TUYENSINH247 ĐỒNG GIÁ 299K TOÀN BỘ KHOÁ HỌC TỪ LỚP 1-LỚP 12

TẶNG KHOÁ ĐỀ THI HK2 TỚI 599K

  • Bắt đầu sau
  • 16

    Giờ

  • 33

    Phút

  • 06

    Giây

Xem chi tiết

Giải bài 28 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều


Cho hình chóp S.ABCDABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCDABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O, SO(ABCD). Tất cả các cạnh của hình chóp bằng a.

a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

b) Gọi α là số đo của góc nhị diện [S,CD,A]. Tính cosα.

c) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB)(SCD), β là số đo của góc nhị diện [A,d,D]. Tính cosβ.

d*) Gọi γ là số đo góc nhị diện [B,SC,D]. Tính cosγ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xác định hình chiếu của B trên mặt phẳng (SAC), từ đó tính được góc giữa SB(SAC).

b) Gọi N là trung điểm của CD. Chứng minh góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S,CD,A] là góc ^SNO. Tính cos^SNO.

c) Chứng minh rằng d song song với ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A,d,D] là góc ^MSN, từ đó tính cos^MSN.

d) Gọi E là hình chiếu của B trên SC. Chứng minh góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B,SC,D] là góc ^BED. Tính cos^BED.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

a) Do SO(ABCD), ta có SOOB. Vì ABCD là hình vuông nên BOAC. Như vậy BO(SAC), tức là hình chiếu của điểm B trên (SAC). Do đó góc giữa SB(SAC) là góc ^BSO.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a, nên BD=a2.

Tam giác SBDSB=SD=aSB2+SD2=a2+a2=2a2=BD2, nên tam giác này là tam giác vuông cân tại S.

Hơn nữa, do SOBD, ta suy ra ^BSO=^SBO=45o.

Như vậy, góc giữa SB(SAC) bằng 45o.

b) Gọi N là trung điểm của CD. Do tam giác SCD đều (SC=SD=CD=a), ta suy ra SNCDSN=SC2CN2=a2(a2)2=a32.

Do O là tâm của hình vuông ABCD, ta suy ra ONCD. Như vậy, góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S,CD,O] là góc ^SNO. Hơn nữa do O(ABCD), ta suy ra góc nhị diện [S,CD,O] cũng chính là góc nhị diện [S,CD,A], tức là α=^SNO.

Như vậy cosα=cos^SNO=ONSN=a2a32=33.

c) Ta thấy rằng ABCD, AB(SAB), CD(SCD), S(SAB)(SCD), nên giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB)(SCD) đi qua S và song song với ABCD.

Gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB đều (SA=AB=SB=a) nên SMAB. Mặt khác, do dAB nên SMd. Chứng minh tương tự ta cũng có SNd. Suy ra góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [M,d,N] là góc ^MSN.

Hơn nữa, do AMdDNd, ta suy ra góc nhị diện [M,d,N] cũng chính là [A,d,D], tức là β=^MSN.

Ta có SM=SN=a32, MN=a. Theo định lí cos trong tam giác, ta có:

cosβ=cos^MSN=SM2+SN2MN22SM.SN=(a32)2+(a32)2a22.a32.a32=13.

d) Gọi E là hình chiếu của B trên SC. Theo câu a, ta có BD(SAC) nên suy ra BDSC. Mà BESC nên suy ra SC(BDE), điều này dẫn tới SCDE.

Như vậy, vì BESC, SCDE nên góc phẳng nhị diện của góc nhị diện  [B,SC,D] là góc ^BED, tức là γ=^BED.

Tam giác SBC đều (SB=SC=BC=a)  và có BESC, nên ta dễ dàng tính được BE=a32. Tương tự, ta cũng có DE=a32.

Theo định lí cos trong tam giác, ta có:

cosγ=cos^BED=BE2+DE2BD22BE.DE=(a32)2+(a32)2(a2)22.a32.a32=13.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.