40 bài tập vecto trong không gian
Làm đề thiCâu hỏi 1 :
Mệnh đề nào sau đây sai?
- A Ba điểm \(A,\,B,\,C\) bất kì thì \(\overrightarrow {AC\,\,} = \overrightarrow {AB\,\,} + \overrightarrow {BC\,\,} \).
- B \(I\) là trung điểm \(AB\) thì \(\overrightarrow {MI\,\,} = \overrightarrow {MA\,\,} + \overrightarrow {MB\,\,} \)với mọi điểm \(M\).
- C \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AC\,\,} = \overrightarrow {AB\,\,} + \overrightarrow {AD\,\,} \).
- D \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) thì \(\overrightarrow {GA\,\,} + \overrightarrow {GB\,\,} + \overrightarrow {GC\,\,} = \overrightarrow {0\,\,} \).
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trung điểm
Lời giải chi tiết:
Mệnh đề sai là: \(I\) là trung điểm \(AB\) thì \(\overrightarrow {MI\,\,} = \overrightarrow {MA\,\,} + \overrightarrow {MB\,\,} \)với mọi điểm \(M\).
Sửa lại: \(I\) là trung điểm \(AB\) thì \(2\overrightarrow {MI\,\,} = \overrightarrow {MA\,\,} + \overrightarrow {MB\,\,} \)với mọi điểm \(M\).
Chọn: B
Câu hỏi 2 :
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Đặt \(AA' = a;\,\,AB = b,\,\,AC = c\). Gọi I là điểm thuộc đường thẳng CC’ sao cho \(\overrightarrow {C'I} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {C'C} \), G là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) . Biểu diễn vectơ\(\overrightarrow {IG} \) qua các vectơ \(\overrightarrow a ;\,\,\overrightarrow b ;\,\,\overrightarrow c \). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?
- A \(\overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{3}\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 3\overrightarrow c } \right)\)
- B \(\overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + 2\overrightarrow c } \right)\)
- C \(\overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow c - 2\overrightarrow b } \right)\)
- D \(\overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow b + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c - 2\overrightarrow a } \right)\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GA'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IA'} + \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IB'} + \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IC'} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {GI} + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IA'} + \overrightarrow {IB'} + \overrightarrow {IC'} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IC'} + \overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {IC'} + \overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {IC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {IC} + 3\overrightarrow {IC'} + 3\overrightarrow {CA} + 2\overrightarrow {A'B'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{4}\left( { - \dfrac{2}{3}\overrightarrow a + \overrightarrow a - 3\overrightarrow c + 2\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{1}{3}\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 3\overrightarrow c } \right)\end{array}\)
Chọn A.
Câu hỏi 3 :
Cho hình bình hành \(ABCD.\) Tổng các vecto \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \) là:
- A \(\overrightarrow {AC} \)
- B \(2\overrightarrow {AC} \)
- C \(3\overrightarrow {AC} \)
- D \(5\overrightarrow {AC} \)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành \(ABCD\) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} .\)
Chọn B.
Câu hỏi 4 :
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Hệ thức nào sau đây đúng?
- A \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \)
- B \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AA'} \)
- C \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \)
- D \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm và các vectơ bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} \).
Mà \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'} \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Chọn C.
Câu hỏi 5 :
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'D} '\).
- A \({a^2}.\)
- B \(a\sqrt 2 \).
- C \(0\).
- D \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \widehat {\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)}\). Đặc biệt khi \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB//A'B'\\A'B' \bot A'D'\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot A'D' \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'D'} = 0\).
Chọn C.
Câu hỏi 6 :
Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Gọi \(O\) là tâm của hình lập phương. Chọn đẳng thức đúng?
- A \(\overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\)
- B \(\overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\)
- C \(\overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\)
- D \(\overrightarrow {AO} = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm và công thức hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Do \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình lập phương nên \(AC{C_1}{A_1}\) là hình chữ nhật.
\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(A{C_1} \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A{C_1}} \).
Ta có: \(\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A{A_1}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AO} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\)
Chọn B.
Câu hỏi 7 :
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Khi đó góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {B'C'} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là góc nào dưới đây?
- A \(\angle B'C'A'\)
- B \(\angle DAC\)
- C \(\angle C'A'B'\)
- D \(\angle DCA\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
\(\angle \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \angle \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow c } \right)\) với \(\overrightarrow c \) là vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow b \).
Lời giải chi tiết:
Ta có : \(\overrightarrow {AD} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {B'C'} \)
\( \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {B'C'} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \angle DAC\).
Chọn B.
Câu hỏi 8 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có trọng tâm \(G\). Chọn mệnh đề đúng?
- A \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)\)
- B \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)\)
- C \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right)\)
- D \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GD} \\ = 3\overrightarrow {AG} + \left( {\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 3\overrightarrow {AG} - \overrightarrow {GA} = 4\overrightarrow {AG} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\end{array}\)
Chọn D.
Câu hỏi 9 :
Cho tứ diện \(ABCD\) với \(AC = \dfrac{3}{2}AD,\,\,\angle CAB = \angle DAB = {60^0},\,\,CD = AD\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(AB\) và \(CD\). Chọn khẳng định đúng?
- A \(\cos \varphi = \dfrac{1}{4}\)
- B \(\varphi = {60^0}\)
- C \(\varphi = {30^0}\)
- D \(\cos \varphi = \dfrac{3}{4}\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(AD = x \Rightarrow AC = \dfrac{3}{2}x,\,\,CD = x\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = AB.AD.\cos \angle DAB - AB.AC.\cos \angle CAB\\ = AB.x.\cos {60^0} - AB.\dfrac{3}{2}x.\cos {60^0}\\ = AB.x.\dfrac{1}{2} - AB.\dfrac{3}{2}x.\dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}AB.x\end{array}\)
Khi đó ta có \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}} = \dfrac{{ - \dfrac{1}{4}AB.x}}{{AB.x}} = - \dfrac{1}{4} < 0\).
Vậy \(\cos \left( {AB;CD} \right) = \dfrac{1}{4} \Rightarrow \cos \varphi = \dfrac{1}{4}\).
Chọn A.
Câu hỏi 10 :
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Khi đó vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ nào dưới đây ?
- A \(\overrightarrow {B'A'} \)
- B \(\overrightarrow {D'C'} \)
- C \(\overrightarrow {CD} \)
- D \(\overrightarrow {BA} \)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
Do \(ABC'D'\) là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = CD\\AB \nearrow \nearrow D'C'\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {D'C'} \).
Chọn B.
Câu hỏi 11 :
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), \(M\) là trung điểm của \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c + \dfrac{1}{2}\overrightarrow b \)
- B \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \)
- C \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \dfrac{1}{2}\overrightarrow a \)
- D \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \dfrac{1}{2}\overrightarrow b \)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm.
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BB'} \\ = - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = - \overrightarrow a + \overrightarrow b + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \end{array}\)
Chọn B.
Câu hỏi 12 :
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Chọn mệnh đề đúng.
- A \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {GD} \)
- B \(\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {DG} \)
- C \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {DG} \)
- D \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {GD} \)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) với \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\).
Lời giải chi tiết:
Do \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GD} + \left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {DG} \end{array}\)
Vậy mệnh đề C đúng.
Chọn C.
Câu hỏi 13 :
Cho I là trung điểm của đoạn MN ?Mệnh đề nào là mệnh đề SAI?
- A \(\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \)
- B \(\overrightarrow {MN} = 2\overrightarrow {NI} \)
- C \(\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {NI} = \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} \)
- D \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AI} \)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow \overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AI} \,\,\forall A\).
+) Hai vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) được gọi là cùng phương nếu tồn tại hằng số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow a = k\overrightarrow b \).
Lời giải chi tiết:
Do \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {NI} \) là 2 vectơ ngược hướng nên đáp án B sai.
Chọn B
Câu hỏi 14 :
Hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\). Hãy chỉ ra mệnh đề SAI?
- A \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \)
- B \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \)
- C \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \)
- D \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0 \)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \,\,\forall M\), với \(I\) là trung điểm của \(AB\).
Lời giải chi tiết:
Do \(O\) là trung điểm của \(AC,\,\,BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right. \Rightarrow \) Mệnh đề A, B đúng.
\( \Rightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \Rightarrow \) Mệnh đề C đúng.
Chọn D
Câu hỏi 15 :
Hai vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) lần lượt làvecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’. \(d \bot d'\) khi?
- A \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) cùng phương
- B \(\overrightarrow u = \overrightarrow {u'} \)
- C \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) = 1\)
- D \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right) = 0\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
\(d \bot d' \Rightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow {u'} \).
Lời giải chi tiết:
\(d \bot d' \Rightarrow \overrightarrow u \bot \overrightarrow {u'} \Rightarrow \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right) = {90^0} \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right) = \cos {90^0} = 0\).
Chọn D
Câu hỏi 16 :
Cho ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Xét các vectơ \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b ;\,\,\,\overrightarrow y = \overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow c ;\)\(\,\overrightarrow z = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c \,\). Chọn khẳng định đúng?
- A Ba vectơ \(\overrightarrow x ;\,\,\overrightarrow y ;\,\,\overrightarrow z \) đồng phẳng
- B Hai vectơ \(\overrightarrow x ;\,\,\overrightarrow a \) cùng phương.
- C Hai vectơ \(\overrightarrow x ;\,\,\overrightarrow b \) cùng phương.
- D Ba vectơ \(\overrightarrow x ;\,\,\overrightarrow y ;\,\,\overrightarrow z \) đôi một cùng phương.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Cho 3 vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \), trong đó \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \) đồng phẳng là tồn tại cặp số \(\left( {m;n} \right)\) sao cho \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow y - \overrightarrow x = 2\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) - \left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c = \overrightarrow z \end{array}\)
Do đó ba vectơ \(\overrightarrow x ,\,\,\overrightarrow y ,\,\,\overrightarrow z \) đồng phẳng.
Chọn A
Câu hỏi 17 :
Cho tứ diện \(ABCD\). Các điểm \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Lấy hai điểm \(P,\,\,Q\) lần lượt thuộc \(AD\) và \(BC\) sao cho \(\overrightarrow {PA} = m\overrightarrow {PD} \) và \(\overrightarrow {QB} = m\overrightarrow {QC} \) với \(m\) khác 1. Vectơ \(\overrightarrow {MP} \) bằng:
- A \(\overrightarrow {MA} - m\overrightarrow {PD} \)
- B \(\overrightarrow {MN} - m\overrightarrow {PD} \)
- C \(\overrightarrow {MN} - m\overrightarrow {QC} \)
- D \(\overrightarrow {MB} - m\overrightarrow {QC} \)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} \,\,\forall M\).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AP} = \overrightarrow {MA} - m\overrightarrow {PD} \).
Chọn A.
Câu hỏi 18 :
Cho hình hộp \(ABCD.EFGH\) (tham khảo hình vẽ). Tính tổng ba véctơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} \) ta được
- A \(\overrightarrow {AG} \).
- B \(\overrightarrow {AH} \).
- C \(\overrightarrow {AF} \).
- D \(\overrightarrow {AC} \).
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hình bình hành.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AG} \).
Chọn A.
Câu hỏi 19 :
Cho hình lập phương \(ABCD.EFGH\), góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ;\,\overrightarrow {FG} \) là:
- A \({45^0}\)
- B \({30^0}\)
- C \({90^0}\)
- D \({60^0}\)
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
\(\angle \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {FG} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0}\).
Chọn A.
Câu hỏi 20 :
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Tích vô hướng của hai véctơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \) bằng :
- A \({a^2}\sqrt 2 \)
- B \({a^2}\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
- C \({a^2}\)
- D \(0\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \angle \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = AB.A'C'.\cos \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {A'C'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = AB.A'C'.\cos \angle \left( {\overrightarrow {A'B'} ;\overrightarrow {A'C'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = a.a\sqrt 2 .\cos {45^0} = {a^2}\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\end{array}\)
Chọn C.
Câu hỏi 21 :
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng chứa đáy \(\left( {ABCD} \right)\), độ dài cạnh \(SA\) bằng \(2a\) (Tham khảo hình vẽ bên). Biết \(\overrightarrow {AC} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AD} + p\overrightarrow {AS} \). Tính tổng \(m + n + p\)
- A \(3.\)
- B \(2.\)
- C \(1.\)
- D \(0\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng quy tắc hình hình hành.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(ABCD\) là hình vuông \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 1\\p = 0\end{array} \right. \Rightarrow m + n + p = 1 + 1 + 0 = 2\).
Chọn B.
Câu hỏi 22 :
Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), điểm \(M\) nằm trên đoạn Công thức nhân đôi và hạ bậc sao cho \(AM = 2MS\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A \(\overrightarrow {MG} = - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \)
- B \(\overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \)
- C \(\overrightarrow {MG} = - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \)
- D \(\overrightarrow {MG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức ba điểm: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} \) và công thức trọng tâm của tam giác: \(\overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\) với \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là điểm bất kì.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SG} = - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right)\\ = - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SA} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {SC} \end{array}\)
Chọn B.
Câu hỏi 23 :
Trong không gian, ba vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \) được gọi là đồng phẳng nếu và chỉ nếu:
- A Chúng có giá cùng nằm trong một mặt phẳng.
- B Một trong ba vectơ là vectơ không.
- C Chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
- D Chúng có giá song song với một mặt phẳng nào đó.
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng khái niệm đồng phẳng của vectơ.
Lời giải chi tiết:
Trong không gian, ba vectơ \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \) được gọi là đồng phẳng nếu và chỉ nếu chúng có giá song song với một mặt phẳng nào đó.
Chọn D.
Câu hỏi 24 :
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\) và \(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD\). Đặt \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow d \). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {MG} \) theo \(\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow d \).
- A \(- \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow c - 2\overrightarrow d } \right)\)
- B \(\dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b - \dfrac{5}{6}\overrightarrow c } \right)\)
- C \(\dfrac{1}{2}\left( { - \overrightarrow a + \dfrac{4}{3}\overrightarrow b - \dfrac{1}{6}\overrightarrow c } \right)\)
- D \(\dfrac{1}{3}\overrightarrow a - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b - \dfrac{5}{6}\overrightarrow c \)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm: Cho tam giác \(BCD\) có trọng tâm \(G\). Với mọi điểm \(M\) ta luôn có: \(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 3\overrightarrow {MG} \).
Lời giải chi tiết:
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{3}\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CM} - \overrightarrow {DM} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB} } \right) - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} } \right) - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b - \dfrac{1}{6}\left( { - 2\overrightarrow c + \overrightarrow b } \right) - \dfrac{1}{6}\left( { - 2\overrightarrow d + \overrightarrow b } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \dfrac{1}{6}\overrightarrow b + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b + \dfrac{1}{3}\overrightarrow d - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = - \dfrac{1}{6}\overrightarrow b + \dfrac{1}{3}\overrightarrow c + \dfrac{1}{3}\overrightarrow d \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow c - 2\overrightarrow d } \right)\end{array}\)
Vậy \(\overrightarrow {MG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow b - 2\overrightarrow c - 2\overrightarrow d } \right)\).
Chọn A.
Câu hỏi 25 :
Trong không gian cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng \(8\), \(M\) là một điểm tùy ý thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 100\). Khi đó, quỹ tích điểm \(M\) là một mặt cầu có bán kính bằng bao nhiêu?
- A \(6\)
- B \(3\sqrt 3 \)
- C \(2\sqrt 3 \)
- D \(2\)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Biến đổi vecto để đưa về \(MK = x\) với \(x\) là hằng số thì quỹ tích điểm \(M\) là mặt cầu tâm \(K\) có bán kính bằng \(x\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều có cạn bằng 8 nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\GA = GB = GC = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}AB = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} } \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + G{A^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + G{B^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + G{C^2} = 100\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) = 100\\ \Leftrightarrow 3M{G^2} + 2.\overrightarrow {MG} .\overrightarrow 0 + 3G{A^2} = 100\\ \Leftrightarrow 3M{G^2} + 3.{\left( {\dfrac{{8\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow M{G^2} = 12 \Leftrightarrow MG = 2\sqrt 3 \end{array}\)
Vậy quỹ tích điểm \(M\) là mặt cầu tâm \(G\) có bán kính bằng \(2\sqrt 3 \).
Chọn C.
Câu hỏi 26 :
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Hệ thức nào đúng ?
- A \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \).
- B \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'} \).
- C \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
- D \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB'} \).
Đáp án: C
Phương pháp giải:
- Hình hộp có tất cả các mặt đều là hình bình hành.
- Sử dụng công thức ba điểm: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \).
- Áp dụng công thức hình hành hành: Cho hình bình hành \(ABCD\), ta có: \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CC'} \).
Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\)
Lại có: \(\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AA'} \).
Do đó \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} .\)
Chọn C.
Câu hỏi 27 :
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) đều khác vecto \(\overrightarrow 0 \). Khẳng định nào đúng ?
- A \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).
- B \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
- C \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\)
- D \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{1}{2}.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tích vô hướng của 2 véctơ: Tích vô hướng của hai vectơ bằng tích độ dài nhân cos góc xen giữa.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)
Chọn B.
Câu hỏi 28 :
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Chọn khẳng định đúng ?
- A \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {BD'} \) đồng phẳng.
- B \(\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {B'D'} \) đồng phẳng.
- C \(\overrightarrow {BA'} ,\,\,\overrightarrow {BD'} ,\,\,\overrightarrow {BC'} \) đồng phẳng.
- D \(\overrightarrow {BD} ,\,\,\overrightarrow {BD'} ,\,\,\overrightarrow {BC} \) đồng phẳng.
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Điều kiện 3 véctơ đồng phẳng:
- Cùng song song với một mặt phẳng.
- Tồn tại \(m,\,\,n\,\,\left( {{m^2} + {n^2} > 0} \right)\) sao cho \(\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(ABCD\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \)
Mà \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {B'D'} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) .
Vậy \(\overrightarrow {B'D'} ;\,\,\overrightarrow {BA} ;\,\,\overrightarrow {BC} \) đồng phẳng.
Chọn B.
Câu hỏi 29 :
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
- A \(30^\circ \).
- B \(90^\circ \).
- C \(120^\circ \).
- D \(60^\circ \).
Đáp án: C
Phương pháp giải:
- Dựng vectơ gốc \(A\) bằng vectơ \(\overrightarrow {BC} \).
- Chứng minh \(\Delta ABC\) đều, sử dụng tính chất của tam giác đều.
Lời giải chi tiết:
Dựng hình bình hành \(ABCE\), khi đó ta có \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AE} \).
\( \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AE} } \right) = \angle BAE\).
Vì tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AB = BC = CA \Rightarrow \Delta ABC\) đều.
Do đó \(\angle ABC = {60^0}\).
Mà \(ABCE\) là hình bình hành (theo cách dựng) nên \(\angle BAE = {180^0} - \angle ABC = {120^0}\).
Vậy \(\angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = {120^0}\).
Chọn C.
Câu hỏi 30 :
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
- A \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {AG} .\)
- B \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} .\)
- C \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AG} .\)
- D \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AG} .\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng tính chất của trọng tâm tam giác.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \)
Chọn B.
Câu hỏi 31 :
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(BC = a\sqrt 2 \), các cạnh còn lại đều bằng \(a\). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) bằng:
- A \(60^\circ .\)
- B \(30^\circ .\)
- C \(90^\circ .\)
- D \(120^\circ .\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} \).
- Sử dụng định nghĩa tích vô hướng \(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = SB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} \end{array}\)
+) \(\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC} = SC.AC.cos\angle \left( {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {AC} } \right)\).
Xét \(\Delta SAC\) ta có \(SA = AC = SC = a \Rightarrow \Delta SAC\) đều \( \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {SC} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {60^0}\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AC} = a.a.\cos {60^0} = \frac{1}{2}{a^2}\).
+) \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} = CB.AC.\cos \angle \left( {\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {AC} } \right)\).
Xét tam giác \(ABC\) có \(AB = AC = a,\,\,BC = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).
\( \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {CB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {180^0} - {45^0} = {135^0}\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {AC} = a\sqrt 2 .a.\cos {135^0} = - {a^2}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{a^2} - {a^2} = - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Rightarrow SB.AC.\cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow a.a.\cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow \cos \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \angle \left( {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {120^0}\end{array}\).
Chọn D.
Câu hỏi 32 :
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\). Khẳng định nào sau đây đúng:
- A \(AG = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
- B \(\overrightarrow {AG} = \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
- C \(\overrightarrow {AG} = - \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
- D \(\overrightarrow {AG} = - \dfrac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\)
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm: \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \) với \(G\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên ta có: \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\end{array}\)
Vậy khẳng định đúng là A.
Chọn A.
Câu hỏi 33 :
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), \(M\) là trung điểm của \(BB'\). Đặt \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow a ,\) \(\overrightarrow {CB} = \overrightarrow b ,\) \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow c \). Khẳng định nào sau đây đúng ?
- A \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b + \overrightarrow c - \dfrac{1}{2}\overrightarrow a .\)
- B \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a - \overrightarrow c - \dfrac{1}{2}\overrightarrow b .\)
- C \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow a + \overrightarrow c - \dfrac{1}{2}\overrightarrow b .\)
- D \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c .\)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trung điểm: \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right)\) và công thức hình bình hành: \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow b - \overrightarrow a + \dfrac{1}{2}\overrightarrow c \end{array}\)
Chọn D.
Câu hỏi 34 :
Cho tứ diện ABCD, gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
- A \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
- B \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
- C \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
- D \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức trọng tâm: G là trọng tâm của tam giác BCD thì \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
Lời giải chi tiết:
Vì G là trọng tâm của tam giác BCD thì \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
Chọn D.
Câu hỏi 35 :
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \) bằng ?
- A \({a^2}\sqrt 3 \).
- B \({a^2}\).
- C \(\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).
- D \({a^2}\sqrt 2 \).
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\overrightarrow {\left| b \right|} .\cos \angle \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
Lời giải chi tiết:
Vì \(\overrightarrow {AC} ;\,\,\overrightarrow {A'C'} \) là 2 vectơ cùng phương \( \Rightarrow \angle \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \angle BAC = {45^0}\).
Do A’B’C’D’ là hình vuông cạnh a nên \(A'C' = a\sqrt 2 \).
Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = AB.A'C'.\cos {45^0} = a.a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).
Chọn B.
Câu hỏi 36 :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết A(1;2;3), B’(2;0;-1), C(3;0;-3), D’(-2;4;-3). Tọa độ đỉnh B của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là:
- A B(4;-1;1)
- B B(2;-1;2)
- C B(4;1;-1)
- D B(0;1;-3)
Đáp án: C
Phương pháp giải:
- Gọi \(I = AB' \cap A'B\) và E là trung điểm của CD’, xác định tọa độ điểm I và E.
- Giải phương trình \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {CE} \).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(I = AB' \cap A'B\), vì ABB’A’ là hình bình hành nên I là trung điểm của A’B và AB’ \( \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)\).
Gọi E là trung điểm của CD’ \( \Rightarrow E\left( {\frac{1}{2};2; - 3} \right)\).
Xét tứ giác A’D’CB có A’D’ // BC, A’D’ = BC \( \Rightarrow A'D'CB\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'B\parallel CD'\) và A’B = CD’.
\( \Rightarrow BI\parallel CE\) và BI = CE, do đó \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {CE} \).
Ta có \(\overrightarrow {CE} = \left( { - \frac{5}{2};2;0} \right)\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2} - {x_B} = - \frac{5}{2}\\1 - {y_B} = 2\\1 - {z_B} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4\\{y_B} = - 1\\{z_B} = 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {4; - 1;1} \right)\).
Chọn A.
Câu hỏi 37 :
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( { - 4;1;9} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là:
- A \(\left( { - 2;4;8} \right).\)
- B \(\left( { - 6; - 2;10} \right).\)
- C \(\left( { - 3; - 1;5} \right).\)
- D \(\left( {6;2; - 10} \right).\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tính tọa độ vectơ trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Ta có \(A\left( {2;3; - 1} \right),B\left( { - 4;1;9} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 2;10} \right)\).
Chọn B.
Câu hỏi 38 :
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm \(AD,BB'\). Côsin của góc hợp bởi \(MN\) và \(AC'\) là:
- A \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
- B \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
- C \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
- D \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\cos \left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC'} \right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AC'} \right|}\)
Gọi cạnh của hình lập phương bằng a.
\(AM\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow AM\bot AN\Rightarrow \Delta AMN\) vuông tại A
\(\begin{align} & M{{N}^{2}}=M{{A}^{2}}+A{{N}^{2}}=M{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{N}^{2}} \\ & =\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ \end{align}\)
\(B'C'\bot \left( ABB'A' \right)\Rightarrow B'C'\bot AB'\Rightarrow \Delta B'C'\) vuông tại B’.
\(\begin{align} & C'{{A}^{2}}=C'B{{'}^{2}}+B'{{A}^{2}}=C'B{{'}^{2}}+B'{{B}^{2}}+B{{A}^{2}} \\ & ={{a}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow C'A=a\sqrt{3} \\ \end{align}\)
Lại có:
\(\begin{align} & \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=\left( \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN} \right)\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{B'C'} \right) \\ & =\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}+A{{B}^{2}}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{B'C'} \\ \end{align}\)
Mà \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{B'C'}=0\) (do các tích vô hướng của các vector vuông góc)
Nên \(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}=A{{B}^{2}}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{B'C'}={{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}}{2}={{a}^{2}}\)
Vậy \(\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC'} \right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AC'}}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AC'} \right|}=\frac{{{a}^{2}}}{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Chọn B.
Câu hỏi 39 :
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có cạnh bằng \(a\) Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và điểm \(S\) sao cho \(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}'}+\overrightarrow{O{B}'}+\overrightarrow{O{C}'}+\overrightarrow{O{D}'}\). Tính độ dài đoạn \(OS\) theo \(a\).
- A \(OS=6a\).
- B \(OS=4a\).
- C \(OS=a\).
- D \(OS=2a\).
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của hình lập phương và quy tắc trung điểm để cộng các véc tơ.
Nếu \(I\) là trung điểm của \(AB\)thì \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \({O}'\) là tâm của hình vuông \({A}'{B}'{C}'{D}'\).
Ta có :
\(\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{O{A}'}+\overrightarrow{O{B}'}+\overrightarrow{O{C}'}+\overrightarrow{O{D}'}\)
\(=\left( \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right)+\left( \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD} \right)+\left( \overrightarrow{O{A}'}+\overrightarrow{O{C}'} \right)+\left( \overrightarrow{O{B}'}+\overrightarrow{O{D}'} \right)\).
\(=\overrightarrow{0}+2\overrightarrow{O{O}'}+2\overrightarrow{O{O}'}=4\overrightarrow{O{O}'}\).
Do đó \(OS=\left| 4\overrightarrow{O{O}'} \right|=4.\left| \overrightarrow{O{O}'} \right|=4a\).
Chọn B.
Câu hỏi 40 :
Cho tứ diện ABCD biết AB = BC = CA = 4, AD = 4, CD = 6, BD = 7. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:
- A 600
- B 1200
- C 300
- D 1500
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\) và định lí Cosin trong tam giác.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} }}{{AB.CD}} = \frac{{\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)}}{{AB.CD}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.CD}}\\ = \frac{{AB.AD.\cos \left( {AB;AD} \right) - AB.AC.\cos \left( {AB;AC} \right)}}{{AB.CD}}\\ = \frac{{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2} - \left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)}}{{2AB.CD}}\\ = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} } \right) = {120^0} \Rightarrow \left( {AB;CD} \right) = {60^0}\end{array}\)
Chọn A.