Giải bài 49 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Cho biểu thức \(B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x > 0\). a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị biểu thức B tại \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\) c) Tìm giá trị của \(x \in N*\) để B nguyên.

Đề bài

Cho biểu thức \(B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x > 0\).

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị biểu thức B tại \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\)

c) Tìm giá trị của \(x \in N*\) để B nguyên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Quy đồng mẫu thức các phân thức.

b) Thay \(x = 3 - 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2}\) vào biểu thức vừa rút gọn.

c) Biến đổi \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x }}\), khi đó \(\sqrt x \) là ước của 2.

Lời giải chi tiết

a) Với \(x > 0\), ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} \\= \frac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \frac{{x - 2 - \sqrt x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} \\= \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\).

b) Thay \(x = 3 - 2\sqrt 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2}\) (thỏa mãn điều kiện) vào B, ta được:

\(B = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} - 2}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} }} \\= \frac{{\left| {\sqrt 2 - 1} \right| - 2}}{{\left| {\sqrt 2 - 1} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 - 1 - 2}}{{\sqrt 2 - 1}} = \frac{{\sqrt 2 - 3}}{{\sqrt 2 - 1}} \\= \frac{{\left( {\sqrt 2 - 3} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} = - 1 - 2\sqrt 2 \)

Vậy \(B = - 1 - 2\sqrt 2 \) với \(x = 3 - 2\sqrt 2 \).

c) \(B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = 1 - \frac{2}{{\sqrt x }}\)

Với \(x > 0\), để B nguyên thì \(\frac{2}{{\sqrt x }}\) nguyên, khi đó \(\sqrt x \) là ước của 2, mà \(\sqrt x > 0\) nên \(\sqrt x \in \left\{ {1;2} \right\}\).

Với \(\sqrt x = 1\) suy ra \(x = 1\); Với \(\sqrt x = 2\) suy ra \(x = 4\)

Mà \(x \in N*\) và kết hợp với điều kiện xác định. Vậy \(x = 1\),\(x = 4\) là các giá trị cần tìm.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 50 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho biểu thức \(C = \left( {\frac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\). a) Rút gọn biểu thức C. b) Tìm giá trị lớn nhất của C. c) Tìm giá trị của \(x\) để C có giá trị là các số dương.
Giải bài 51 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Tìm x, biết: a) \(\frac{5}{3}\sqrt {15x} - \sqrt {15x} - 2 = \frac{1}{3}\sqrt {15x} \) với \(x \ge 0\). b) \(\sqrt {9{x^2}} = \left| { - 18} \right|\) với \(x \ge 0\). c) \({x^2} - 8 = 0\) d) \(\sqrt {{x^2} - 49} - \sqrt {x - 7} = 0\) với \(x \ge 7\)
Giải bài 48 trang 69 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\) a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của biểu thức A tại \(x = 121\). c) Tìm giá trị của \(x\) để \(A = \frac{1}{2}\). d) Tìm giá trị của \(x\) để \(A = \sqrt x - 1\).
Giải bài 47 trang 68 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Rút gọn biểu thức a) \(\left( {5\sqrt {\frac{1}{5}} - \frac{1}{2}\sqrt {20} + \sqrt 5 } \right)\sqrt 5 \) b) \(\left( {\sqrt {\frac{1}{7}} - \sqrt {\frac{9}{7}} + \sqrt 7 } \right):\sqrt 7 \) c) \({\left( {\sqrt {\frac{2}{3}} - \sqrt {\frac{3}{2}} } \right)^2}\) d) \(\frac{{\sqrt {{{312}^2} - {{191}^2}} }}{{\sqrt {503} }}\) e) \(\sqrt {27.{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^4}} :3\sqrt {15} \) g) \(\frac{{\sqrt[3]{{135}}}}{{\sqrt[3]{5}}} - \sqrt[3]{{54}}.\sqrt[3]{4}\)
Giải bài 46 trang 68 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Tốc độ lăn \(v(m/s)\) của vật thể có khối lượng m (kg) chịu tác động từ lực Ek được cho bởi công thức \(v = \sqrt {\frac{{2{E_k}}}{m}} \). a) Tính tốc độ lăn của quả bóng nặng 3kg khi một người tác động lực Ek = 18J lên quả bóng. b) Muốn lăn của quả bóng nặng 3kg với tốc độ 6m/s thì cần tác động lực bao nhiêu jun lên quả bóng đó?
Giải bài 45 trang 68 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
So sánh: a) \(5\sqrt 5 \) và \(4\sqrt 3 \) b) \(\sqrt {36 + 16} \) và \(\sqrt {36} + \sqrt {16} \) c) \(\frac{1}{{\sqrt {60} }}\) và \(2\sqrt {\frac{1}{{15}}} \) d) \(\sqrt 6 - \sqrt 2 \) và 1
Giải bài 44 trang 68 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Nếu \({x^3} = - 2\) thì \(x\) bằng: A. -8 B. \(\sqrt 2 \) C. \( - \sqrt[3]{2}\) D. \(\sqrt[3]{2}\)
Giải bài 43 trang 68 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Giá trị của biểu thức \(\frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\) bằng: A. 0 B. 4 C. \(2\sqrt 2 \) D. \( - 2\sqrt 2 \)
Giải bài 42 trang 68 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Đưa thừa số vào dấu căn bậc hai của \(3\sqrt 5 \) ta được: A. \(\sqrt {15} \) B. 15 C. \(\sqrt {45} \) D. 45