Giải bài 1 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và \(AB \bot \left( {BCD} \right)\). Cho biết \(BC = a\sqrt 2 ,AB = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).

Đề bài

Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông cân tại B và \(AB \bot \left( {BCD} \right)\). Cho biết \(BC = a\sqrt 2 ,AB = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\). Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của CD.

Tam giác BCD vuông cân tại B nên BI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao.

Do đó, \(BI \bot CD\).

Tam giác BCD vuông cân tại B nên \(BC = BD = a\sqrt 2 \)

Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right),BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BD\). Do đó, tam giác ABD vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABD vuông tại B có:

\(AD = \sqrt {A{B^2} + B{D^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\)

Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right),BC \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BC\). Do đó, tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:

\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{3}\)

Do đó, \(AC = AD\) nên tam giác ACD cân tại A.

Nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra, \(AI \bot CD\).

Ta có: CD là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (ACD)\(BI \bot CD,AI \bot CD,BI \subset \left( {BCD} \right),AI \subset \left( {ACD} \right)\). Nên \(\left( {\left( {ACD} \right),\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AI,BI} \right) = \widehat {AIB}\)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BCD vuông tai B có: \(CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = 2a\)

Tam giác BCD vuông cân tại B nên \(BI = \frac{{CD}}{2} = a\)

Vì \(AB \bot \left( {BCD} \right),BI \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow AB \bot BI\). Do đó, tam giác ABI vuông tại B.

Do đó, \(\tan \widehat {AIB} = \frac{{AB}}{{BI}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {AIB} = {30^0}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. Cho biết \(SA = a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
Giải bài 3 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\).
Giải bài 4 trang 61 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Giải bài 5 trang 62 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA = a\sqrt 3 \). Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy.
Giải bài 6 trang 62 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Người ta cần sơn tất cả các mặt của một khối bê tông hình chóp cụt tứ giác đều, đáy lớn có cạnh bằng 2m, đáy nhỏ có cạnh bằng 1m và cạnh bên bằng 2m (Hình 14). Tính tổng diện tích các bề mặt cần sơn.
Giải bài 7 trang 62 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một hộp đèn treo trần có hình dạng lăng trụ đứng lục giác đều (Hình 15), cạnh đáy bằng 10cm và cạnh bên bằng 50cm. Tính tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của hộp đèn.