Giải bài 23 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều


Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) (y = x.{e^x}); b) (y = {left( {x + 1} right)^2}.{e^{ - x}}); c) (y = {x^2}.ln {rm{x}}); d) (y = frac{x}{{ln {rm{x}}}}).

Đề bài

Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau:

a) \(y = x.{e^x}\);                                           b) \(y = {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}}\);

c) \(y = {x^2}.\ln {\rm{x}}\);                         d) \(y = \frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các bước để tìm điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\):

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\).

Bước 2. Tính đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các điểm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\({y^\prime } = {\left( {x.{e^x}} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }.{e^x} + x.{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = {e^x}\left( {1 + x} \right)\)

\(y' = 0\) khi \(x =  - 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\), hàm số không có cực đại.

b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}.{e^{ - x}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)^\prime }.{e^{ - x}} + {\left( {x + 1} \right)^2}.{\left( {{e^{ - x}}} \right)^\prime }\\ &  = 2\left( {x + 1} \right){e^{ - x}} - {\left( {x + 1} \right)^2}.{e^{ - x}} = \left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right){e^{ - x}}\end{array}\)

\(y' = 0\) khi \(x =  - 1\) hoặc \(x = 1\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\) và đạt cực đại tại \(x = 1\).

c) Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có:

\({y^\prime } = {\left( {{x^2}.\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2}} \right)^\prime }.\ln x + {x^2}.{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\ln {\rm{x}} + {x^2}.\frac{1}{x} = x\left( {2\ln {\rm{x}} + 1} \right)\)

\(y' = 0\) khi \(\ln {\rm{x}} =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\), hàm số không có cực đại.

d) Hàm số có tập xác định là \(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Ta có:

\({y^\prime } = {\left( {\frac{x}{{\ln {\rm{x}}}}} \right)^\prime } = \frac{{{x^\prime }.\ln x - x.{{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)}^\prime }}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} - x.\frac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}x}} = \frac{{\ln {\rm{x}} - 1}}{{{{\ln }^2}x}}\)

\(y' = 0\) khi \(\ln {\rm{x}} = 1 \Leftrightarrow x = e\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = e\), hàm số không có cực đại.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí