Giải bài 46 trang 83 SBT toán 10 - Cánh diều

Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong nội đô thành phố củng xuất phát tử hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng

Đề bài

Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong nội đô thành phố củng xuất phát tử hai ga, chuyển động đều theo đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 36t\\y = - 8 + 8t\end{array} \right.\) , vị trí của tàu B có toạ độ là (9 + 8t ; 5 – 36t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng là đường đi của 2 tàu A và B dựa vào PT đường đi của tàu A và tọa độ của tàu B

Bước 2: Tính cosin giữa hai vectơ chỉ phương tìm được ở bước 1 và lấy giá trị dương để tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B

Bước 3: Tìm tọa độ 2 điểm M, N (tham số hóa tọa độ 2 điểm M, N) ở 2 vị trí mà tàu A và tàu B đến sau khi xuất phát t giờ. Tìm t để MN đạt GTNN

Lời giải chi tiết

a) Tàu A chuyển động theo chiều vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = (36;8)\); tàu B chuyển động theo chiều vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} = (8; - 36)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 36.8 + 8.( - 36) = 0\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = 0\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu. Khi đó \(\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = 0\)

b) Sau t giờ: tàu A ở vị trí điểm \(M(7 + 36t; - 8 + 8t)\); tàu B ở vị trí điểm \(N(9 + 8t;5 - 36t)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = ( - 28t + 2; - 44t + 13) \Rightarrow MN = \sqrt {{{( - 28t + 2)}^2} + {{( - 44t + 13)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow M{N^2} = {( - 28t + 2)^2} + {( - 44t + 13)^2} = 2720{t^2} - 1256t + 173\)

Theo giả thiết, MN đạt GTNN \( \Leftrightarrow M{N^2}\) đạt GTNN

Xét \(M{N^2} = 2720{t^2} - 1256t + 173 = 2720{\left( {t - \frac{{157}}{{680}}} \right)^2} + \frac{{4761}}{{170}}\)\( \ge \frac{{4761}}{{170}}\) \( \Rightarrow MN \ge \sqrt {\frac{{4761}}{{170}}} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = \(\frac{{157}}{{680}}\)

Vậy sau \(\frac{{157}}{{680}}\) giờ thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau một khoảng là 5,29 km

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 45 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho ba điểm A(-2; 2), B(4 ; 2), C(6 ; 4). Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua B đồng thời cách đều A và C.
Giải bài 44 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho hai đường thẳng ∆1: mx – 2y – 1 = 0 và ∆2: x - 2y + 3 = 0. Với giá trị nào của tham số m thì:
Giải bài 43 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho hai đường thẳng song song ∆1: ax + by + c = 0 và ∆2: ax + by + d = 0. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 bằng \(\frac{{\left| {d - c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
Giải bài 42 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong các trường hợp sau:
Giải bài 41 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều
Tìm số đo góc giữa hai đường thẳng của mỗi cặp đường thẳng sau:
Giải bài 40 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
Giải bài 39 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều
Khoảng cách từ điểm M(5 ; – 2) đến đường thẳng ∆: - 3x + 2y + 6 = 0 là:
Giải bài 38 trang 82 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + \sqrt 3 t\\y = 1 - t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 3 t'\\y = 2 + t'\end{array} \right.\). Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
Giải bài 37 trang 81 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho ∆1: x − 2y + 3 = 0 và ∆2: -2x – y + 5 = 0. Số đo góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 là:
Giải bài 36 trang 81 SBT toán 10 - Cánh diều
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3 ; -4) và vuông góc với đường thẳng d: x − 3y + 1 = 0 có phương trình tổng quát là:
Giải bài 35 trang 81 SBT toán 10 - Cánh diều
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(−1 ; 2) và song song với đường thẳng d: 2x – y − 5 = 0 có phương trình tổng quát là:
Giải bài 34 trang 81 SBT toán 10 - Cánh diều
Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của một đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Giải bài 33 trang 81 SBT toán 10 - Cánh diều
Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của một đường thẳng song song với đường thẳng x − 2y + 3 = 0?