài 3 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn các biểu thức sau: a) \(\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x\); b) \(\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}}\);
Giải bài 2 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\cos \alpha = \frac{{11}}{{61}}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\), tính giá trị của các biểu thức sau:
Giải bài 1 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\sin \frac{{19\pi }}{{24}}\cos \frac{{37\pi }}{{24}}\); b) \(\cos \frac{{41\pi }}{{12}} - \cos \frac{{13\pi }}{{12}}\); c) \(\frac{{\tan \frac{\pi }{7} + \tan \frac{{3\pi }}{{28}}}}{{1 + \tan \frac{{6\pi }}{7}\tan \frac{{3\pi }}{{28}}}}\).