Giải bài 1.31 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d.

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Kết nối tri thức (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ d. Hai điểm E, F thay đổi trên d sao cho \(\overrightarrow {EF} \) không đổi. Xác định vị trí của hai điểm E, F để AE + BF nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào kiến thức đã học về phép biến hình để làm

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {EF} } \right| = m\,\,(m > 0)\) không đổi.

Đặt \(\vec u = \overrightarrow {EF\;} \left( {\vec u \ne \vec 0} \right),\,\vec u\) không đổi, khi đó \(\mid \overrightarrow u \mid = m\) không đổi.

Gọi G là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u\). Khi đó \(\overrightarrow {BG} = - \vec u\). Vì B cố định và \(\overrightarrow u \) không đổi nên G cố định. Gọi G' là ảnh của G qua phép đối xứng trục d thì G' cố định.

Gọi giao điểm của AG' và đường thẳng d là E, trên d lấy điểm F thỏa mãn EF = m và \(\overrightarrow {EF} = \vec u = - \overrightarrow {BG} \) hay \(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {GB} \). Khi đó BGEF là hình bình hành nên BF = GE.

Mà G và G' đối xứng nhau qua d nên GE = G'E. Do đó BF = GE = G'E.

Ta có: AE + BF = AE + G'E = AG' (1).

Ta có E và F như trên là hai điểm cần tìm để AE + BF nhỏ nhất.

Thật vậy, gọi E' và F' là 2 điểm trên d, khác E và F sao cho \(\overrightarrow {E'F'} = \vec u\) và \(\left| {\overrightarrow {E'F'} } \right| = \left| {\vec u} \right| = m\).

Ta có: AE' + BF' = AE' + GE' = AE' + G'E' > AG' (2) (bất đẳng thức trong tam giác AG'E').

Từ (1) và (2) suy ra AE + BF < AE' + BF'. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 1.32 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các đỉnh B
Giải bài 1.33 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn đó.
Giải bài 1.34 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Bằng quan sát và đo đạc, hãy cho biết hai hình sau (H.1.55) có đồng dạng với nhau hay không.
Giải bài 1.30 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9.
Giải bài 1.29 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0.
Giải bài 1.28 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0.
Giải bài 1.27 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.