Giải bài 1.29 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0. Viết phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho điểm O, phép biến hình biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm \(M \ne O\) thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứn tâm O, kí hiệu . Điểm O được gọi là tâm đối xứng.

Nếu thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} + {x_M} = 2{x_I}\\{y_{M'}} + {y_M} = 2{y_I}\end{array} \right.\) (I là trung điểm của MM’)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\left( C \right):{\rm{ }}{x^2} + {y^2}-2x-4y-4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2}-2.1{\rm{ }}x-2.2y-4 = 0.\)

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} - \left( { - 4} \right)} = 3\).

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) nên I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) và R' = R = 3.

Vì I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A nên A là trung điểm của II'.

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{I'}} = 2{x_A} - {x_I} = 2.3 - 1 = 5}\\{{y_{I'}} = 2{y_A} - {y_I} = 2.\left( { - 3} \right) - 2 = - 8}\end{array}} \right.\)nên I'(5; – 8).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

\({\left( {x-5} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left[ {y-\left( {-8} \right)} \right]^2} = {3^2}\; \Leftrightarrow {\left( {x-5} \right)^2}\; + {\left( {y + 8} \right)^2}\; = 9.\)