Giải bài 4 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) \(4\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos 3x\);

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) \(4\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \cos 3x\);

b) \(\frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)}} = \tan \frac{x}{2}\);

c) \(\sin x\left( {1 + 2\cos 2x + 2\cos 4x + 2\cos 6x} \right) = \sin 7x\);

d) \(\frac{{{{\sin }^2}3x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}3x}}{{{{\cos }^2}x}} = 8\cos 2x\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về các công thức lượng giác:

a) \(\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]\)

b) \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ,\cos 2\alpha = 2{\cos ^2}\alpha - 1\)

c) \(\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]\)

d) \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \), \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \), \(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Lời giải chi tiết

a) \(4\cos x\cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) \) \( = 2\cos x\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + \cos 2x} \right)\)

\( \) \( = 2\cos x.\cos 2x + 2.\frac{{ - 1}}{2}\cos x \) \( = \cos 3x + \cos x - \cos x \) \( = \cos 3x\)

b) \(\frac{{\sin 2x\cos x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right)}} \) \( = \frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + 2{{\cos }^2}x - 1} \right)}} \) \( = \frac{{2\sin x{{\cos }^2}x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)2{{\cos }^2}x}}\)

\( \) \( = \frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} \) \( = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{1 + 2{{\cos }^2}\frac{x}{2} - 1}} \) \( = \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} \) \( = \tan \frac{x}{2}\)

c) \(\sin x\left( {1 + 2\cos 2x + 2\cos 4x + 2\cos 6x} \right)\)

\( \) \( = \sin x + 2\sin x\cos 2x + 2\sin x\cos 4x + 2\sin x\cos 6x\)

\( \) \( = \sin x + \sin 3x - \sin x + \sin 5x - \sin 3x + \sin 7x - \sin 5x\)\( \) \( = \sin 7x\)

d) \(\frac{{{{\sin }^2}3x}}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{{{{\cos }^2}3x}}{{{{\cos }^2}x}} \) \( = \frac{{{{\sin }^2}3x{{\cos }^2}x - {{\cos }^2}3x{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \) \( = \frac{{{{\left( {\sin 3x\cos x} \right)}^2} - {{\left( {\cos 3x\sin x} \right)}^2}}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\)

\( \) \( = \frac{{\left( {\sin 3x\cos x + \cos 3x\sin x} \right)\left( {\sin 3x\cos x - \cos 3x\sin x} \right)}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} \) \( = \frac{{\sin 4x\sin 2x}}{{\frac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}\)

\( \) \( = \frac{{4\sin 4x}}{{\sin 2x}} \) \( = \frac{{8\sin 2x\cos 2x}}{{\sin 2x}} \) \( = 8\cos 2x\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x. a) \({\sin ^2}x + \cos \left( {\frac{\pi }{3} - x} \right)\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right)\);
Giải bài 6 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: a) \(\cos A\cos B - \sin A\sin B + \cos C = 0\);
Giải bài 7 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = m\). Tìm m để \(\sin 2\alpha = - \frac{3}{4}\).
Giải bài 8 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\sin \alpha = \frac{3}{5},\cos \beta = \frac{{12}}{{13}}\) và \({0^0} < \alpha ,\beta < {90^0}\). Tính giá trị của biểu thức \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\) và \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right)\).
Giải bài 9 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\sin {6^0}\cos {12^0}\cos {24^0}\cos {48^0}\); b) \(\cos {68^0}\cos {78^0} + \cos {22^0}\cos {12^0} + \cos {190^0}\).
Giải bài 10 trang 20 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Phương trình dao động điều hòa của một vật tại thời điểm t giây được cho bởi công thức \(x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\), trong đó x(t) (cm) là li độ của vật tại thời điểm t giây, A là biên độ dao động \(\left( {A > 0} \right)\) và \(\varphi \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là pha ban đầu của dao động.
Giải bài 3 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn các biểu thức sau: a) \(\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x\); b) \(\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}}\);
Giải bài 2 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho \(\cos \alpha = \frac{{11}}{{61}}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\), tính giá trị của các biểu thức sau:
Giải bài 1 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1
Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) \(\sin \frac{{19\pi }}{{24}}\cos \frac{{37\pi }}{{24}}\); b) \(\cos \frac{{41\pi }}{{12}} - \cos \frac{{13\pi }}{{12}}\); c) \(\frac{{\tan \frac{\pi }{7} + \tan \frac{{3\pi }}{{28}}}}{{1 + \tan \frac{{6\pi }}{7}\tan \frac{{3\pi }}{{28}}}}\).