Giải bài 2.1 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên

Đề bài

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)

a) \(2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)\)

b) \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\) thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \(2.1 = 1.(1 + 1)\)

Vậy a) đúng với \(n = 1\)

Giải sử a) đúng với \(n = k\) tức là ta có \(2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)\)

Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)\)

Thật vậy, ta có

\(\left( {2 + 4 + 6 + ... + 2k} \right) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)\)

Vậy a) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({1^2} = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)

Vậy b) đúng với \(n = 1\)

Giải sử b) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)

Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)

Vậy b) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2.2 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Mỗi khẳng định sau là đúng hay sai? Nếu em nghĩ là đúng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ.
Giải bài 2.3 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Chứng minh rằng \({n^3} - n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).
Giải bài 2.4 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Chứng minh rằng \({n^2} - n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.
Giải bài 2.5 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Chứng minh rằng nếu \(x > - 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\) với mọi số tự nhiên n.
Giải bài 2.6 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Cho tổng ({S_n} = frac{1}{{1.2}} + frac{1}{{2.3}} + ... + frac{1}{{n(n + 1)}}).
Giải bài 2.7 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (\(n \ge 4\)) là \(\frac{{n(n - 3)}}{2}.\)
Giải bài 2.8 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức
Ta sẽ "lập luận" bằng quy nạp toán học để chỉ ra rằng: “Mọi con mèo đểu có cùngmàu”. Ta gọi P(n) với n nguyên dương là mệnh để sau: “Mọi con mèo trong một đàn gồmn con đều có cùng màu”.
Giải mục 2 trang 28, 29, 30 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức
Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì. Theo thể thức này, nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Giả sử một người gửi số tiền A với lãi suất r không đổi trong mỗi kì.
Giải mục 1 trang 26, 27 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức
Hãy quan sát các đẳng thức sau: