

Giải bài 28 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O
Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh
Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O, SO⊥(ABCD). Tất cả các cạnh của hình chóp bằng a.
a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
b) Gọi α là số đo của góc nhị diện [S,CD,A]. Tính cosα.
c) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), β là số đo của góc nhị diện [A,d,D]. Tính cosβ.
d*) Gọi γ là số đo góc nhị diện [B,SC,D]. Tính cosγ.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Xác định hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAC), từ đó tính được góc giữa SB và (SAC).
b) Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S,CD,A] là góc ^SNO. Tính cos^SNO.
c) Chứng minh rằng d song song với AB và CD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A,d,D] là góc ^MSN, từ đó tính cos^MSN.
d) Gọi E là hình chiếu của B trên SC. Chứng minh góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B,SC,D] là góc ^BED. Tính cos^BED.
Lời giải chi tiết
a) Do SO⊥(ABCD), ta có SO⊥OB. Vì ABCD là hình vuông nên BO⊥AC. Như vậy BO⊥(SAC), tức là hình chiếu của điểm B trên (SAC). Do đó góc giữa SB và (SAC) là góc ^BSO.
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a, nên BD=a√2.
Tam giác SBD có SB=SD=a và SB2+SD2=a2+a2=2a2=BD2, nên tam giác này là tam giác vuông cân tại S.
Hơn nữa, do SO⊥BD, ta suy ra ^BSO=^SBO=45o.
Như vậy, góc giữa SB và (SAC) bằng 45o.
b) Gọi N là trung điểm của CD. Do tam giác SCD đều (SC=SD=CD=a), ta suy ra SN⊥CD và SN=√SC2−CN2=√a2−(a2)2=a√32.
Do O là tâm của hình vuông ABCD, ta suy ra ON⊥CD. Như vậy, góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S,CD,O] là góc ^SNO. Hơn nữa do O∈(ABCD), ta suy ra góc nhị diện [S,CD,O] cũng chính là góc nhị diện [S,CD,A], tức là α=^SNO.
Như vậy cosα=cos^SNO=ONSN=a2a√32=√33.
c) Ta thấy rằng AB∥CD, AB⊂(SAB), CD⊂(SCD), S∈(SAB)∩(SCD), nên giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) đi qua S và song song với AB và CD.
Gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB đều (SA=AB=SB=a) nên SM⊥AB. Mặt khác, do d∥AB nên SM⊥d. Chứng minh tương tự ta cũng có SN⊥d. Suy ra góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [M,d,N] là góc ^MSN.
Hơn nữa, do AM∥d và DN∥d, ta suy ra góc nhị diện [M,d,N] cũng chính là [A,d,D], tức là β=^MSN.
Ta có SM=SN=a√32, MN=a. Theo định lí cos trong tam giác, ta có:
cosβ=cos^MSN=SM2+SN2−MN22SM.SN=(a√32)2+(a√32)2−a22.a√32.a√32=13.
d) Gọi E là hình chiếu của B trên SC. Theo câu a, ta có BD⊥(SAC) nên suy ra BD⊥SC. Mà BE⊥SC nên suy ra SC⊥(BDE), điều này dẫn tới SC⊥DE.
Như vậy, vì BE⊥SC, SC⊥DE nên góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B,SC,D] là góc ^BED, tức là γ=^BED.
Tam giác SBC đều (SB=SC=BC=a) và có BE⊥SC, nên ta dễ dàng tính được BE=a√32. Tương tự, ta cũng có DE=a√32.
Theo định lí cos trong tam giác, ta có:
cosγ=cos^BED=BE2+DE2−BD22BE.DE=(a√32)2+(a√32)2−(a√2)22.a√32.a√32=−13.


- Giải bài 29 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 30 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 31 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 32 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 27 trang 99 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay
>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục