Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chuyên đề 2 Chuyên đề học tập Toán 10 chân..

Giải bài 2 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo


Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\):

a) \({3^n} - 1 - 2n\) chia hết cho 4.

b) \({7^n} - {4^n} - {3^n}\) chia hết cho 12.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({3^1} - 1 - 2 = 0 \vdots 4\)

Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\)

Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({3^k} - 1 - 2k\) chia hết cho 4

Ta chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({3^{k + 1}} - 1 - 2(k + 1)\) chia hết cho 4

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có

\({3^{k + 1}} - 1 - 2(k + 1) = {3^{k + 1}} - 3 - 2k = 3.\left( {{3^k} - 1 - 2k} \right) + 4k\) chia hết cho 4.

Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

b) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({7^1} - {4^1} - {3^1} = 0 \vdots 12\)

Vậy khẳng định đúng với \(n = 1\)

Giải sử khẳng định đúng với \(n = k\) tức là ta có \({7^k} - {4^k} - {3^k}\) chia hết cho 12

Ta chứng minh khẳng định đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({7^{k + 1}} - {4^{k + 1}} - {3^{k + 1}}\) chia hết cho 12

Sử dụng giả thiết quy nạp, lưu ý \(k \ge 1\), ta có

\({7^{k + 1}} - {4^{k + 1}} - {3^{k + 1}} = {7.7^k} - {4.4^k} - {3.3^k} = 7\left( {{7^k} - {4^k} - {3^k}} \right) + {3.4^k} + {4.3^k}\) chia hết cho 12.

Vậy khẳng định đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

 


Bình chọn:
4.3 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store