Bài 3. Tiếp tuyến của đường tròn - SBT Toán 9 CD

Giải bài 26 trang 110 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC. Chứng minh: a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’); b) Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài; c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’); d) AH = DE; e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC. Chứng minh:

a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’);

b) Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài;

c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);

d) AH = DE;

e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $OB = OD = OH = \frac{{BH}}{2}$ ; $O'H = O'E = O'C = \frac{{HC}}{2}$ .

b) Chứng minh $OO' = OH + O'H$ .

c) Chứng minh $AH \bot OO'$ .

d) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật.

e) Bước 1: Chứng minh ODEO’ là hình thang vuông.

Bước 2: Biểu diễn diện tích 2 hình theo công thức.

Bước 3: Vận dụng dữ kiện $AH = DE$ , $BC = BH + CH = 2\left( {OD + O'E} \right)$ để biến đổi.

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác BDH vuông tại D và O là trung điểm của BH (BO và HO là bán kính đường tròn (O)) nên $OB = OD = OH = \frac{{BH}}{2}$ , do đó D thuộc đường tròn (O).

Do tam giác ECH vuông tại E và O’ là trung điểm của CH (O’H và O’C là bán kính đường tròn (O)) nên $O'H = O'E = O'C = \frac{{HC}}{2}$ , do đó E thuộc đường tròn (O’).

b) Do tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, $H \in BC$ nên H nằm giữa B và C.

Mà (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC nên H nằm giữa O và O’, do đó $OO' = OH + O'H$ , vậy đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài.

c) Ta có OH, O’H lần lượt là bán kính của (O) và (O’) , và AH vuông góc với OO’ tại H nên AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

d) Do tam giác BDH vuông tại D nên $\widehat {BDH} = 90^\circ$ , do đó $\widehat {HDA} = 90^\circ$ .

Do tam giác ECH vuông tại E nên $\widehat {ECH} = 90^\circ$ , do đó $\widehat {HEA} = 90^\circ$ .

Xét tứ giác ADHE có $\widehat {HDA} = \widehat {HEA} = \widehat {DAE} = 90^\circ$ nên ADHE là hình chữ nhật, do đó $AH = DE$ .

e) Do ADHE là hình chữ nhật nên $IA = ID = IH = IE$ .

Xét hai tam giác OID và OIH có:

$OD = OH$ ;

OI chung;

$ID = IH$

Suy ra $\Delta OID = \Delta OIH$ (c.c.c), do đó $\widehat {OHI} = \widehat {ODI} = 90^\circ$ , hay $OD \bot DE$ .

Xét hai tam giác OIE và O’IH có:

$O'E = O'H$ ;

O’I chung;

$IE = IH$

Suy ra $\Delta OIE = \Delta O'IH$ (c.c.c), do đó $\widehat {O'HI} = \widehat {O'EI} = 90^\circ$ , hay $O'E \bot DE$ .

Xét ODEO’ có $OD \bot DE$ , $O'E \bot DE$ nên $OD//EO'$ , do đó ODEO’ là hình thang vuông và DE là đường cao.

Diện tích hình thang ODEO’ và tam giác ABC lần lượt là: ${S_1} = \frac{{DE\left( {OD + O'E} \right)}}{2};{S_2} = \frac{{AH.BC}}{2}$

Mà $AH = DE$ , $BC = BH + CH = 2\left( {OD + O'E} \right)$

Suy ra ${S_1} = \frac{1}{2}{S_2}$ .

Vậy diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 8 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 25 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A với $R \ne r$ . Đường nối OO' lần lượt cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại B và C. Đường thẳng a lần lượt tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O') tại D và E. Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh: a) $\widehat {DME} = 90^\circ$ b) MA tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O') c) MD. MB=ME. MC
Giải bài 24 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ các tiếp tuyến Ax, By của đường tròn (O). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyển thứ ba cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC và H là giao điểm của MN và AB (Hình 24).
Giải bài 23 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Hình 23 minh họa thước phân giác. Thước gồm hai thanh gỗ ghép lại thành góc vuông BAC và một tấm gỗ có dạng hình tam giác ACD với AD là tia phân giác của góc BAC. Có thể dùng thước phân giác để tìm tâm của một hình tròn hay không? Vì sao?
Giải bài 22 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm trên đường tròn. Lấy điểm B sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng OB. Kẻ hai tiếp tuyến BM, BN của đường tròn (O). a) Tính số đo góc MBN và độ dài đoạn thẳng BM theo R. b) Tứ giác AMON là hình gì ? Vì sao? c) Tính độ dài đoạn thẳng OH theo R với H là giao điểm của OA và MN.
Giải bài 21 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ dây AC, sao cho $\widehat {CAB} = 30^\circ$ . Lấy điểm M sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OM. Chứng minh a) MC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) $MC = R\sqrt 3$ .
Giải bài 20 trang 109 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn (O) và dây AB khác đường kính. Kẻ bán kính OC đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB. Vẽ đường tròn (C; CI). Kẻ tiếp tuyến BD của đường tròn (C) với D là tiếp điểm và D khác I. Chứng minh: a) Bốn đỉnh của tứ giác BDCI cùng nằm trên một đường tròn. b) BD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải bài 19 trang 108 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1
Cho đường tròn tâm O bán kính 15cm. Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho $OA = 25$ cm. Kẻ tiếp tuyến AB của đường tròn (O). Kẻ dây BC vuông góc với OA tại H. a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.