40 bài tập vận dụng Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Làm đề thiCâu hỏi 1 :
- A x có 2 giá trị thỏa mãn
- B x có 3 giá trị thỏa mãn
- C x có 4 giá trị thỏa mãn
- D x có 5 giá trị thỏa mãn
Đáp án: B
Lời giải chi tiết:
Câu hỏi 6 :
Cho hai biểu thức A=√x+2√x−5 và B=3√x+5+20−2√xx−25 ,với x≥0,x≠25.
1. Tính giá trị biểu thức A khi x=9 2. Chứng minh rằng B=1√x−5.
Phương pháp giải:
1. Thay x=9 vào biểu thức A.
2. Chứng minh hiệu B−1√x−5=0.
Lời giải chi tiết:
1. Với x=9 thỏa mãn điều kiện x≥0,x≠25, ta có A=√x+2√x−5=√9+2√9−5=3+23−5=−52
Vậy A=−52
2. Xét hiệu B−1√x−5, ta có
3√x+5+20−2√xx−25−1√x−5=3√x+5−1√x−5+20−2√xx−25=3(√x−5)−(√x+5)(√x−5)(√x+5)+20−2√x(√x−5)(√x+5)=−20−2√x(√x−5)(√x+5)+20−2√x(√x−5)(√x+5)=0
Vậy 3√x+5+20−2√xx−25=1√x−5hay B=1√x−5
Câu hỏi 7 :
Cho biểu thức A=x−1(x+√x)(x−√x+1):1x2+√x
1. Rút gọn A 2. Tìm x sao cho A(√x+1)>0
- A 1,A=x−1.
2, x>1.
- B 1,A=x−1.
2, x<1.
- C 1,A=x−2.
2, x>1.
- D 1,A=x−3.
2, x>1.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
1. Sử dụng hằng đẳng thức, phân tích thành nhân tử và rút gọn.
2. f(x).g(x)>0⇔[{f(x)>0g(x)>0{f(x)<0g(x)<0
Lời giải chi tiết:
1. Rút gọn biểu thức A
ĐK x>0.
Ta có:
A=(√x−1)(√x+1)√x(√x+1)(x−√x+1):1√x(x√x+1)A=√x−1√x(x−√x+1).√x(x√x+1)A=(√x−1)(x√x+1)x−√x+1A=(√x−1)(√x+1)(x−√x+1)x−√x+1A=(√x−1)(√x+1)=x−1
Vậy A=x−1.
2. Ta có :
A(√x+1)>0⇔(x−1)(√x+1)>0Do√x+1>0⇒x−1>0⇔x>1
Vậy x>1.
Câu hỏi 8 :
Chọn đáp án đúng nhất:
Câu 1: Thực hiện phép tính: 2√9−3√4.
- A 0
- B 1
- C √2
- D √3
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: √A2B=|A|√B={A√BkhiA≥0−A√BkhiA<0.
Lời giải chi tiết:
Ta có: 2√9−3√4=2√32−3√22=2.3−3.2=0.
Chọn A.
Câu 2: Rút gọn biểu thức: √28(a−2)27, với a>2.
- A 4−2a
- B 2a−4
- C a−2
- D 2−a
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức: √A2B=|A|√B={A√BkhiA≥0−A√BkhiA<0.
Lời giải chi tiết:
√28(a−2)27=√4(a−2)2=√[2(a−2)]2=|2(a−2)|=2(a−2)=2a−4.(doa>2⇒a−2>0).
Vậy với a>2 thì √28(a−2)27=2a−4.
Chọn B.
Câu 3: Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị hàm số y=x2 và đồ thị hàm số y=3x−2.
- A A(2;4),B(1;−1).
- B A(−2;4),B(−1;1).
- C A(−2;4),B(−1;−1).
- D A(2;4),B(1;1).
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số để tìm hoành độ giao điểm rồi thế vào 1 trong 2 công thức hàm số để tìm tung độ giao điểm rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số ta có:
x2=3x−2⇔x2−3x+2=0⇔x2−2x−x−2=0⇔x(x−2)−(x−2)=0⇔(x−2)(x−1)=0⇔[x−2=0x−1=0⇔[x=2⇒y=22=4⇒A(2;4)x=1⇒y=12=1⇒B(1;1).
Vậy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(2;4),B(1;1).
Chọn D.
Câu hỏi 9 :
Rút gọn các biểu thức sau:
Câu 1: P=(2√x−2+√x−12√x−x):(√x+2√x−√x−1√x−2)
- A P=√x+1√x−4
- B P=√x−1√x−4
- C P=√x+1√x+4
- D P=√x−1√x+4
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
P=(2√x−2+√x−12√x−x):(√x+2√x−√x−1√x−2)
Điều kiện: x>0;x≠4
P=(2√x−2+√x−12√x−x):(√x+2√x−√x−1√x−2)=(2√x−2−√x−1√x(√x−2)):(√x+2√x−√x−1√x−2)=√x+1√x(√x−2):x−4−x+√x√x(√x−2)=√x+1√x(√x−2).√x(√x−2)√x−4=√x+1√x−4.
Câu 2: Q=(x+2√x+1−√x):(√x−41−x−√x√x+1)
- A Q=√x+1√x−2
- B Q=√x−1√x−2
- C Q=√x+1√x+2
- D Q=√x−1√x+2
Đáp án: D
Lời giải chi tiết:
Q=(x+2√x+1−√x):(√x−41−x−√x√x+1)
Điều kiện: x≥0,x≠1,x≠4.
Q=(x+2√x+1−√x):(√x−41−x−√x√x+1)=(x+2−√x(√x+1)√x+1):(4−√x(√x+1)(√x−1)−√x√x+1)=x+2−x−√x√x+1:4−√x−√x(√x−1)(√x+1)(√x−1)=2−√x√x+1:4−√x−x+√x(√x+1)(√x−1)=2−√x√x+1:4−x(√x+1)(√x−1)=2−√x√x+1.(√x+1)(√x−1)(2−√x)(2+√x)=√x−1√x+2.
Câu 3: R=(3√x√x+2+√x√x−2+3x−5√x4−x):(2√x−1√x−2−1)
- A R=−√x√x−2
- B R=√x√x−2
- C R=√x√x+2
- D R=−√x√x+2
Đáp án: C
Lời giải chi tiết:
R=(3√x√x+2+√x√x−2+3x−5√x4−x):(2√x−1√x−2−1)
Điều kiện: x≥0,x≠4.
R=(3√x√x+2+√x√x−2+3x−5√x4−x):(2√x−1√x−2−1)=(3√x√x+2+√x√x−2−3x−5√x(√x−2)(√x+2)):(2√x−1−√x+2√x−2)=3√x(√x−2)+√x(√x+2)−3x+5√x(√x−2)(√x+2):√x+1√x−2=3x−6√x+x+2√x−3x+5√x(√x−2)(√x+2):√x+1√x−2=x+√x(√x−2)(√x+2):√x+1√x−2=√x(√x+1)(√x−2)(√x+2).√x−2√x+1=√x√x+2.
Câu 4: S=(√x+3√x−2+√x+23−√x+√x+2x−5√x+6):(1−√x√x+1)
- A S=√x−1√x−2
- B S=√x+1√x−2
- C S=√x+1√x+2
- D S=√x−1√x+2
Đáp án: B
Lời giải chi tiết:
4)S=(√x+3√x−2+√x+23−√x+√x+2x−5√x+6):(1−√x√x+1)(DK:x≥0,x≠4,x≠9)=(√x+3√x−2−√x+2√x−3+√x+2(√x−3).(√x−2)):(√x+1−√x√x+1)=(√x+3)(√x−3)−(√x+2)(√x−2)+√x+2(√x−3).(√x−2):1√x+1=x−9−(x−4)+√x+2(√x−3).(√x−2):1√x+1=x−9−x+4+√x+2(√x−3).(√x−2):1√x+1=√x−3(√x−3).(√x−2).(√x+1)=√x+1√x−2.
Câu 5: T=√x+1x−1−x+2x√x−1−√x+1x+√x+1
- A T=−√xx+√x+1
- B T=−√xx−√x+1
- C T=√xx+√x+1
- D T=−2√xx+√x+1
Đáp án: A
Lời giải chi tiết:
T=√x+1x−1−x+2x√x−1−√x+1x+√x+1(DK:x≥0,x≠1)=√x+1(√x−1)(√x+1)−x+2(√x−1)(x+√x+1)−√x+1x+√x+1=1√x−1−x+2(√x−1)(x+√x+1)−√x+1x+√x+1=x+√x+1−(x+2)−(√x+1)(√x−1)(√x−1)(x+√x+1)=x+√x+1−x−2−(x−1)(√x−1)(x+√x+1)=√x−1−x+1(√x−1)(x+√x+1)=√x−x(√x−1)(x+√x+1)=−√x(√x−1)(√x−1)(x+√x+1)=−√xx+√x+1.
Câu hỏi 10 :
Rút gọn biểu thức P=a−1√a+1−√a+11 với a>0.
- A P=8.
- B P=10.
- C P=12.
- D P=2√a.
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu số của biểu thức hoặc rút gọn phân thức bằng hằng đẳng thức a−1=(√a+1)(√a−1)(a>0)
Lời giải chi tiết:
Rút gọn biểu thức P=a−1√a+1−√a+11 với a>0.
P=a−1√a+1−√a+11=(√a+1)(√a−1)√a+1−√a+11=√a−1−√a+11=10
Vậy P=10.
Chọn B.
Câu hỏi 11 :
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
- A √6(−5)2=√6−5
- B √2a2=√2a, với a≠0
- C √652=√65
- D √16a2=4a, với a≠0
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức: √A2=[AkhiA≥0−AkhiA<0
Lời giải chi tiết:
+) Đáp án A: √6(−5)2=√6−(−5)=√65⇒ A sai.
+) Đáp án B: √2a=√2|a|=[√2akhia>0√2−akhia<0⇒ B sai.
+) Đáp án C: Đúng.
+) Đáp án D: √16a2=4|a|=[4akhia>04−akhia<0⇒ D sai.
Chọn C
Câu hỏi 12 :
Rút gọn biểu thức A=x+√x+1x+√x−2+1√x−1+1√x+2 với x≥0,x≠1.
- A A=√x+1√x−1
- B A=√x−1√x+1
- C A=√x+1√x+2
- D A=√x−1√x+2
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Quy đồng và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x≥0,x≠1.
A=x+√x+1x+√x−2+1√x−1+1√x+2=x+√x+1+√x+2+√x−1(√x−1)(√x+2)=x+3√x+2(√x−1)(√x+2)=(√x+1)(√x+2)(√x−1)(√x+2)=√x+1√x−1.
Chọn A.
Câu hỏi 13 :
Rút gọn biểu thức A=[2(x−2√x+1)x−4−2√x−1√x+2]:√x√x−2 với x>0,x≠4.
- A A=1√x−2
- B A=1√x
- C A=√x√x+2
- D A=1√x+2
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu các phân thức sau đó rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
A=[2(x−2√x+1)x−4−2√x−1√x+2]:√x√x−2 với x>0;x≠4
A=[2(x−2√x+1)(√x−2)(√x+2)−(2√x−1)(√x−2)(√x+2)(√x−2)]:√x√x−2=2x−4√x+2−2x+√x+4√x−2(√x+2)(√x−2).√x−2√x=√x(√x+2)(√x−2).√x−2√x=1√x+2
Vậy A=1√x+2.
Chọn D.
Câu hỏi 14 :
Rút gọn biểu thức sau: A=4+√8+√2−√3−√62+√2−√3.
- A A=1+√2
- B A=1−√2
- C A=1+√3
- D A=1−√3
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức √A2B=|A|√B={A√BkhiA≥0−A√BkhiA<0;√AB=√A.√B rồi đặt nhân tử chung của tử số và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
A=4+√8+√2−√3−√62+√2−√3=4+2√2+√2−√3−√2.32+√2−√3=4+3√2−√3−√2.32+√2−√3=(2+√2−√3)+(2√2+2−√2.3)2+√2−√3=2+√2−√32+√2−√3+√2(2+√2−√3)2+√2−√3=1+√2
Vậy A=1+√2.
Chọn A.
Câu hỏi 15 :
Cho hai biểu thức: A=x√x−1x−√x−x√x+1x+√x+2(x+1)√x và B=√x+1+x√x−1 với x>0;x≠1.
Câu 1:
Rút gọn biểu thức A.
- A A=2√x+2+√2√x
- B A=√x+2+2√x
- C A=2√x+2+2√x
- D A=2√x+1+2√x
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Sử dụng các hằng đẳng thức a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2). Rút gọn từng phân thức (nếu được), sau đó quy đồng và rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
A=x√x−1x−√x−x√x+1x+√x+2(x+1)√x với x>0,x≠1.
A=(√x)3−1√x(√x−1)−(√x)3+1√x(√x+1)+2(x+1)√xA=(√x−1)(x+√x+1)√x(√x−1)−(√x+1)(x−√x+1)√x(√x+1)+2(x+1)√xA=x+√x+1√x−x−√x+1√x+2(x+1)√xA=x+√x+1−(x−√x+1)+2x+2√xA=2x+2√x+2√xA=2√x+2+2√x
Vậy A=2√x+2+2√x với x>0,x≠1.
Câu 2:
Tìm x để A=B.
- A x=4
- B x=−4
- C x=2
- D x=−2
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Quy đồng, rút gọn và giải phương trình, chú ý điều kiện xác định và đối chiếu nghiệm.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: x>0,x≠1
A=B⇔2√x+2+2√x=√x+1+x√x−1⇔√x+1+2√x−x√x−1=0⇔(√x+1)(√x−1).√x+2(√x−1)−x.√x√x(√x−1)=0⇔√x.(x−1)+2√x−2−x√x=0⇔x√x−√x+2√x−2−x√x=0⇔√x−2=0⇔√x=2⇔x=4(tm)
Vậy x=4 thì A=B.
Câu hỏi 16 :
Cho biểu thức
A=(1√x−√x−1x+2√x):(1√x+2−√x+1x−4)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của A khi x=9−4√5
c) Tìm x để A<0
- A a) A=2−√x√x;b) A=2√5+3;
c) x>4 thì A<0
- B a) A=2+√x√x;b) A=2√5−3;
c) x>4 thì A<0.
- C a) A=2+√x√x;b) A=2√5−3;
c) x>9 thì A<0.
- D a) A=2−√x√x;b) A=2√5+3;
c) x>9 thì A<0.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Biến đổi x sau đó thay giá trị của x thỏa mãn điều kiện và tính giá trị của biểu thức.
+) Giải bất phương trình A<0 để tìm x, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn biểu thức A.
Điều kiện x>0,x≠4
A=(1√x−√x−1x+2√x):(1√x+2−√x+1x−4)=(√x+2√x(√x+2)−√x−1√x(√x+2)):(√x−2(√x+2)(√x−2)−√x+1(√x+2)(√x−2))=3√x(√x+2):−3(√x+2)(√x−2)=3√x(√x+2).(√x+2)(√x−2)−3=2−√x√x
Vậy với x>0,x≠4 thì A=2−√x√x .
b) Tính giá trị khi x=9−4√5
Điều kiện x>0,x≠4
x=9−4√5=(√5)2−2.2.√5+22=(√5−2)2⇒√x=√(√5−2)2=|√5−2|=√5−2(do√5−2>0)
Thay x=9−4√5(tm) vào biểu thức ta được:
A=2−√x√x=2−(√5−2)√5−2=4−√5√5−2=(4−√5)(√5+2)(√5)2−22=4√5+8−5−2√51=2√5+3.
Vậy với x=9−4√5 thì A=2√5+3.
c) Tìm x để A<0.
Điều kiện x>0,x≠4
Ta có: A<0⇔2−√x√x<0
Với x>0,x≠4 ta có: √x>0
⇒2−√x√x<0⇔2−√x<0⇔√x>2⇔x>4. thì 2−√x<0⇔√x>2⇔x>4
Kết hợp với điều kiện ta được x>4 thì A<0.
Câu hỏi 17 :
Cho biểu thức
A=(1−√x1+√x):(√x+3√x−2+√x+23−√x+√x+2x−5√x+6)
1.Rút gọn A.
2.Tìm x để A<0.
- A 1) A=√x+2√x+1;
2) 0≤x<9 thì A<0.
- B 1) A=√x−2√x−1;
2) 0≤x<4 thì A<0.
- C 1) A=√x−2√x+1;
2) 0≤x<4 thì A<0.
- D 1) A=√x−2√x−1;
2) 0≤x<9 thì A<0.
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định.
+) Giải bất phương trình A<0 để tìm x, đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn biểu thức A.
Điều kiện: {x≥0√x−2≠03−√x≠0⇔{x≥0x≠4x≠9.
A=(1−√x1+√x):(√x+3√x−2+√x+23−√x+√x+2x−5√x+6)=1+√x−√x1+√x:(√x+3√x−2+√x+23−√x+√x+2(√x−2)(√x−3))=11+√x:((√x+3)(√x−3)(√x−2)(√x−3)−(√x+2)(√x−2)(√x−2)(√x−3)+√x+2(√x−2)(√x−3))=11+√x:x−9−x+4+√x+2(√x−2)(√x−3)=11+√x.(√x−2)(√x−3)√x−3=√x−2√x+1
b) Tìm x để A<0.
Với x≥0;x≠9;x≠4 ta có: A=√x−2√x+1
Ta có: A<0⇔√x−2√x+1<0.
Vì √x+1>0,∀x≥0⇒A<0⇔√x−2<0⇔√x<2⇔x<4
Kết hợp với điều kiện x≥0;x≠9;x≠4 ta được: 0≤x<4 thì A<0.
Câu hỏi 18 :
Cho biểu thức P=(x−2x+2√x+1√x+2).√x+1√x−1 với x>0;x≠1
a) Chứng minh rằng P=√x+1√x
b) Tìm x để 2P=2√x+5.
- A b) x=18
- B b) x=14
- C b) x=15
- D b) x=12
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Quy đồng mẫu các phân thức và biến đổi, rút gọn biểu thức.
+) Giải phương trình 2P=2√x+5, tìm x sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh rằng P=√x+1√x
Điều kiện: x>0,x≠1
P=(x−2x+2√x+1√x+2).√x+1√x−1=(x−2√x(√x+2)+1√x+2).√x+1√x−1=(x−2√x(√x+2)+√x√x(√x+2)).√x+1√x−1=x−2+√x√x(√x+2).√x+1√x−1=x+2√x−√x−2√x(√x+2).√x+1√x−1=(√x−1)(√x+2)√x(√x+2).√x+1√x−1=√x+1√x.
Vậy với x>0,x≠1 ta có P=√x+1√x.
b) Tìm x để 2P=2√x+5
Điều kiện: x>0,x≠1
2P=2√x+5⇔2.√x+1√x=2√x+5⇔2√x+2=2x+5√x⇔2x+3√x−2=0⇔2x−√x+4√x−2=0⇔√x(2√x−1)+2(2√x−1)=0⇔(2√x−1)(√x+2)=0⇔[√x=12√x=−2(VN)⇔x=14(tm)
Vậy x=14 thì 2P=2√x+5.
Câu hỏi 19 :
Cho biểu thức P=(2√x√x+3+√x√x−3−3x+3x−9):(2√x−2√x−3−1)
a. Rút gọn P.
b. Tính giá trị của P biết x=3−√52
c. Tìm x để P<−12
- A a) P=3√x+3;
b) P=(√5−5)10
c) 0≤x<9 thì P<−12
- B a) P=−3√x−3;
b) P=3(√5−5)10
c) x<9 thì P<−12
- C a) P=−3√x+3;
b) P=3(√5+5)20
c) 0≤x<9 thì P<−12
- D a) P=−3√x+3;
b) P=3(√5−5)10
c) 0≤x<9 thì P<−12
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Thay giá trị x(tmdk) vào biểu thức đã được rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
+) Giải bất phương trình P<−12, tìm x sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn P.
Điều kiện xác định: x≥0,x≠9
P=(2√x√x+3+√x√x−3−3x+3x−9):(2√x−2√x−3−1)=(2√x(√x−3)(√x+3)(√x−3)+√x(√x+3)(√x+3)(√x−3)−3x+3(√x+3)(√x−3)):(2√x−2√x−3−√x−3√x−3)=2x−6√x+x+3√x−3x−3(√x+3)(√x−3):2√x−2−√x+3√x−3=−3(√x+1)(√x+3)(√x−3).√x−3√x+1=−3√x+3.
b) Tính giá trị của biểu thức P biết x=3−√52
Ta có: x=3−√52(tmdk)⇒√x=√3−√52=√6−2√52=√(√5−1)22=√5−12
Khi đó ta có: P=−3√x+3=−3√5−12+3=−6√5+5=3(√5−5)10
c) Tìm x để P<−12
Điều kiện xác định: x≥0,x≠9
Ta có: P=−3√x+3<−12⇔3√x+3>12⇔62(√x+3)−√x+32(√x+3)>0⇔3−√x2(√x+3)>0
Với x≥0,x≠9 ta có: 2(√x+3)>0 .
Khi đó để P<−12⇔3−√x>0⇔√x<3⇔x<9.
Vậy kết hợp điều kiện ta được: 0≤x<9 thì P<−12.
Câu hỏi 20 :
Cho biểu thức P=1:(x+2x√x−1+√x+1x+√x+1−√x+1x−1)
a. Rút gọn P.
b. Hãy so sánh P với 3.
- A a) P=x−√x+1√x;
b) P≥3
- B a) P=x+√x+1√x;
b) P<3
- C a) P=x+√x+1√x;
b) P>3
- D a) P=x−√x+1√x;
b) P≤3
Đáp án: C
Phương pháp giải:
+) Đặt điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu, biến đổi các biểu thức sau đó rút gọn biểu thức đã cho.
+) Xét hiệu P−3, so sánh hiệu đó với 0 rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn P.
Điều kiện xác định: x≠1;x>0
P=1:(x+2x√x−1+√x+1x+√x+1−√x+1x−1)=1:(x+2(√x−1)(x+√x+1)+√x+1(x+√x+1)−√x+1(√x+1)(√x−1))=1:(x+2)(√x+1)+(√x+1)2(√x−1)−(√x+1)(x+√x+1)(√x+1)(√x−1)(x+√x+1)=1:x√x+x+2√x+2+x√x+x−√x−1−(x√x+x+√x+x+√x+1)(√x+1)(√x−1)(x+√x+1)=(√x+1)(√x−1)(x+√x+1)x√x−√x=(√x+1)(√x−1)(x+√x+1)√x(√x+1)(√x−1)=x+√x+1√x.
b) So sánh P với 3.
Điều kiện xác định: x≠1;x>0
Xét hiệu: P−3=x+√x+1√x−3=x+√x+1−3√x√x=(√x−1)2√x
Với x≠1;x>0 ta có: √x>0;(√x−1)2>0⇒P−3>0⇔P>3.
Câu hỏi 21 :
Cho biểu thức P=15√x−11x+2√x−3+3√x−21−√x−2√x+3√x+3
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để P=12.
c) Chứng minh P≤23.
- A a) P=−5√x+2√x+3.
b) x=1121.
c) x≥0,x≠1
- B a) P=−5√x+2√x+3.
b) x=111.
c) x≥0,x≠1
- C a) P=−5√x+2√x+3.
b) x=1121.
c) x>0,x≠1
- D a) P=−5√x+2√x+3.
b) x=111.
c) x>0,x≠1
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Giải phương trình P=12, tìm x rồi đối chiều với điều kiện sau đó kết luận.
+) Dựa vào điều kiện của x để chứng mình P≤23.
Lời giải chi tiết:
P=15√x−11x+2√x−3+3√x−21−√x−2√x+3√x+3
a) Rút gọn P.
Điều kiện x≥0,x≠1
P=15√x−11x+2√x−3+3√x−21−√x−2√x+3√x+3=15√x−11(√x−1)(√x+3)−3√x−2√x−1−2√x+3√x+3=15√x−11(√x−1)(√x+3)−(3√x−2)(√x+3)(√x−1)(√x+3)−(2√x+3)(√x−1)(√x−1)(√x+3)=15√x−11−(3x+9√x−2√x−6)−(2x−2√x+3√x−3)(√x−1)(√x+3)=15√x−11−3x−7√x+6−2x−√x+3(√x−1)(√x+3)=−5x+7√x−2(√x−1)(√x+3)=(−5√x+2)(√x−1)(√x−1)(√x+3)=−5√x+2√x+3.
b) Tìm các giá trị của x để P=12.
Với điều kiện x≥0,x≠1. ta có:
P=12⇔−5√x+2√x+3=12⇔2(−5√x+2)=√x+3⇔−10√x+4−√x−3=0⇔−11√x=−1⇔x=1121(tm).
Vậy x=1121 thì P=12.
c) Chứng minh P≤23
Ta có: P=−5√x+2√x+3
Với x≥0,x≠1 ta có: √x+3≥3
5√x≥0⇒−5√x≤0⇒−5√x+2≤2
Khi đó ta có: P≤23
Vậy x≥0,x≠1 thì P≤23.
Câu hỏi 22 :
Cho biểu thức P=(1√x+1−2√x−2x√x−√x+x−1):(1√x−1−2x−1)
a. Rút gọn P.
b.Tính giá trị của P khi x=7−4√3.
- A a)P=√x−1√x+1;
b) P=−√33
- B a)P=√x+1√x−1;
b) P=3−2√33
- C a)P=√x−1√x+1;
b) P=3+2√33
- D a)P=√x+1√x−1;
b) P=3+2√33
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Biến đổi x, thay giá trị x=7−4√3(tm) vào biểu thức P rồi tính giá trị biểu thức.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn P.
Điều kiện: x≥0;x≠1
P=(1√x+1−2√x−2x√x−√x+x−1):(1√x−1−2x−1)=(1√x+1−2(√x−1)√x(x−1)+x−1):(1√x−1−2(√x−1)(√x+1))=(1(√x+1)−2(√x−1)(x−1)(√x+1)):(√x+1(√x−1)(√x+1)−2(√x−1)(√x+1))=(√x+1(√x+1)2−2(√x+1)2):√x−1(√x−1)(√x+1)=√x−1(√x+1)2.(√x−1)(√x+1)√x−1=√x−1√x+1.
b) Tính giá trị của P khi x=7−4√3
Khi x=7−4√3=(2−√3)2(tm)⇒√x=√(2−√3)2=|2−√3|=2−√3
Ta có: P=2−√3−12−√3+1=1−√33−√3=(1−√3)(3+√3)32−3=−2√36=−√33.
Câu hỏi 23 :
Cho biểu thức A=√x+4√x−4+√x−4√x−4
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A=4.
- A a) A={2√x−4khix≥84khi4≤x<8.
b) x=8
- B a) A={2√x−4khix≥84khi4≤x<8.
b) 4<x≤8
- C a) A={2√x−4khix≥84khi4≤x<8.
b) x≥8
- D a) A={2√x−4khix≥84khi4≤x<8.
b) 4≤x≤8
Đáp án: D
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Giải phương trình A=4, tìm x rồi đối chiều với điều kiện sau đó kết luận.
Lời giải chi tiết:
A=√x+4√x−4+√x−4√x−4
a) Rút gọn A.
Điều kiện x≥4
Ta có:
A=√x+4√x−4+√x−4√x−4=√4+x−4+4√x−4+√4+x−4−4√x−4=√(√x−4+2)2+√(√x−4−2)2=|√x−4+2|+|√x−4−2|=√x−4+2+|√x−4−2|
TH1: √x−4−2≥0⇔x≥8. Ta có:A=√x−4+2+√x−4−2=2√x−4
TH2: √x−4−2<0⇔x<8. Ta có: A=√x−4+2−√x−4+2=4
Vậy x≥8 thì A=2√x−4
Với 4≤x<8 thì A=4.
b) Tìm x để A=4.
Theo câu a) ta có TH1: Với 4≤x<8 thì A=4.
Với TH2: x≥8
A=4⇔2√x−4=4⇔x−4=4⇔x=8
Vậy x=8 thì A=4.
Kết hợp 2 trường hợp ta được 4≤x≤8 thì A=4.
Câu hỏi 24 :
Cho A=(x−y√x−√y+√x3−√y3y−x):(√x−√y)2+√xy√x+√y Với x≥0,y≥0,x≠y.
a) Rút gọn A.
b) Chứng minh rằng A≥0.
- A A=√xyx+√xy+y.
- B A=√xyx−√xy+y.
- C A=xyx−√xy+y.
- D A=xyx+√xy+y.
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Dựa vào điều kiện của x để chứng mình A≥0.
Lời giải chi tiết:
a) Với x≥0,y≥0,x≠y. Ta có:
A=(x−y√x−√y+√x3−√y3y−x):(√x−√y)2+√xy√x+√y=((√x−√y)(√x+√y)√x−√y−(√x−√y)(x+√xy+y)(√x−√y)(√x+√y)):(√x−√y)2+√xy√x+√y=(√x+√y−x+√xy+y√x+√y):x−√xy+y√x+√y=(√x+√y)2−x−√xy−y√x+√y.√x+√yx−√xy+y=√xyx−√xy+y
b) Ta có: x≥0,y≥0,x≠y thì √xy≥0;x−√xy+y=(√x−√y)2+√xy≥0 .
Vậy A≥0 với x≥0,y≥0,x≠y.
Câu hỏi 25 :
Cho biểu thức P = 2√x−9x−5√x+6−√x+3√x−2+2√x+1√x−3 với x≥0;x≠4;x≠9
Rút gọn biểu thức P Tìm x để P = 5.Phương pháp giải:
Phương pháp:
* Các bước làm bài toán rút gọn biểu thức:
B1: Tìm ĐKXĐ của bài toán nếu đề bài chưa cho ĐKXĐ. Các biểu thức cần lấy ĐK là:
+)1f(x)⇒f(x)≠0.+)√f(x)⇒f(x)≥0.+)1√f(x)⇒f(x)>0.
B2: Tìm mẫu thức chung của biểu thức sau đó quy đồng mẫu các phân thức.
B3: Rút gọn biểu thức.
* Phương pháp làm câu b: Tìm x để P=a:
+) Ta cho biểu thức P vừa rút gọn được bằng giá trị a và giải phương trình tìm x.
+) Đối chiếu giá trị của x vừa tìm được với ĐKXĐ xem x có thỏa mãn không.
+) Nếu x thỏa mãn thì kết luận đó là giá trị cần tìm. Nếu x không thỏa mãn thì loại giá trị đó.
Lời giải chi tiết:
Giải:
Với x≥0;x≠4;x≠9 ta có
P=2√x−9−(√x+3)(√x−3)+(2√x+1)(√x−2)(√x−2)(√x−3)=2√x−9−(x−9)+2x−3√x−2(√x−2)(√x−3)=x−√x−2(√x−2)(√x−3)=(√x+1)(√x−2)(√x−3)(√x−2)=√x+1√x−3.
Vậy P=√x+1√x−3 với x≥0;x≠4;x≠9
b. Theo câu a ta có P=√x+1√x−3 với x≥0;x≠4;x≠9
P = 5⇔√x+1√x−3=5⇒√x+1=5(√x−3)⇔√x+1=5√x−15⇔16=4√x⇔√x=164=4⇔x=16(tm)
Vậy để P = 5 thì x = 16.
Câu hỏi 26 :
a) Tính: √(2−√5)2−√87−3√5
b) Rút gọn: A=x√x−1−2x−√xx−√x (với x>0;x≠1)
- A 3
- B 4
- C -5
- D 7
Đáp án: C
Lời giải chi tiết:
√(2−√5)2−√87−3√5=|2−√5|−√1614−6√5=|2−√5|−√16√14−6√5=−(2−√5)−4√32−2.3.√5+√52(Do2−√5<0)=−2+√5−4√(3−√5)2=−2+√5−43−√5=−2+√5−4.(3+√5)(3−√5)(3+√5)=−2+√5−4.(3+√5)4=−2+√5−3−√5=−5
b)
A=x√x−1−2x−√xx−√x=x√x−1−√x(2√x−1)√x(√x−1)=x√x−1−2√x−1√x−1=x−2√x+1√x−1=(√x−1)2√x−1=√x−1
Câu hỏi 27 :
a) Tính: A=(23−√5+12−√5−102√5).(1−3√5)
b) Rút gọn biểu thức sau: P=√x2√x−3+√x−22√x+3+15−4√x9−4x (với x≥0;x≠94)
Lời giải chi tiết:
a) Ta có:
A=(23−√5+12−√5−102√5).(1−3√5)=(2(3+√5)(3−√5)(3+√5)+1.(2+√5)(2+√5)(2−√5)−5√5).(1−3√5)=(2(3+√5)4+2+√5−1−√5).(1−3√5)=(3+√52−2+√51−√5).(1−3√5)=(3+√5−2(2+√5)−2√52).(1−3√5)=(3+√5−4−2√5−2√52).(1−3√5)=−(−1−3√52).(3√5−1)=(3√5+12).(3√5−1)=(3√5+1)(3√5−1)2=442=22
b) Ta có:
P=√x2√x−3+√x−22√x+3+15−4√x9−4x=√x2√x−3+√x−22√x+3−15−4√x4x−9=√x2√x−3+√x−22√x+3−15−4√x(2√x−3).(2√x+3)=√x.(2√x+3)+(√x−2).(2√x−3)−(15−4√x)(2√x−3).(2√x+3)=2x+3√x+2x−3√x−4√x+6−15+4√x(2√x−3).(2√x+3)=4x−94x−9=1
Câu hỏi 28 :
Cho hai biểu thức: A=2√x−4√x−1 và B=√x√x−1+3√x+1−6√x−4x−1 với x≥0,x≠1.
1. Tính giá trị của A khi x=4.
2. Rút gọn B.
3. So sánh A.B với 5.
- A 1. 0
2. √x−1√x+1
3. A.B < 5
- B 1. 0
2. √x+1√x−1
3. A.B < 5
- C 1. 0
2. √x−1√x+1
3. A.B > 5
- D 1. 0
2. √x+1√x−1
3. A.B > 5
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Sử dụng hằng đẳng thức: a2−b2=(a−b)(a+b).
+) Để so sánh a và b ta xét hiệu a−b .
Lời giải chi tiết:
Cho hai biểu thức: A=2√x−4√x−1 và B=√x√x−1+3√x+1−6√x−4x−1 với x≥0,x≠1.
1. Tính giá trị của A khi x=4.
Khi x=4 thì A=2√4−4√4−1=2.2−42−1=01=0
2. Rút gọn B.
B=√x√x−1+3√x+1−6√x−4x−1=√x(√x+1)(√x−1)(√x+1)+3(√x−1)(√x+1)(√x−1)−6√x−4(√x−1)(√x+1)=x+√x+3√x−3−6√x+4(√x−1)(√x+1)=x−2√x+1(√x−1)(√x+1)=(√x−1)2x−1=√x−1√x+1.
3. So sánh A.B với 5.
A.B−5=2√x−4√x−1.√x−1√x+1−5=2√x−4√x+1−5=2√x−4−5√x−5√x+1=−3√x−9√x+1
Có √x≥0∀x≥0⇒−3√x≤0∀x≥0⇒−3√x−9<0∀x≥0
Mặt khác √x≥0∀x≥0⇒√x+1>0∀x≥0.
⇒A.B−5=−3√x−9√x+1<0∀x≥0⇒A.B<5
Chọn A.
Câu hỏi 29 :
Cho biểu thức B=(2x+1√x3−1−√xx+√x+1).(1+√x31+√x−√x) với x≥0 và x≠1. Tính B khi x=9
- A B=1.
- B B=2.
- C B=3.
- D B=5.
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Sử dụng biểu thức liên hợp.
+) Đặt nhân tử chung.
+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: x≥0 và x≠1
B=(2x+1√x3−1−√xx+√x+1).(1+√x31+√x−√x)=2x+1−√x(√x−1)(√x−1).(x+√x+1).[(√x+1)(x−√x+1)√x+1−√x]=2x+1−x+√x(√x−1).(x+√x+1).(1−2√x+x)=x+√x+1(√x−1).(x+√x+1).(√x−1)2=√x−1
Ta có B=√x−1
Với x=9 thỏa mãn điều kiện suy ra B=√x−1=√9−1=3−1=2.
Vậy khi x=9 thì B=2.
Câu hỏi 30 :
Cho biểu thức P=(1√x−√x−1−x−3√x−1−√2)(2√2−√x−√x+√2√2x−x). Tính giá trị của P với x=3+2√2.
- A P=−√5+1.
- B P=−√2+1.
- C P=−√2+2.
- D P=−√7+1.
Đáp án: B
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Sử dụng biểu thức liên hợp.
+) Đặt nhân tử chung.
+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.
Lời giải chi tiết:
Biểu thức P có nghĩa khi và chỉ khi : {√x>0√x−1≥0√2−√x≠0√x−1−√2≠0⇔{x>0x≥1x≠2x≠3⇔{x≥1x≠2x≠3
ĐKXĐ: x≥1;x≠2;x≠3
P=(1√x−√x−1−x−3√x−1−√2)(2√2−√x−√x+√2√2x−x)P=[(√x+√x−1)(√x−√x−1)(√x+√x−1)−(x−3)(√x−1+√2)(√x−1−√2)(√x−1+√2)][2√2−√x−√x+√2√x(√2−√x)]P=[√x+√x−1x−(x−1)−(x−3)(√x−1+√2)(x−1)−2].2√x−√x−√2√x(√2−√x)P=(√x+√x−1x−x+1−(x−3)(√x−1+√2)x−3).−(√2−√x)√x(√2−√x)P=(√x+√x−1−√x−1−√2).−1√x=(√x−√2).(−1)√x=√2−√x√x
Ta có: x=3+2√2=(√2+1)2⇒√x=√(√2+1)2=|√2+1|=√2+1(Do√2+1>0)
Thay √x=√2+1 vào biểu thức P=√2−√x√x, ta có: P=√2−√2−1√2+1=−1√2+1=−√2+1.
Vậy khi x=3+2√2 thì P=−√2+1.
Câu hỏi 31 :
Cho biểu thức P=(1−a√a1−√a+√a).(1+a√a1+√a−√a) .Tính a để P<7−4√3
- A a∈(√3−1;3−√3)/{1}.
- B a∈(√2−1;3−√3)/{1}.
- C a∈(√3−1;3−√7)/{1}.
- D a∈(√3−1;7−√3)/{1}.
Đáp án: A
Phương pháp giải:
+) Bước 1: Tìm điều kiện xác định của P
+) Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức rồi rút gọn P.
+) Bước 3: Cho P<7−4√3 ( P đã rút gọn ở trên). Từ đó tìm giá trị của a thỏa mãn yêu cầu.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: {a≥01−√a≠0⇔a≥0,a≠1
P=(1−a√a1−√a+√a).(1+a√a1+√a−√a)P=((1−√a).(1+√a+a)1−√a+√a).((1+√a).(1−√a+a)1+√a−√a)P=(1+√a+a+√a).(1−√a+a−√a)=(1+√a)2.(1−√a)2=(1−a)2P<7−4√3⇔P<(2−√3)2⇒(1−a)2<(2−√3)2⇔|1−a|<|2−√3|⇔|a−1|<2−√3⇔−2+√3<1−a<2−√3⇔√3−1<a<3−√3
Kết hợp với điều kiện ta được a∈(√3−1;3−√3)/{1} .
Vậy a∈(√3−1;3−√3)/{1}.
Câu hỏi 32 :
Cho biểu thức P=(√x+1√x−1−√x−1√x+1):(1√x+1−√x1−√x+2x−1)
a) Tính giá trị của P khi x=√7−4√32. b) Tính các giá trị của x để P=12.
- A a)P=20−12√5.
b)x=17+12√2hoặc x=17−12√2
- B a)P=22−12√3.
b)x=17+12√2hoặc x=17−12√2
- C a)P=20−12√3.
b)x=17+12√2hoặc x=17−12√2
- D a)P=20−12√3.
b)x=47+12√2hoặc x=17−12√2
Đáp án: C
Phương pháp giải:
- Sử dụng biểu thức liên hợp.
- Rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: {x≥0x≠1
P=((√x+1)(√x+1)−(√x−1)(√x−1)(√x−1)(√x+1)):(√x−1+√x(√x+1)+2(√x−1)(√x+1))=((√x+1)2−(√x−1)2(√x−1)(√x+1)).((√x−1)(√x+1)x+2√x+1)=(√x+1−√x+1)(√x+1+√x−1)(√x−1)(√x+1).(√x−1)(√x+1)(√x+1)2=4√x(√x+1)2
Vậy P=4√x(√x+1)2 (1)
a) Ta có x=√7−4√32=√22−2.2.√3+(√3)22=√(2−√3)22=|2−√3|2=2−√32(Do2−√3>0)
⇒√x=√2−√32=√4−2√32=√(√3−1)22=|√3−1|2=√3−12(Do√3−1>0)
Thay √x=√3−12 vào biểu thức P ta được:
P=4(√3−12)(√3−12+1)2=8(√3−1)(√3+1)2=8(√3−1)4+2√3=4(√3−1)2+√3=4(√3−1)(2−√3)=−20+12√3
Vậy khi x=√7−4√32 thì P=20−12√3.
b) Theo bài ra ta có P=12⇔4√x(√x+1)2=12
⇔x+2√x+1=8√x⇔x−6√x+1=0⇔[√x=3+2√2√x=3−2√2⇔[x=17+12√2x=17−12√2(tm)
Vậy với x=17+12√2hoặc x=17−12√2 thì P=12.
Câu hỏi 33 :
Cho A=(1−√x1+√x):(√x+3√x−2+√x+23−√x+√x+2x−5√x+6) với x≥0,x≠4,x≠9.
a) Rút gọn A.
b) Tìm x∈Z để A∈Z
c) Tìm x để A<0.
- A a)A=√x−2√x+1b)x∈{0}c)0≤x<4
- B a)A=√x−2√x+1b)x∈{0;4}c)0<x<4
- C a)A=3√x+1b)x∈{0;4}c)0≤x<4
- D a)A=√x−2√x+1b)x∈{0;±4}c)0≤x<4
Đáp án: A
Phương pháp giải:
a) Quy đồng, rút gọn.
b) Đưa biểu thức về dạng A(x)+CB(x) với C là hằng số. Để biểu thức đó là số nguyên thì B(x)∈U(C).
c) Nhận xét mẫu số trước khi giải bất phương trình, lưu ý kết hợp điều kiện.
Lời giải chi tiết:
a) Với x≥0,x≠4,x≠9. Ta có:
A=(1−√x1+√x):(√x+3√x−2+√x+23−√x+√x+2x−5√x+6)A=1√x+1:((√x+3)(√x−3)(√x−2)(√x−3)−(√x+2)(√x−2)(√x−2)(√x−3)+√x+2(√x−2)(√x−3))A=1√x+1:x−9−(x−4)+√x+2(√x−2)(√x−3)A=1√x+1:√x−3(√x−2)(√x−3)=√x−2√x+1.
b) A=√x−2√x+1=1−3√x+1(x≥0)
Để A∈Z với x nguyên thì √x+1 là ước nguyên dương của 3 do √x+1>0
.⇒[√x+1=1⇔x=0(tm)√x+1=3⇔x=4(ktm)
Vậy với x=0 thì A∈Z
c) A<0⇔√x−2√x+1<0.
Do √x+1>0⇒√x−2√x+1<0⇔√x−2<0⇔x<4.
Kết với x≥0, suy ra A>0<=>0≤x<4.
Vậy 0≤x<4 thì A<0.
Câu hỏi 34 :
Cho biểu thức Q=(1√x−1+2x−1):(x+√x√x+1−1−√x√x−x) với x>0, x≠1 .
a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q=−1
- A a)Q=√x(√x+3)(x−1)2b)x=2
- B a)Q=√x+3(x−1)2b)x∈∅
- C a)Q=√x(√x+3)(x−1)2b)x∈∅
- D a)Q=√x(√x+3)(x−1)2b)x∈R
Đáp án: C
Phương pháp giải:
- Nhân liên hợp
- Quy đồng mẫu số
- Giải và biện luận phương trình
Lời giải chi tiết:
a) Ta có Q=(1√x−1+2(√x−1)(√x+1)):(√x(√x+1)√x+1−1−√x√x(1−√x))
=(√x+1)+2(√x−1)(√x+1):(√x−1√x)=√x+3(√x−1)(√x+1):x−1√x=√x+3(√x−1)(√x+1).√xx−1=√x(√x+3)(x−1)2.
Vậy Q=√x(√x+3)(x−1)2
b. Ta thấy biểu thức Q=√x(√x+3)(x−1)2 luôn lớn hơn 0 với ∀x>0,x≠1
⇒Q=√x(√x+3)(x−1)2=−1 (vô lý)
Vậy không tồn tại giá trị nào của x để Q=√x(√x+3)(x−1)2=−1.
Câu hỏi 35 :
Cho biểu thức P=(1−x−3√xx−9):(√x−32−√x+√x−23+√x−9−xx+√x−6) với x≥0,x≠9, x≠4.
a) Rút gọc biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P=1.
- A a)P=√x−2b)x=25
- B a)P=1√x−2b)x=25
- C a)P=3√x−2b)x=5
- D a)P=3√x−2b)x=25
Đáp án: D
Phương pháp giải:
a) Sử dụng hằng đẳng thức, quy đồng, rút gọn biểu thức.
b) Giải phương trình P=1 , lưu ý ĐKXĐ.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có
P=(1−√x(√x−3)(√x−3)(√x+3)):((√x−3)(√x+3)+(√x−2)(2−√x)(2−√x)(3+√x)−9−xx+√x−6)P=(1−√x√x+3):(x−9−(√x−2)26−√x−x−9−xx+√x−6)P=√x+3−√x√x+3:(x−9−(x−4√x+4)6−√x−x−9−xx+√x−6)P=3√x+3:(13−4√xx+√x−6−9−xx+√x−6)P=3√x+3:13−4√x−9+xx+√x−6P=3√x+3.(√x+3)(√x−2)x−4√x+4P=3(√x−2)(√x−2)2=3√x−2
b) Để P=1⇔3√x−2=1⇔3=√x−2⇔√x=5⇔x=25(tm)
Vậy với x=25 thì ta có giá trị của P=1
Câu hỏi 36 :
Cho biểu thức P=(x−6x+3√x−1√x+1√x+3):2√x−6x+1 với x>0,x≠9.
Câu 1: Rút gọn biểu thức P.
- A P=x+12√x
- B P=x+1x−9
- C P=x+1√x−3
- D P=√x+32√x
Đáp án: A
Phương pháp giải:
Quy đồng mẫu các phân thức sau đó biến đổi và rút gọn biểu thức P.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x>0,x≠9.
P=(x−6x+3√x−1√x+1√x+3):2√x−6x+1=(x−6√x(√x+3)−1√x+1√x+3):2(√x−3)x+1=x−6−(√x+3)+√x√x(√x+3).x+12(√x−3)=x−6−√x−3+√x√x(√x+3).x+12(√x−3)=(x−9)(x+1)2√x(x−9)=x+12√x.
Chọn A.
Câu 2: Tìm giá trị của x để P=1.
- A x=16
- B x=4
- C x=2
- D x=1
Đáp án: D
Phương pháp giải:
Lấy kết quả của biểu thức P đã rút gọn ở trên. Giải phương trình P=1 sau đó đối chiếu với điều kiện của x rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x>0,x≠9.
P=1⇔x+12√x=1⇔x+1=2√x⇔x−2√x+1=0⇔(√x−1)2=0⇔√x−1=0⇔√x=1⇔x=1(tm).
Vậy x=1 thì P=1.
Chọn D.
Câu hỏi 37 :
Rút gọn M=xz24xy.20x2z3 với (xyz≠0) ta được
- A M=5xyz2
- B M=5zxy
- C M=5x2yz
- D M=5x3yz2
Đáp án: C
Phương pháp giải:
Rút gọn những đơn thức đồng dạng.
Lời giải chi tiết:
M=xz24xy.20x2z3=20x3z24xyz3=5x2yz.
Chọn C.
Câu hỏi 38 :
Với x<0 hãy rút gọn biểu thức N=√x2+3√x3
- A N=2x
- B N=0
- C N=x
- D N=−2x
Đáp án: B
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức: √A2=[AkhiA≥0−AkhiA<0.
Lời giải chi tiết:
Với x<0 thì N=√x2+3√x3=|x|+x=−x+x=0.
Chọn B
Câu hỏi 39 :
Chứng minh rằng : ab(c+a)(c+b)+ac(b+c)(b+a)+bc(a+b)(a+c)+2abc(a+b)(a+c)(b+c)=1
Phương pháp giải:
Sử dụng định lí: Nếu đa thức : f(x)=ax+b có ít nhất 2 nghiệm thì a=b=0 tức là f(x)=0 với mọi x.
Lời giải chi tiết:
Đặt
P(x)=xb(c+x)(c+b)+xc(b+c)(b+x)+bc(x+b)(x+c)+2xbc(x+b)(x+c)(b+c)−1=xb(x+b)+xc(x+c)+bc(b+c)+2xbc−(x+b)(x+c)(b+c)(x+b)(x+c)(b+c)
Xét tử số f(x)=xb(x+b)+xc(x+c)+bc(b+c)+2xbc−(x+b)(x+c)(b+c) có hệ số của x2 là b+c−(b+c)=0 ⇒ Bậc của f(x) nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Ta có : {f(b)=b2.2b+bc(b+c)+bc(b+c)+2b2c−2b.(b+c)2=0f(c)=cb(c+b)+2c3+bc(b+c)+2bc2−2c(c+b)(b+c)=0
Do đó b, c là 2 nghiệm của phương trình f(x)=0.
Bậc của f(x) nhỏ hơn hoặc bằng 1, trong khi đó phương trình f(x)=0 lại có 2 nghiệm phân biệt ⇔f(x)≡0∀x hay P(x)=0∀x.
P(x)=xb(c+x)(c+b)+xc(b+c)(b+x)+bc(x+b)(x+c)+2xbc(x+b)(x+c)(b+c)−1P(x)=xb(x+b)+xc(x+c)+bc(b+c)+2xbc−(x+b)(x+c)(b+c)(x+b)(x+c)(b+c)=0⇒P(a)=ab(c+a)(c+b)+ac(b+c)(b+a)+bc(a+b)(a+c)+2abc(a+b)(a+c)(b+c)−1=0⇔ab(c+a)(c+b)+ac(b+c)(b+a)+bc(a+b)(a+c)+2abc(a+b)(a+c)(b+c)=1
Vậy ab(c+a)(c+b)+ac(b+c)(b+a)+bc(a+b)(a+c)+2abc(a+b)(a+c)(b+c)=1
Câu hỏi 40 :
Tính giá trị của A= 12√1+1√2+13√2+2√3+...+12018√2017+2017√2018
- A A=1−2√2018
- B A=1−1√2028
- C A=1−1√2015
- D A=1−1√2018
Đáp án: D
Phương pháp giải:
1k√k−1+(k−1)√k=1√k−1−1√k
Lời giải chi tiết:
Ta có: k√k−1+(k−1)√k=√k(k−1)(√k+√k−1) với k≥1.
⇒1k√k−1+(k−1)√k=1√k(k−1)(√k+√k−1)=(√k−√k−1)√k(k−1)(√k+√k−1)(√k−√k−1)=√k−√k−1√k(k−1)=√k−√k−1√k.√k−1=1√k−1−1√k
Thay lại vào A ta được:
A=12√1+1√2+13√2+2√3+...+12018√2017+2017√2018=(1√1−1√2)+(1√2−1√3)+.....+(1√2017−1√2018)=1−1√2018
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Các bài khác cùng chuyên mục