Giải bài 3 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = 2{\rm{x}} + 1 + \frac{1}{{x - 3}}\);

b) \(y = \frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x - 5}}\);

c) \(y = \frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {2{\rm{x}} + 1 + \frac{1}{{x - 3}}} \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {2{\rm{x}} + 1 + \frac{1}{{x - 3}}} \right) =  + \infty \)

Vậy \({\rm{x}} = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(y = 2{\rm{x}} + 1 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{{2{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 2}}{{x - 3}}\)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 2}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = 2\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{2{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 2}}{{x - 3}} - 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 2}}{{x - 3}} = 1\)

Vậy đường thẳng \(y = 2{\rm{x}} + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x - 5}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x - 5}} =  + \infty \)

Vậy \({\rm{x}} = 5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x\left( {x - 5} \right)}} =  - 3\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{ - 3{{\rm{x}}^2} + 16{\rm{x}} - 3}}{{x - 5}} + 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 3}}{{x - 5}} = 1\)

Vậy đường thẳng \(y =  - 3{\rm{x}} + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}\).

Ta có:

• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{3}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{3}}^ - }} \frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{3}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{1}{3}}^ + }} \frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}} =  - \infty \)

Vậy \({\rm{x}} =  - \frac{1}{3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{x\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)}} =  - 2\) và

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{ - 6{x^2} + 7{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}} + 2x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{9{\rm{x}} + 1}}{{3{\rm{x}} + 1}} = 3\)

Vậy đường thẳng \(y =  - 2{\rm{x}} + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.