50 bài tập hàm số liên tục

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị dưới đây gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?

  • A 0
  • B 1
  • C 2
  • D 3

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right)\). Do đó hàm số gián đoạn tại điểm x = 1.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

 Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục tại điểm \(x=1\)?

  • A \(y=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{1-{{x}^{2}}}\)                                                                       
  • B \(y=\sqrt{x-3}\)
  • C \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1\)                                                           
  • D  \(y=\frac{x+1}{x-1}\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: “Các hàm số phân thức, đa thức, căn bậc đều liên tục trên tập xác định của nó”.

Do đó, ta chỉ cần chỉ ra tập xác định của hàm số và kiểm tra xem điểm \(x=1\( có thuộc tập xác định của hàm số hay không và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A: Hàm số \(y=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{1-{{x}^{2}}}\) có tập xác định \(D=R\backslash \left\{ \pm 1 \right\}\) nên nó không liên tục tại \(x=1\).

Đáp án B: Hàm số \(y=\sqrt{x-3}\) có tập xác định \(D=\left[ 3;+\infty  \right)\) và \(1\notin D\) nên nó không liên tục tại \(x=1\).

Đáp án C: Hàm số \(y={{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+1\) có tập xác định \(D=R\) nên nó liên tục tại \(x=1\).

Đáp án D: Hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\) có tập xác dịnh \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}\) nên nó không liên tục tại \(x=1\).

Chọn C.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 {\text{ khi }}x \le 1\\x + m{\text { khi }}x > 1\end{array} \right.\) liên tục tại điểm x0 = 1 khi m nhận giá trị

  • A  m = 1
  • B m = 2   
  • C m bất kỳ    
  • D m = –1

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right){\rm{ }}\,\,\,\,{\text{ khi }}x \ne a\\b\,\,\,{\rm{ }}\,\,{\text{khi }}x = a\end{array} \right.\) liên tục tại điểm x = a

+ Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right) = L\)

+ Tìm điều kiện cần và đủ để \(L = f\left( a \right) = b\), từ đó suy ra điều kiện cần tìm

Lời giải chi tiết:

\(f\left( 1 \right) = {1^2} - 1 = 0\)

Ta có \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\)

Chọn đáp án D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{{x^4} + x} \over {{x^2} + x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,\,x \ne  - 1 \hfill \cr   3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x =  - 1 \hfill \cr   1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\)

  • A Liên tục tại mọi điểm trừ điểm thuộc đoạn \(\left( { - 1;0} \right)\)
  • B Liên tục tại mọi điểm trừ x = 0.
  • C Liên tục tại mọi điểm \(x \in R\)         
  • D Liên tục tại mọi điểm trừ \(x =  - 1\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và \(x =  - 1\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^4} + x}}{{{x^2} + x}}\) có TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\) , hàm phân thức liên tục trên TXĐ nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên D.

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} {{{x^4} + x} \over {{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} {{{x^3} + 1} \over {x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \left( {{x^2} - x + 1} \right) = 3 = f\left( { - 1} \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^4} + x} \over {{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + 1} \over {x + 1}} = 1 = f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm \(x \in R\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 5x + 6}}\). Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng nào sau đây?

  • A \(\left( { - \infty ;3} \right)\)
  • B \(\left( {2;3} \right)\)
  • C \(\left( { - 3;2} \right)\)
  • D \(\left( { - 3; + \infty } \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm phân thức hữu tỷ liên tục trên tập xác định của chúng.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 3; - 2} \right\} = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 3; - 2} \right) \cup \left( { - 2; + \infty } \right)\) nên theo định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right);\,\,\left( { - 3; - 2} \right);\,\,\left( { - 2; + \infty } \right)\). Vì \(\left( {2;3} \right) \subset \left( { - 2; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\left( {2;3} \right)\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{3 - x} \over {\sqrt {x + 1}  - 2}}\,\,khi\,\,x \ne 3 \hfill \cr   m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 3 \hfill \cr}  \right.\). Hàm số đã cho liên tục tại x = 3 khi m bằng :

  • A \(-4\)
  • B \(4\)
  • C \(-1\)
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 3: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{3 - x} \over {\sqrt {x + 1}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{\left( {3 - x} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)} \over {x + 1 - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( -{\sqrt {x + 1}  - 2} \right) = -4\)

Đề hàm số liên tục tại x = 3 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow m =- 4\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{   - x\cos x\,\,\,khi\,\,x < 0 \hfill \cr   {{{x^2}} \over {1 + x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,0 \le x < 1 \hfill \cr   {x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1 \hfill \cr}  \right.\)

  • A Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0.
  • B Liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.
  • C Liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x = 0 và x = 1.
  • D Liên tục tại mọi điểm \(x \in R\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 1

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^2}} \over {1 + x}} = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\cos x} \right) = 0 \hfill \cr   f\left( 0 \right) = {0 \over {1 + 0}} = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 0.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^3} = 1 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2}} \over {1 + x}} = {1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow \) Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số không kiên tục tại x = 1.

Vậy hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x = 1.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(y=\left\{ \begin{align} \frac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2}{x-1}\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x\ne 1 \\  2a+x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,\,x=1 \\ \end{align} \right.\)  liên tục tại \(x=1\) là

  • A

     \(\frac{1}{2}.\)                     

  • B

     \(-\frac{1}{4}.\)                    

  • C

     \(\frac{3}{4}.\)                       

  • D  \(1.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa của hàm số liên tục: Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục tại \(x={{x}_{0}}\,\,\Leftrightarrow \,\,\underset{x\,\,\to \,\,{{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2}{x-1}=\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+2 \right)}\)

                  \(=\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-1}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3}+2 \right)}=\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}+2}=\frac{1}{2}.\)

Để hàm số liên tục tại \(x=1\)\(\Leftrightarrow \)\(\underset{x\,\to \,1}{\mathop{\lim }}\,y=y\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}=2a+1\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}.\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho phương trình \( - 4{x^3} + 4x - 1 = 0.\) Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau

  • A Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - 2;0} \right)\)
  • B Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
  • C Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\)
  • D Phương trình đã cho chỉ có một nghiệm trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và có \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất 1 số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = 23,\,\,f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {5 \over 2} \Rightarrow f\left( { - 2} \right).f\left( { - {1 \over 2}} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - 2; - {1 \over 2}} \right) \subset \left( { - 2;0} \right) \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\(f\left( { - {1 \over 2}} \right) =  - {5 \over 2},\,\,f\left( {{1 \over 2}} \right) = {1 \over 2} \Rightarrow f\left( { - {1 \over 2}} \right).f\left( {{1 \over 2}} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right) \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

\(f\left( {{1 \over 2}} \right) = {1 \over 2};\,\,f\left( 1 \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( {{1 \over 2}} \right).f\left( 1 \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong\(\left( {{1 \over 2};1} \right).\)

Mà \(\left( { - 2; - {1 \over 2}} \right) \cap \left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right) \cap \left( {{1 \over 2};1} \right) = \emptyset  \Rightarrow \) Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{\sqrt {1 + x}  - 1} \over x}\quad \;khi\;\;\,\,\,x > 0 \hfill \cr   a + 2x\quad \;\quad \,\,\,\,\,\,khi\;\;\,\,\,x \le 0 \hfill \cr}  \right.\)

Với giá trị nào của \(a\) thì hàm số đã cho liên tục tại \(x = 0\)?

  • A \({1 \over 2}\)
  • B \({-1 \over 2}\)
  • C \({3 \over 2}\)
  • D \({2 \over 3}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {1 + x}  - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{1 + x - 1} \over {x\left( {\sqrt {1 + x}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {\sqrt {1 + x}  + 1}} = {1 \over 2}  \cr   & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a + 2x} \right) = a = f\left( 0 \right) \cr} \)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = {1 \over 2}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho hàm số f(x) chưa xác định tại \(x = 0\) và  \(f(x) = {{{x^3} + 2{x^2}} \over {{x^2}}}\). Để \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\), phải gán cho \(f\left( 0 \right)\) giá trị bằng bao nhiêu?

  • A 2
  • B 1
  • C 0
  • D 3

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^3} + 2{x^2}} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 2} \right) = 2\)

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(f\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 2\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)  có đồ thị như hình dưới đây:

Chọn khẳng định đúng:

  • A Hàm số liên tục tại \(x = 0\)  .
  • B Hàm số liên tục tại \(x = 1\) .
  • C Hàm số liên tục tại \(x = 4\) .  
  • D Hàm số không liên tục tại \(x = 0\) .

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, nhận xét tính liên tục của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) và gián đoạn tại các điểm \(x = 1,\,x = 4.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}}\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

  • A \(f\left( x \right)\)  liên tục tại \(x = 1.\)
  • B \(f\left( x \right)\)  liên tục tại \(x = 2\).                                 
  • C \(f\left( x \right)\)liên tục tai \(x = 0\) .
  • D \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) và \(x = 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục tại \(x = 1\) và \(x = 2\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;\,\,2} \right\}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho liên tục tại mọi điểm thuộc \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;\,2} \right\}.\)

Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{x - 1}} = 1.\end{array}\)

Hàm số đã cho không xác định tại \(x = 1,\,\,x = 2\) nên hàm số gián đoạn tại \(x = 1,\,\,x = 2.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Hàm số nào sau đây không liên tục tại \(x = 0\)  ?

  • A \(y = \tan x\)    
  • B \(y = {x^2}\)  
  • C \(y = \frac{1}{x}\)                  
  • D \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét từng đáp án, và xét xem các hàm số có xác định tại \(x = 0\) hay không đó xét tính liên tục của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Trong các đáp án, ta thấy hàm số \(y = \frac{1}{x}\) không xác định tại  nên hàm số không liên tục tại \(x = 0.\) 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}}\) . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

  • A \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) .
  • B \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0;2} \right)\) .
  • C \(f\left( x \right)\) liên tục trên  \(\left( {0; + \infty } \right)\)
  • D \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {2; + \infty } \right)\) .

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dựa vào tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta thấy hàm số luôn xác định và liên tục trên tập xác định của nó.

Hàm số không xác định tại điểm \(x = 1  \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 1.\)

Vậy các đáp án A, B, C sai.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} \,\,{\rm{khi}}\,\,x > 5\\1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 1\end{array} \right.\) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?  

  • A \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 7\) .
  • B \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) .
  • C \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 5\) .
  • D \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 4\) .

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tập xác định của hàm số.

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 5} \,\,\,khi\,\,\,x > 5\\1\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 0\end{array} \right.\)

Ta có hàm số xác định và liên tục với mọi \(x \in \left( {5; + \infty } \right) \cup \left\{ 1 \right\}.\)

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \(x = 7.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}}\,\,\,khi\,\,x > 2\\mx - 4\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2\end{array} \right.\) liên tục tại \(x=2.\)

  • A  \(m=1.\)                                 
  • B  Không tồn tại \(m.\)              
  • C  \(m=3.\)                                 
  • D  \(m=-2.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại \({{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-2x}{x-2}=\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( x-2 \right)}{x-2}=2;\,\,\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,(mx-4)=2m-4\)và  \(f(2)=2m-4\).

Khi đó, để hàm số đã cho liên tục tại \(x=2\) thì \(\underset{x\to {{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(2)\) \(\Leftrightarrow 2m-4=2\Leftrightarrow m=3\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}  & \frac{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3}{x-1}\,\,\,\,\,khi\,\,\,x\ne 1 \\  & ax+\frac{5}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x=1 \\ \end{align} \right..\) Xác định a để hàm số liên tục trên R.

  • A \(a=-\frac{5}{2}\)                            
  • B   \(a=\frac{5}{2}\)                               
  • C \(a=\frac{15}{2}\)
  • D \(a=-\frac{15}{2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Hàm số f(x) liên tục trên R khi và chỉ khi : \(f\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to x_{_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

Ta có: \(f\left( 1 \right)=a.1+\frac{5}{2}=a+\frac{5}{2}.\)

\(\begin{align}  & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3}{x-1} \\  & =\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x-3 \right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-3x-3 \right)=1-3-3=-5. \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục \(\Leftrightarrow a+\frac{5}{2}=-5\Leftrightarrow a=-\frac{15}{2}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2\left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ }}\text{ nếu }{\rm{ }}x > 1\\a{x^2} + bx + \dfrac{1}{4}{\rm\text{ nếu }}x < 1\\a - b - \dfrac{7}{4}{\rm\text{ nếu }}x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\). Tính \(A = 2018a + b\)

  • A 52
  • B 2017
  • C 2018
  • D 2019

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại điểm x = 1 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{2\left( {\sqrt {x + 3} - 2} \right)}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{2}{{\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{4}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {a{x^2} + bx + \dfrac{1}{4}} \right) = a + b + \frac{1}{4}\\f\left( 1 \right) = a - b - \dfrac{7}{4}\end{array}\)

Hàm số liên tục tại x = 1 nên ta có 

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} = a + b + \dfrac{1}{4} = a - b - \dfrac{7}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow A = 2018a + b = 2018 - 1 = 2017.\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\{\rm{ax}} + 1\,\,\,khi\,x > 1.\,\,\end{array} \right.\)

Tìm \(a\) để hàm số liên tục tại \(x = 1.\)

  • A \(a = \dfrac{1}{2}.\)
  • B \(a = - 1.\)
  • C \(a = - \dfrac{1}{2}.\)
  • D  \(a = 1.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).\)

Sử dụng các quy tắc tính giới hạn của hàm số để tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right).\)Sau đó xác định điều kiện của \(a.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2},\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{\rm{ax}} + 1} \right) = a + 1\,\,\left( 2 \right).\)

Hơn nữa \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}\,\,\left( 3 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\left( 2 \right),\,\left( 3 \right)\) ta nhận được \(a + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{2}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align}  & \frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}\,\,\,\,khi\,\,\,x\ne 4 \\ & a+2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x=4 \\\end{align} \right..\) Tìm tất cả giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục tại \({{x}_{0}}=4.\)

  • A \(a=\frac{5}{2}\)                                
  • B  \(a=-\frac{11}{6}\)                                       
  • C \(a=3\)             
  • D \(a=2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục tại \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5}}{x-4}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{2x+1}-\sqrt{x+5} \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}\)

       \(=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-4}{\left( x-4 \right)\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}=\underset{x\to 4}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\left( \sqrt{2x+1}+\sqrt{x+5} \right)}=\frac{1}{6}.\)

Mà \(f\left( 4 \right)=a+2.\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục tại \({{x}_{0}}=4\Leftrightarrow a+2=\frac{1}{6}\Leftrightarrow a=-\frac{11}{6}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{\sin 5x} \over {5x}}\,\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr   a + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\). Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0.

  • A \(1\)
  • B \(-1\)
  • C \(-2\)
  • D \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x} = 1\), xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 5x} \over {5x}} = 1;\,\,f\left( 0 \right) = a + 2\)

Vậy để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(a + 2 = 1 \Leftrightarrow a =  - 1\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{\tan x} \over x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \hfill \cr   0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr}  \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?

  • A \(\left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)
  • B \(\left( { - \infty ;{\pi  \over 4}} \right)\)         
  • C \(\left( { - {\pi  \over 4};{\pi  \over 4}} \right)\)          
  • D R

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0, sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x} = 1\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan x} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x}.{1 \over {\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin x} \over x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {1 \over {\cos x}} = 1.{1 \over 1} = 1 \hfill \cr   f\left( 0 \right) = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right) \Rightarrow \) Hàm số gián đoạn tại điểm x = 0, do đó loại các đáp án B, C, D.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  {{3 - \sqrt {9 - x} } \over x}\,\,\,khi\,\,0 < x < 9 \hfill \cr   m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr   {3 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 9 \hfill \cr}  \right.\). Tìm m để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

  • A \({1 \over 3}\)
  • B \({1 \over 2}\)
  • C \({1 \over 6}\)
  • D 1

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 9.

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục trên \(\left( {0;9} \right) \cup \left( {9; + \infty } \right)\), ta cần xét tính liên tục của hàm số tại x = 0 và x = 9.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{3 - \sqrt {9 - x} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{9 - \left( {9 - x} \right)} \over {x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {1 \over {3 + \sqrt {9 - x} }} = {1 \over 6} \hfill \cr   f\left( 0 \right) = m \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \) Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow {1 \over 6} = m\).

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} {3 \over x} = {1 \over 3} \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} {{3 - \sqrt {9 - x} } \over x} = {{3 - 0} \over 9} - {1 \over 3} \hfill \cr   f\left( 9 \right) = {3 \over 9} = {1 \over 3} \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = f\left( 9 \right) \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 9.

Vậy với \(m = {1 \over 6}\) thì hàm số liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \cos {{\pi x} \over 2}\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le 1 \hfill \cr   \left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1 \hfill \cr}  \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

  • A Hàm số liên tục tại x = 1 và \(x =  - 1\)
  • B Hàm số liên tục tại x = 1, không liên tục tại điểm \(x =  - 1\).
  • C Hàm số không liên tục tại x = 1 và \(x =  - 1\).
  • D Tất cả đều sai.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm x = 1 và \(x =  - 1\).

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \cos {{\pi x} \over 2}\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le 1 \hfill \cr   \left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \cos {{\pi x} \over 2}\,\,\,\,khi\,\, - 1 \le x \le 1 \hfill \cr   \left| {x - 1} \right|\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left[ \matrix{  x > 1 \hfill \cr   x <  - 1 \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\)

Ta có:

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left| {x - 1} \right| = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos {{\pi x} \over 2} = \cos {\pi  \over 2} = 0 \hfill \cr   f\left( 1 \right) = \cos {\pi  \over 2} = 0 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow \) Hàm số liên tục tại x = 1.

\(\left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \cos {{\pi x} \over 2} = \cos {{ - \pi } \over 2} = 0 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left| {x - 1} \right| = 2 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) \Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại \(x =  - 1\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Chọn giá trị của \(f\left( 0 \right)\) để hàm số \(f\left( x \right) = {{\root 3 \of {2x + 8}  - 2} \over {\sqrt {3x + 4}  - 2}}\) liên tục tại điểm x = 0.

  • A \(1\)
  • B \(2\)
  • C \({2 \over 9}\)
  • D \({1 \over 9}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\root 3 \of {2x + 8}  - 2} \over {\sqrt {3x + 4}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left( {2x + 8 - 8} \right)\left( {\sqrt {3x + 4}  + 2} \right)} \over {\left( {{{\root 3 \of {2x + 8} }^2} + 2\root 3 \of {2x + 8}  + 4} \right)\left( {3x + 4 - 4} \right)}}  \cr   &  = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{2\left( {\sqrt {3x + 4}  + 2} \right)} \over {3\left( {{{\root 3 \of {2x + 8} }^2} + 2\root 3 \of {2x + 8}  + 4} \right)}} = {{2.\left( {2 + 2} \right)} \over {3\left( {{2^2} + 2.2 + 4} \right)}} = {2 \over 9} \cr} \)

Để hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = {2 \over 9}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

 Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+mx\ \ khi\ \ x\le 1 \\ & \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\ \ khi\ \ x>1 \\ \end{align} \right..\) Tìm m để hàm số đã cho liên tục tại \(x=1.\)

  • A \(\frac{1}{3}\)                                             
  • B    \(-\frac{3}{4}\)                                               
  • C \(0\)                                        
  • D  \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x={{x}_{0}}\Leftrightarrow \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( 1 \right)={{1}^{2}}+m.1=m+1.\)

\(\begin{align}  & \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+3-4}{\left( x-1 \right)\left( \sqrt{x+3}+2 \right)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}. \\  & \underset{x\to 1-}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}+mx \right)=1+m. \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow \) Hàm số liên tục \(\Leftrightarrow m+1=\frac{1}{4}\Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{e^{ax}} - {e^{3x}}}}{{2x}}\;\;\;khi\;\;x \ne 0\\\frac{1}{2}\;\;\;\;khi\;\;\;x = 0\end{array} \right..\) Tìm giá trị của a để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \({{x}_{0}}=0\).

  • A \(a=2\)                        
  • B \(a=-\frac{1}{4}\)                               
  • C \(a=4\)                        
  • D \(a=-\frac{1}{2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \(\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{u}}-1}{u}=1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{ax}}-{{e}^{3x}}}{2x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{ax}}-1-\left( {{e}^{3x}}-1 \right)}{2x}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{a}{2}.\frac{{{e}^{ax}}-1}{ax}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{2}.\frac{{{e}^{3x}}-1}{3x}=\frac{a-3}{2}\)

Hàm số f(x) liên tục tại \({{x}_{0}}=0\)  khi và chỉ khi \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,=f\left( 0 \right)\Leftrightarrow \frac{a-3}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=4\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số \(f(x)=\left\{ \begin{align}  \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\,\,khi\,\,\,x>0 \\  \sqrt{{{x}^{2}}+1}-m\,\,khi\,\,x\le 0 \\ \end{align} \right.\,\,\)liên tục trên R.

  • A \(m=\frac{3}{2}\).                             
  • B  \(m=\frac{1}{2}\).                            
  • C \(m=-2\).                                 
  • D  \(m=-\frac{1}{2}\). 

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại mọi điểm \({{x}_{0}}\) khi và chỉ khi \(\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})\).

- Hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên D khi và chỉ khi \(y=f(x)\) liên tục tại mọi điểm \({{x}_{0}}\in D\).

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Hàm số đã cho luôn liên tục trên các khoảng \(\left( -\infty ;0 \right),\,\,\left( 0;+\infty  \right)\). Để hàm số liên tục trên R thì hàm số liên tục tại điểm \(x=0\) (*)

Ta có:

\(\begin{align}  \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( \sqrt{x+1}-1 \right)\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{x\left( \sqrt{x+1}+1 \right)}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{1}{2} \\  \underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1}-m \right)=1-m \\  f(0)=\sqrt{{{0}^{2}}+1}-m=1-m \\ \end{align}\)

(*) \(\Leftrightarrow \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)\Leftrightarrow 1-m=\frac{1}{2}\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên tập \(\mathbb{R}\)?

  • A \(y = 5{x^2} - 2.\)
  • B \(y = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}.\)
  • C \(y = x - \sqrt {x + 1} .\)
  • D \(y = \tan x + 2018.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hàm đa thức liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm phân thức liên tục trên TXĐ của chúng.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy ở đáp án A, hàm số \(y = 5{x^2} - 2\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 4}}{\rm{\,\,\,khi  }}\,\,\,x \ge {\rm{0,}}\,\,x \ne 4\\\frac{1}{4}{\rm{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi  }}\,\,\,x = 4\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất:

  • A Hàm số liên tục tại \(x = 4\)
  • B Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại \(x = 4\)
  • C Hàm số không liên tục tại \(x = 4\)
  • D Hàm số không liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 4.\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\) 

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định là liên tục với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).\,\)

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 4:\)

Ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{1}{4} = f(4)\)

Hàm số liên tục tại điểm \(x = 4\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x + 1\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ge  - 1\\x + a\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,x <  - 1\end{array} \right.\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\) nếu \(a\)  bằng:

  • A \(-1\)
  • B \(-2\)
  • C \(0\)
  • D \(2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục hàm số tại \(x =  - 1\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có hàm số luôn xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right).\)

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x =  - 1.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( {3x + 1} \right) =  - 2;\,\,f\left( { - 1} \right) =  - 2.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \left( {x + a} \right) = a - 1\end{array}\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số liên tục tại \(x =  - 1 \Leftrightarrow a - 1 =  - 2 \Leftrightarrow a =  - 1.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}}\,\,\,\,\,khi\,x < 2}\\{\,\,2 - x\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\). Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

  • A Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)   
  • B Hàm số liên tục tại mọi điểm
  • C Hàm số không liên tục trên \(\left( {2: + \infty } \right)\)                    
  • D Hàm số gián đoạn tại  điểm \(x = 2\) .

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Ta có hàm số luôn xác định và liên tục trên \(\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\) Xét tính liên tục của hàm số tại điểm \(x = 2.\)

 Ta có : \(f(2) = 2 - 2 = 0.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {2 - x} \right) = 2 - 2 = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{2{x^3} - 16}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{(x - 2)(x - 3)}}{{2(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 3}}{{2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}} =  - \frac{1}{{24}}.\\ \Rightarrow f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\end{array}\) 

\( \Rightarrow \) Hàm số không liên tục tại \(x = 2\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

  • A \(f\left( x \right) = \tan x + 5\)
  • B \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\)
  • C \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \)
  • D \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 5}}{{{x^2} + 4}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Hàm đa thức và hàm phân thức liên tục trên TXĐ của chúng.

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\].

Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \) có TXĐ \(D = \left[ {6; + \infty } \right)\).

Do đó ba hàm số trên không thể liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hãy chọn mệnh đề đúng.

  • A

    Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng không liên tục tại \(x = 0\).

  • B Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại \(x = 0\).
  • C Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm tại \(x = 0\).
  • D Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục và không có đạo hàm tại \(x = 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Hàm số có đạo hàm tại \(x = {x_0}\) thì hàm số đó phải liên tục tại \(x = {x_0}\).

 

+) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại \(x = {x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy hàm số liên tục tại \(x = 0\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 0\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \Rightarrow \) Hàm số có đạo hàm tại \(x = 0\).

 

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}}\,\,khi\,\,x < 2\\mx + m + 1\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = 2\).

  • A \(m = \dfrac{1}{6}\)
  • B \(m =  - \dfrac{1}{6}\)
  • C \(m =  - \dfrac{1}{2}\)
  • D \(m = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại \(x = {x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x - 1}}{x} = \dfrac{1}{2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {mx + m + 1} \right) = 3m + 1\\f\left( 2 \right) = 3m + 1\end{array}\)

Để hàm số liên tục tại \(x = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3m + 1 = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{1}{6}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho phương trình \(m{x^3} - x + 1 = 0\) . Điều nào sau đây  đúng?

  • A Phương trình vô nghiệm         
  • B Phương trình luôn có ba nghiệm phân biệt                
  • C Phương trình có ít nhất một nghiệm   
  • D Phương trình có ít nhất hai nghiệm

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp \(m = 0\) và  \(m \ne 0\) .

Lời giải chi tiết:

Đặt \(f\left( x \right) = m{x^3} - x + 1\), hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Ta có:

+) Với \(m = 0\) thì \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm duy nhất.

+) Với \(m \ne 0\) thì \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc \(3 \Rightarrow f\left( x \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Phương trình \(x\cos x - {x^2} + 1 = 0\) có nghiệm thuộc khoảng nào? 

  • A \(\left( { - 4; - 3} \right)\)
  • B \(\left( {0;1} \right)\)  
  • C \(\left( {1;2} \right)\)               
  • D \(\left( {3;4} \right)\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Đặt  \(f\left( x \right) = x\cos x - {x^2} + 1\) xét trên các khoảng.

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(f\left( x \right) = x\cos x - {x^2} + 1\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}.\)

Ta có: \(f\left( 1 \right) = \cos 1 > 0;\,\,\,\,f\left( 2 \right) = 2\cos 2 - 3 < 0 \Rightarrow f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0 \Rightarrow \) phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow \)đáp án C đúng.

Với  \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì  \(f\left( x \right) = x\cos x + \left( {1 - {x^2}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( x \right) = 0\)  vô nghiệm trong \(\left( {0;\,\,1} \right).\)

Với  \(\left| x \right| \ge 3\) thì  \(f\left( x \right) \le  - {x^2} + \left| {x\cos x} \right| + 1 = \left| x \right|\left[ {\left| {\cos x} \right| - 1} \right] - \left| x \right|\left[ {\left| {\frac{x}{2}} \right| - 1} \right] + \left[ {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right] < 0\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 0\)  vô nghiệm với mọi \(\left| x \right| \ge 3.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Xác định \(a,b\)để các hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\sin x\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,{\rm{ }}\,\left| x \right| \le \frac{\pi }{2}}\\{ax + b\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,\,\left| x \right| > \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biểu thức \(\frac{4}{{{a^2}}} + {b^2}\) bằng?

  • A \(4{\pi ^2} + 1\)           
  • B \({\pi ^2} + 1\)             
  • C \({\pi ^2}\)       
  • D \(\frac{4}{{{\pi ^2}}} + 1\) 

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xác định \(a\) và \(b\) để hàm số liên tục tại \(x =  \pm \frac{\pi }{2}.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,khi\,\,\,\left| x \right| \le \frac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\,\,\left| x \right| > \frac{\pi }{2}\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}\sin x\,\,\,\,khi\,\,\, - \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}\\ax + b\,\,\,\,khi\,\,\,\,x \in \left( { - \infty ; - \frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\frac{\pi }{2}; + \infty } \right)\end{array} \right..\)

Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right);\,\left( {\frac{\pi }{2}; + \infty } \right)\) .

Ta có:  \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1;\,\,f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - 1.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \sin x =  - 1;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - \frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) =  - \frac{\pi }{2}a + b.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ - }} \sin x = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = \frac{\pi }{2}a + b.\end{array}\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x =  \pm \frac{\pi }{2}\)

 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}a + b = 1\\ - \frac{\pi }{2}a + b =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{\pi }\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} + {b^2} = \frac{4}{{{{\left( {\frac{2}{\pi }} \right)}^2}}} + 0 = {\pi ^2}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Tìm \(m\) để các hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}}{\rm{\,\,\,\,khi }}\,\,\,x \ne 1\\3m - 2{\rm{\,\,\,khi }}\,\,\,x = 1\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

  • A \(m = 1\)          
  • B \(m = \frac{{13}}{9}\)  
  • C \(m = 2\)          
  • D \(m = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 1\) .

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Do đó hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại \(x = 1\)

Ta có: \(f(1) = 3m - 2\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{x - 2}} + 2x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1 + x + \sqrt[3]{{x - 2}}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + \frac{{x + \sqrt[3]{{x - 2}}}}{{x - 1}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^3} + x - 2}}{{(x - 1)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}} \right)}}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {1 + \frac{{{x^2} + x + 2}}{{{x^2} - x\sqrt[3]{{x - 2}} + \sqrt[3]{{{{(x - 2)}^2}}}}}} \right] = \frac{7}{3}.\end{array}\)       

Nên hàm số liên tục tại \(x = 1 \Leftrightarrow 3m - 2 = \frac{7}{3} \Leftrightarrow m = \frac{{13}}{9}.\)

Vậy \(m = \frac{{13}}{9}\) là những giá trị cần tìm.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 41 :

Xác định \(a,b\)để các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}{{x(x - 2)}}{\rm{\,\,\,khi }}\,\,\,x \ne 0,\,\,x \ne 2\\a{\rm{\,\,\,\,\,khi }}\,\,\,x = 2\\b{\rm{ \,\,\,\,\,khi }}\,\,x = 0\end{array} \right.\,\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tính giá trị \({a^3} + {b^3}\) có kết quả?

  • A \(-2\)
  • B \(7\)
  • C \(1\)
  • D \(0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của \(f\left( x \right)\) tại \(x = 0;\,x = 2.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right);\,\,\left( {0;2} \right) ;\,\left( {2; + \infty } \right)\) .

Ta có: \(f\left( 0 \right) = b;\,\,\,f\left( 2 \right) = a.\)

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}{{x(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 1} \right) =  - 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2x}}{{x(x - 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\end{array} \right..\)

Khi đó:  \({a^3} + {b^3} = {1^3} + {\left( { - 1} \right)^3} = 0.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 42 :

Xác định a để hàm số \(\,f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}}\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2}\\{\,\,\left( {1 - a} \right)x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ge 2}\end{array}} \right.\)  liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Tổng các giá trị \(a\) thõa mãn là?

  • A \(\frac{1}{2}\)              
  • B \( - \frac{1}{2}\)           
  • C \(-1\)
  • D \(1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định a để hàm số liên tục tại \(x = 2.\)

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\)

Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) hàm số liên tục tại điểm \(x = 2.\)

Ta có: \(f\left( 2 \right) = \left( {1 - a} \right).2 = 2 - 2a.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {1 - a} \right)x = 2\left( {1 - a} \right) = 2 - 2a.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{a^2}\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {a^2}\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right) = 4{a^2}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \)  Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow \) \(2 - 2a = 4{a^2} \Leftrightarrow 4{a^2} + 2a - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\a =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow S = \frac{1}{2} + \left( { - 1} \right) =  - \frac{1}{2}.\)  

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 43 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  x\sin {2 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr   a\cos x - 5\,\,\,\,khi\,\,x \le 0 \hfill \cr}  \right.\). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để hàm số liên tục trên R.

  • A a = 5
  • B a = 7
  • C \(a = {{11} \over 2}\)
  • D Không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0. Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\). Để hàm số liên tục trên R ta cần chứng minh hàm số liên tục tại x = 0.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {a\cos x - 5} \right) = a - 5 = f\left( 0 \right)\)

Ta có \(0 \le \left| {x\sin {2 \over x}} \right| \le \left| x \right|,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| x \right| = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sin {2 \over x}} \right) = 0\)

Để hàm số liên tục tại điểm x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a - 5 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 44 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le {\pi  \over 2} \hfill \cr   ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right.\) liên tục trên R. Khi đó giá trị của a và b là:

  • A \(\left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 1 \hfill \cr}  \right.\)
  • B \(\left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 2 \hfill \cr}  \right.\)         
  • C

    \(\left\{ \matrix{  a = {1 \over \pi } \hfill \cr   b = 0 \hfill \cr}  \right.\)

  • D \(\left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Hàm đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên các tập xác định của chúng.

+) Xét tính liên tục của hàm số tại \(x =  \pm {\pi  \over 2}\)

+) Để hàm số liên tục tại \(x =  \pm {\pi  \over 2}\)  thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right);\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| \le {\pi  \over 2} \hfill \cr   ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left| x \right| > {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  \sin x\,\,\,\,\,\,\,khi\,\, - {\pi  \over 2} \le x \le {\pi  \over 2} \hfill \cr   ax + b\,\,\,\,khi\,\,\left[ \matrix{  x > {\pi  \over 2} \hfill \cr   x <  - {\pi  \over 2} \hfill \cr}  \right. \hfill \cr}  \right.\)

Ta có hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {\pi  \over 2}} \right) \cup \left( { - {\pi  \over 2};{\pi  \over 2}} \right) \cup \left( {{\pi  \over 2}; + \infty } \right)\)

Để hàm số liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại các điểm \(x =  \pm {\pi  \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right) \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {\pi  \over 2}} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Ta có

\(\eqalign{  & \left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} \left( {ax + b} \right) = a{\pi  \over 2} + b \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} \left( {\sin x} \right) = \sin {\pi  \over 2} = 1 \hfill \cr   f\left( {{\pi  \over 2}} \right) = \sin {\pi  \over 2} = 1 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( {{\pi  \over 2}} \right) \Leftrightarrow a{\pi  \over 2} + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)  \cr   & \left. \matrix{  \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} \left( {\sin x} \right) = \sin \left( { - {\pi  \over 2}} \right) =  - 1 \hfill \cr   \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} \left( {ax + b} \right) =  - a{\pi  \over 2} + b \hfill \cr   f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) = \sin {{ - \pi } \over 2} =  - 1 \hfill \cr}  \right\} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - {\pi  \over 2}} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - {\pi  \over 2}} \right) \Leftrightarrow  - a{\pi  \over 2} + b =  - 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr} \) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \matrix{  a{\pi  \over 2} + b = 1 \hfill \cr    - a{\pi  \over 2} + b =  - 1 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a = {2 \over \pi } \hfill \cr   b = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 45 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên [a; b]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

  • A Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn [a; b] và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
  • B Nếu \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
  • C Nếu phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm trong khoảng \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).
  • D Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Nhận xét từng đáp án, sử dụng định lí: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì tồn tại ít nhất một số \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) sao cho \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Đáp án A sai. Chẳng hạn xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 5.\) Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\) và liên tục trên đoạn đó, đồng thời \(f\left( { - 3} \right).f\left( 3 \right) = 16 > 0\) nhưng phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 5 = 0\) có nghiệm \(x =  \pm \sqrt 5  \in \left( { - 3;3} \right)\)

Đáp án B sai vì thiếu điều kiện \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\).

Đáp án C sai. Ví dụ xét hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{  x + 1\,\,\,khi\,\,x < 0 \hfill \cr   x + 2\,\,khi\,\,x \ge 0 \hfill \cr}  \right.\). Hàm số này xác định trên \(\left[ { - 3;3} \right]\), có nghiệm \(x =  - 1\) thuộc khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\) nhưng gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in \left( { - 3;3} \right)\) nên không liên tục trên khoảng \(\left( { - 3;3} \right)\).

Đáp án D đúng. Thật vậy:

+ Vì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tăng trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

TH1: \(\left\{ \matrix{  f\left( a \right) > 0 \hfill \cr   f\left( b \right) > 0 \hfill \cr   f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)

TH2: \(\left\{ \matrix{  f\left( a \right) < 0 \hfill \cr   f\left( b \right) < 0 \hfill \cr   f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow f\left( x \right) < 0\).

Vậy không có giá trị nào của x để \(f\left( x \right) = 0\), hay phương trình \(f\left( x \right) = 0\) không thể có nghiệm trong \(\left( {a;b} \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 46 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,5x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0\\{x^2} + 1\,\,\,khi\,\,x > 0\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A Hàm số gián đoạn tại \(x = 0\).
  • B Hàm số liên tục tại \(x = 0\).
  • C Hàm số gián đoạn tại \(x = 1\).
  • D

    Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số xác định tại \({x_0}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: .

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {5x} \right) = 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 1\end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số đã cho gián đoạn tại \(x = 0\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 47 :

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}.\)

  • A \(\frac{3}{2}.\)
  • B \(3\)
  • C \(1\)
  • D \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Phân tích tử số thành nhân tử.

- Rút gọn biểu thức rồi tìm giới hạn.

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định tại \(x = {x_0}\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x - 1} \right) = 2.2 - 1 = 3.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 48 :

Tìm \(m\) để các hàm số\(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {2x - 4}  + 3{\rm{\,\,\,\,khi }}\,\,x \ge 2\\\frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}}{\rm{\,\,\,\,khi }}\,\,x < 2\end{array} \right.\)  liên tục trên \(\mathbb{R}\)?

  • A \(m =  - \frac{1}{6}\)
  • B \(m = 1\)                      
  • C \(m = 0\)          
  • D \(m = 5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2.\) 

Hàm số \(y = f\left( x \right)\)  liên tục tại điểm \(x = {x_0} \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).\)  

Lời giải chi tiết:

Hàm số đã cho luôn xác định và liên tục trên  khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và liên tục tại \(x = 2\).

Hàm số liên tục trên \(\left( { - \infty ;2} \right) \Leftrightarrow g(x) = {x^2} - 2mx + 3m + 2 \ne 0,{\rm{ }}\forall x < 2\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {m^2} - 3m - 2 \le 0\\g(2) =  - m + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m \ne 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m \le \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}.\)

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\m < \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\)

Giả sử đa thức \(g\left( x \right)\) có hai nghiệm \({x_1} < {x_2}.\) Khi đó ta có:

\( \Rightarrow g\left( 2 \right) > 0 \Leftrightarrow 4 - 4m + 3m + 2 > 0 \Leftrightarrow m < 6.\)

\( \Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} < m < 6\)

\( \Rightarrow \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} \le m < 6\) (*)  thì  \(g(x) \ne 0,{\rm{ }}\forall x < 2\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\sqrt {2x - 4}  + 3} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2mx + 3m + 2}} = \frac{3}{{6 - m}}\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \frac{3}{{6 - m}} = 3 \Leftrightarrow m = 5\) (thỏa (*))

Vậy \(m = 5\) là  giá trị cần tìm.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 49 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 6}  - a}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 3\\{x^3} - \left( {2b + 1} \right)x\,\,\,khi\,\,x = 3\end{array} \right.\). Trong đó \(a\) và \(b\)là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại \(x = 3\). Số nhỏ hơn trong hai số \({\rm{a}}\) và \(b\) là?

  • A \(2\)
  • B \(3\)
  • C \(4\)
  • D \(5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) \,;\,\,f\left( 3 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( 3 \right) = {3^3} - 3\left( {2b + 1} \right) = 24 - 6b\).

Đặt \(g\left( x \right) = \sqrt {x + 6}  - a.\) Ta có: \(g\left( 3 \right) = 3 - a\).

Ta thấy nếu \(g\left( 3 \right) \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 3\) thì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{g\left( x \right)}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \infty \) nên hàm số không thể liên tục tai \(x = 3.\)

Nếu \(g\left( 3 \right) = 0 \Leftrightarrow a = 3\) thì

 \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 6}  - 3}}{{\sqrt {x + 1}  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x + 6}  - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 1}  + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x + 6}  + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1}  + 2}}{{\sqrt {x + 6}  + 3}} = \frac{2}{3}.\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = 3\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) \Leftrightarrow 24 - 6b = \frac{2}{3} \Leftrightarrow b = \frac{{35}}{9}\) .

Số nhỏ hơn  là \(a = 3\) .

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 50 :

Tính tổng các giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình \(\left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = 0\) có nghiệm ?

  • A \(1\)
  • B \(3\)
  • C \(6\)
  • D \(10\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét các trường hợp \({m^2} \ge 4;\,\,\,{m^2} < 4.\) 

Lời giải chi tiết:

Đặt  \(f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2\)

Với  \(m = 1\) ta có phương trình  \( - 3{x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = 0\).

Có \(f\left( 0 \right) = 2;\,\,f\left( { - 1} \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) =  - 2 < 0 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm trong \(\left( { - 1;\,\,0} \right).\)

Với \(m = 2\) ta có  phương trình \({x^3} + {x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow x \approx  - 1,69 \Rightarrow \)  phương trình có nghiệm.

Với \(m \ge 3\) , ta có \(\left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + {x^3} + {x^2} + 2 = \left( {{m^2} - 5} \right){x^4} + {\left( {{x^2} + \frac{x}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}{x^2} + 2 > 0 \Rightarrow \) phương trình trên vô nghiệm.

Tổng các giá trị \(m\)  thỏa mãn bài toán là: \(1 + 2 = 3.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

Các bài liên quan: - 100 bài tập hàm số liên tục

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.