Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(MNP\) vuông tại \(M,\) theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

\(\tan P = \frac{{MN}}{{MP}} = \frac{{4a}}{{3a}} = \frac{4}{3}.\)

Chọn B

Phương pháp giải:

- Kẻ \(AH,\,\,BK\) cùng vuông góc với \(CD\) \(\left( {H,\,\,K \in CD} \right)\). Chứng minh \(ABKH\) là hình chữ nhật.

- Tính \(DH,\,\,CK\).

- Áp dụng định lí Pytago tính \(AH\).

- Tính diện tích hình thang: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(AH,\,\,BK\) cùng vuông góc với \(CD\) \(\left( {H,\,\,K \in CD} \right)\).

Xét tứ giác \(ABKH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel HK\\AH\parallel BK\end{array} \right.\), suy ra \(ABKH\) là hình bình hành.

Lại có \(\angle AHK = {90^0}\) nên \(ABKH\) là hình chữ nhật, do đó \(HK = AB = 4\).

Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta BCK\) có:

\(\angle AHD = \angle BKC = {90^0}\);

\(AD = BC\) (tính chất hình thang cân);

\(\angle ADH = \angle ACK\) (tính chất hình thang cân).

\( \Rightarrow \Delta ADH = \Delta BCK\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow DH = CK\) (hai cạnh tương ứng).

Mà \(DH + CK = CD - HK = 8 - 4 = 4\).

Do đó \(DH = CK = 2\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ADH\) ta có:

\(A{H^2} = A{D^2} - D{H^2}\) \( \Leftrightarrow A{H^2} = {4^2} - {2^2} = 12\) \( \Leftrightarrow AH = 2\sqrt 3 \).

Vậy diện tích hình thang \(ABCD\) là: \({S_{ABCD}} = \dfrac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\) \( = \dfrac{{\left( {4 + 8} \right).2\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3 \).

Lời giải chi tiết:

     Tìm khoảng cách từ chân thang tới chân tường tối thiểu để đảm bảo an toàn.

Vậy:  Khoảng cách x tối thiểu từ chân thang tới chân tường phải là \(x = \dfrac{3}{4} = 0,75m\)

     Tính chiều dài của cái thang

\(AT = \sqrt {O{A^2} + O{T^2}}  = \sqrt {0,{{75}^2} + {3^2}}  = 3,{1^{}}m\)

Vậy: Ứng với x = 0,75m thì chiều dài của cái thang khi đó là 3,1 m

Lời giải chi tiết:

a)      Tính độ dài dây BC

\( \Rightarrow \) H là trung điểm AB (quan hệ đường kính, dây cung)

\( \Rightarrow HB = HA = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{8}{2} = 4cm\)

\( \Rightarrow \) K là trung điểm BC (quan hệ đường kính, dây cung)

\( \Rightarrow OK = HB = 4cm\)

\(KB = \sqrt {B{O^2} - O{K^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = \sqrt 9  = 3cm\)

\(BC = 2KB = 2.3 = 6cm\) (K là trung điểm BC)

b)     Tính số đo góc BAC (làm tròn tới phút)

\( \Rightarrow \) OH là đường cao nên OH cũng là phân giác \( \Rightarrow \) góc AOB = 2 góc HOB

\( \Rightarrow \) OK là đường cao nên OK cũng là phân giác \( \Rightarrow \) góc BOC = 2 góc KOB

(Vì OHBK là hình chữ nhật \( \Rightarrow \angle HOK = {90^0}\))

\( \Rightarrow \) 3 điểm A, O, C thẳng hàng.

\(\tan BAC = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \angle BAC = {36^0}52'\)

Phương pháp giải:

Trong bài toán này, cái làm các em lúng túng không phải là phần kiến thức về Toán, mà là phần kiến thức về môn Địa Lý. Cụ thể, các em không nắm được tỉ lệ xích vẽ trên bản đồ với kích thước thực tế như thế nào.

Tỉ lệ xích của một bản vẽ (hoặc một bản đồ) là tỉ số khoảng cách \(a\) giữa hai điểm trên bản vẽ (hoặc trên bản đồ) và khoảng cách \(b\) giữa hai điểm tương ứng trên thực tế.

Lời giải chi tiết:

Bài giải chi tiết:

Do vẽ trên bản đồ tỉ lệ xích \(1:20000\)  nên khi chiều dài của cây cầu trên bản đồ là \(7,676cm\)  thì chiều dài thực tế của cây cầu Mỹ Thuận là:

\(7,676.20000 = 153520cm = 1535,2m\)

Từ hình minh họa đề cho, ta có cây cầu được chia thành hai đoạn \(AB\) và \(AC\) bằng nhau.

\( \Rightarrow AB = AC = \dfrac{{1535,2}}{2} = 767,6m\)

Xét tam giác vuông \(AHB\) , vuông tại \(H\) , ta có:

\(\sin ABH = \dfrac{{AH}}{{AB}} = \dfrac{{37,5}}{{767,6}} \approx 0,05 \Rightarrow \widehat {ABH} \approx 2,{8^0}\)

Vậy:  Góc tạo bởi mặt cầu và mặt sông khoảng \(2,{8^0}\)

Lời giải chi tiết:

a) Theo định lý Py – ta – go ta có: \(A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Rightarrow AC = 12\,\,\left( {cm} \right)\).

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có: \(AH.BC=AB.AC\).

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2\,\,\left( cm \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: \(A{{C}^{2}}=BC.CH\Rightarrow CH=\dfrac{A{{C}^{2}}}{BC}=\dfrac{{{12}^{2}}}{15}=9,6\,\,\left( cm \right)\).

b) Ta có: \(\angle {{C}_{1}}=\angle {{C}_{2}}\,\,\left( gt \right)\Rightarrow \Delta CAN\sim \Delta CBM\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{CN}{CM}=\dfrac{CA}{CB}\,\,\left( 1 \right)\).

Dễ thấy \(\Delta CAB\sim \Delta CBD\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CB}{CD}\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \dfrac{CN}{CM}=\dfrac{CB}{CD}\Rightarrow CN.CD=CM.CB\).

c) Vì ∆CAN đồng dạng với ∆CBM (cmt) ta có: \(\dfrac{NA}{CA}=\dfrac{MB}{CB}\,\,\left( 3 \right)\).

Tia CM là phân giác của góc BCD (gt) nên \(\dfrac{{MB}}{{MD}} = \dfrac{{CB}}{{CD}} \Leftrightarrow \dfrac{{MB}}{{CB}} = \dfrac{{MD}}{{CD}}\,\,\left( 4 \right)\).

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{CA}} = \dfrac{{MD}}{{CD}} \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{MD}} = \dfrac{{CA}}{{CD}}\).

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Phân tích:

Đây là bài toán tương tự như bài về đường đi của con rô bốt trong đề minh họa của sở GD Tuy nhiên, nếu giải theo phương pháp dựng thêm hình thì sẽ làm bài toán trở nên khó hơn với một số học sinh vì phải chứng minh phần vuông góc tại H ( mặc dù nhìn là biết vuông góc rồi!) Để giải nhanh bài này, ta tinh ý sẽ phát hiện ra 20 tam giác vuông bằng nhau. Từ đó, độ dài băng tải sẽ gấp 20 lần độ dài của một cạnh huyền của một tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Xét các tam giác vuông có số thứ tự từ 1 đến 20, ta có chúng bằng nhau theo trường hợp:

cạnh- góc – cạnh (có các góc vuông  bằng nhau, có cách cạnh góc vuông độ dài 25cm và các cạnh góc vuông độ dài 60cm bằng nhau)

Xét  vuông CDE, áp dụng định lý pitago ta có:

      \( \eqalign{& \,\,\,\,\,\,\,\,C{D^2} = C{E^2} + D{E^2} \cr & \Rightarrow C{D^2} = {25^2} + {60^2} \cr & \Rightarrow C{D^2} = 4225 \cr & \Rightarrow CD = 65cm \cr} \) 

Vì 20 tam giác bằng nhau, nên chiều dài của thang máy gấp 20 lần độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, vậy chiều dài của thang máy là: AD = 20.65 = 1300cm = 13m

Cách 2:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng DE

 tại H  vuông tại H

Độ dài đoạn AH là:  AH = 25.20 = 500cm = 5m 

Độ dài đoạn DH là:   DH = 60.20 = 1200cm = 12m

Xét  vuông AHD, áp dụng định lý pitago ta có:

\( \eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} \cr & \Rightarrow A{D^2} = {5^2} + {12^2} \cr & \Rightarrow A{D^2} = 169 \cr & \Rightarrow AD = 13m \cr} \)

Vậy:  Chiều dài của thang máy là:  AD  = 13m.

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Đây là một bài tập theo đúng nghĩa là ứng dụng thực tế. Một bài tập về dùng giác kế để đo góc, rồi dùng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính ra khoảng cách giữa các vật. Phương pháp đo này dùng để đo những đối tượng thường là bị ngăn cách mà ta không thể sử dụng thước để đo trực tiếp được, ví dụ: đo khoảng cách giữa hai ngọn núi, khoảng cách giữa hai chiếc thuyền trên biển hay đo chiều cao của một cái cây chẳng hạn. Khi giải bài tập loại này các em chỉ cần sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông là làm được.

Lời giải chi tiết:

Do KA nằm giữa KI và KB nên:

\(\widehat{BKI}=\widehat{BKA}+\widehat{AKI}={{15}^{0}}+{{50}^{0}}={{65}^{0}}\). Xét tam giác vuông AKI, vuông tại I, ta có: \(\tan AKI=\dfrac{AI}{IK}\Rightarrow AI=IK.\tan AKI=380.\tan {{50}^{0}}\)  (mét) Xét tam giác vuông BKI, vuông tại I, ta có: \(\tan BKI=\dfrac{BI}{IK}\Rightarrow BI=IK.\tan BKI=380.\tan {{65}^{0}}\)   (mét) Khoảng cách hai chiếc thuyền chính là độ dài đoạn AB:

\(AB=BI-AI=380.\tan{{65}^{0}}-380.\text{ }\tan{{50}^{0}}=380.\left( \tan{{65}^{0}}-\tan{{50}^{0}} \right)=362\) (mét)

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Để làm được bài tập này, trước hết các em phải nắm được tính chất của tia nắng mặt trời là các tia song song (sách vật lý 7- hk1). Do đó, ở cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là như nhau tại mọi vị trí. Điểm khó khăn thứ hai là từ đề bài các em phải vẽ ra được hình minh họa cho bài toán. Khi đã có hình vẽ cho bài toán thì các em chỉ cần sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông là ra được đáp án.

Lời giải chi tiết:

Hình minh họa

a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ).

Gọi h là chiều cao của tòa nhà Bitexco Vì mặt trời ở rất xa trái đất nên chùm sáng mà mặt trời phát ra xem như là chùm sáng song song Do đó, ở cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là như nhau Xét tam giác vuông  ABC, ta có:\(\tan ACB = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{12}}{{2,12}} = 5,66 \Rightarrow ACB = {80^0}\)

Vậy: Góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là 80⁰

b) Tính chiều cao của toà nhà Bitexco, (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Do góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là như nhau

\( \Rightarrow \mathop {ACB}\limits^\^  = \mathop{MPN}\limits^\^  \Rightarrow \tan ACB = \tan MPN = 5,66\)

Xét tam giác vuông MPN, ta có: \({\mathop{\rm tanMPN}\nolimits}  = \frac{{MN}}{{MP}} \Leftrightarrow 5,66 = \frac{h}{{47,5}} \Leftrightarrow h = 5,66.47,5 = 269m\)

Vậy:  Tòa nhà Bitexco cao 269m.

Phương pháp giải:

• Đây là một bài tập thực tế vận dụng kiến tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

• Về mặt tính toán, bài toán áp dụng một vài công thức đơn giản sẽ ra được đáp số.

Lời giải chi tiết:

a) Hỏi thầy Tưởng nhìn đỉnh của nhà thờ với “góc nâng” là bao nhiêu? ( làm tròn số đo góc đến phút)

• Khoảng các từ mắt đến chân thầy Tưởng: 1,7 – 0,1 = 1,6m

• Độ dài đoạn BC: 57 – 1,6 = 55,4m

• Xét tam giác vuông ABC vuông tại B, ta có:

\(\tan BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{55,4}{30}\) \(\Rightarrow \) góc \(BAC={{61}^{0}}33'\)Vậy: Góc “nâng” từ chỗ thầy Tưởng đứng đến đỉnh của nhà thờ là: \({{61}^{0}}33'\)

b) Nếu thầy Tưởng dịch chuyển một đoạn để “góc nâng” là 500 mà vẫn có thể nhìn thấy được cây thánh giá trên đỉnh của nhà thờ, thì thầy phải di chuyển lại gần hay ra xa nhà thờ một đoạn là bao nhiêu mét?

• Gọi D là vị trí mà thầy Tưởng di chuyển tới sau đó để góc “nâng” là 500

• Xét tam giác vuông BCD vuông tại B, ta có:

\(\tan BDC=\frac{BC}{BD}\Rightarrow BD=\frac{BC}{\operatorname{t}\text{an5}{{\text{0}}^{0}}}=\frac{55,4}{\operatorname{t}\text{an5}{{\text{0}}^{0}}}=46,5m>30m\)

Vậy: Thầy Tưởng phải di chuyển ra xa nhà thờ một đoạn: 46,5 – 30 = 16,5m

Chọn B

Phương pháp giải:

Điểm mấu chốt của bài toán nằm ở việc hiểu được “hai thuyền ở cùng một vĩ tuyến” là như thế nào?

Các em lưu ý, trong môn Địa Lý vĩ tuyến là các đường nằm theo chiều ngang của Trái Đất.

(cụ thể có 5 đường vĩ tuyến, trong đó, có một đường vĩ tuyến mà em nào cũng biết đó là đường xích đạo- các em tìm hiểu kỹ trong môn Địa Lý nhé!)

Sau khi đã biết về đường vĩ tuyến và phương hướng trên Trái Đất các em phải vẽ lại hình cho bài toán để dựa vào đó giải ra đáp số.

Lời giải chi tiết:

Vẽ lại sơ đồ bài toán như hình vẽ:

Vì lúc đầu hai chiếc thuyền ở cùng một vĩ tuyến ta biễu diễn theo phương ngang \(AB\)

Sau khi xuất phát, thuyền thứ hai đi về hướng Bắc nên ta biểu diễn theo hướng \(AC\) hướng thẳng lên

Thuyền thứ hai đi trở về vị trí thuyền thứ nhất tức là hướng từ \(B\) sang \(A\)

Hướng Nam-Bắc vuông góc với vĩ tuyến nên \(AB\) vuông góc với \(AC\) tại \(A\) .

\(AB = 9\) hải lý là khoảng cách lúc đầu giữa hai thuyền.

\(AC\) là quãng đường thuyền thứ nhất đi được, \(BM\) là quãng đường thuyền thứ hai đi được trong cùng một khoảng thời gian.

\(CM\) là khoảng cách giữa hai thuyền lúc sau.

Thời gian đi của hai thuyền

     t = 6h45phút – 6h  = 45phút =  \(\dfrac{3}{4}h\)

Quãng đường mà thuyền thứ nhất đi được:

     \(AC = {v_1}.{\text{ }}t = 6.\dfrac{3}{4} = 4,5\) ( hải lý)

Quãng đường mà thuyền thứ hai đi được:

     \(BM = {v_1}.{\text{ }}t = 4.\dfrac{3}{4} = 3\) ( hải lý)

Độ dài đoạn \(AM\) :

     \(AM = \;9-3 = 6\) (hải lý)

Xét \(\Delta ABM\)vuông tại \(A\) , áp dụng định lý Pitago, ta có:

    \(A{M^2} + A{C^2} = C{M^2} \Leftrightarrow C{M^2} = 4,{5^2} + {6^2} = 56,25 \Leftrightarrow CM = 7,5\) (hải lý)

\(7,5\) (hải lý) \( = 7,5.1,852\) km \( = 13,89\) km  (\(1\) hải lý\( = 1852m = 1,852km\))

          Vậy: Đến \(6h45\) phút thì khoảng cách giữa hai chiếc thuyền là \(13,89\)km.

Lời giải chi tiết:

a)      Khi dây xích đu hợp với phương thẳng đứng góc 30⁰ thì ghế xích đu cách mặt đất một khoảng bao nhiêu mét?

Đặt các điểm tương ứng trên hình vẽ minh họa. Do dây không giãn nên: OE = OB = OD = 4m Xét tam giác vuông OAB, ta có:

\(\cos \widehat O = \dfrac{{OA}}{{OB}} \Rightarrow OA = OB.\cos \widehat O = 4.\cos {30^0} \approx 3,5m\)

\(AE = OE - OA = 4 - 3,5 = 0,5m\)

Ghế xích đu cách mặt đất một khoảng:

\(AM = BN = AE + EM = 0,5 + 0,5 = 1m\)

(Do tứ giác AMNB là hình chữ nhật (có \(\widehat A = \widehat M = \widehat N = {90^0}\)) nên AM =BN)

      Vậy: Khi dây xích đu hợp với phương thẳng đứng 30⁰ thì ghế xích đu cách mặt đất một khoảng 1m

b)     Khi ghế xích đu cách mặt đất một khoảng 2,5 m thì dây xích đu hợp với phương thẳng đứng góc bao nhiêu độ?

Ta có: DP = 2,5m (gt) Tứ giác CMPD là hình chữ nhật (vì có\(\widehat C = \widehat M = \widehat P = {90^0}\)) nên: DP = CM = 2,5m

\(OC = OM - CM = \left( {4 + 0,5} \right) - 2,5 = 2m\)

Xét tam giác vuông OCD, ta có: \(\cos COD = \dfrac{{OC}}{{OD}} = \dfrac{2}{4} = 0,5 \Rightarrow \angle COD = {60^0}\)

Vậy: Khi ghế xích đu cách mặt đất một khoảng 2,5 m thì dây xích đu hợp với phương thẳng đứng góc 60⁰

Lời giải chi tiết:

a)

Đặt vị trí các điểm trên hình vẽ minh họa như hình bên. A là vị trí tàu bắt đầu lặn, tàu lặn theo phương trùng đoạn thẳng AC với AC = 200m, góc BAC =21⁰. Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:

\(\sin BAC=\frac{BC}{AC}\Rightarrow BC=AC.\sin BAC=200.\sin {{21}^{0}}\approx 72m\)

Vậy: Khi tàu chuyển động theo phương AC và đi được 200m thì tàu đang ở độ sâu khoảng 72m so với mặt nước biển.

b)

Tàu tiếp tục chuyển động theo phương AC và tới điểm M có độ sâu so với mặt nước biển bằng đoạn MN =200m như hình vẽ. Xét tam giác AMN vuông tại N, ta có:

\(\sin NAM=\frac{MN}{AM}\Leftrightarrow AM=\frac{MN}{\sin NAM}=\frac{200}{\sin {{21}^{0}}}=558m=0,558km\)

Thời gian để tàu di chuyển  được quãng đường AM là:

\(t=\frac{AM}{v}=\frac{0,558}{9}=0,062\left( h \right)\approx 4\) (phút)

Vậy: Sau gần 4 phút (tính từ lúc bắt đầu lặn) thì tàu ở độ sâu 200m (so với mặt nước biển).

Lời giải chi tiết:

N là trung điểm AD và K là trung điểm CD .

\(\Rightarrow NK\) là đường trung bình của \(\Delta ACD\)

\(\Rightarrow NK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.32=16m\)

và  NK // AC mà \(AC\bot BD\Rightarrow NK\bot BD\)(quan hệ vuông góc song song)

M là trung điểm BC và K là trung điểm CD.

\(\Rightarrow MK\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\)

\(\Rightarrow MK=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.24=12m\)

và  MK // BD mà \(NK\bot BD\Rightarrow NK\bot MK\) (quan hệ vuông góc song song)

\(\Rightarrow \Delta MNK\) vuông tại K.

\(MN=\sqrt{N{{K}^{2}}+M{{K}^{2}}}=\sqrt{{{16}^{2}}+{{12}^{2}}}=20m\)

Vậy hai cây cau cách nhau một đoạn MN bằng 20 mét.

Lời giải chi tiết:

Gọi AH là đường cao của \(\Delta ABC\)

Xét tam giác vuông AHB, vuông tại H , ta có:

\(\cot ABH=\frac{BH}{AH}\Leftrightarrow BH=AH.\cot ABH\)

\(\cot ACH=\frac{HC}{AH}\Leftrightarrow HC=AH.\cot ACH\)

       \(\begin{array}{l}\Leftrightarrow BC = AH.\cot ABH + AH.\cot ACH\\ \Leftrightarrow BC = AH.\left( {\cot ABH + \cot ACH} \right)\\ \Leftrightarrow AH = \frac{{BC}}{{\cot ABH + \cot ACH}} = \frac{8}{{\cot {{40}^0} + \cot {{45}^0}}} \approx 3,65m\end{array}\)

\(\sin ABH=\frac{AH}{AB}\Leftrightarrow AB=\frac{AH}{\sin ABH}=\frac{3,65}{\operatorname{s}\text{in4}{{0}^{0}}}\approx 5,68m\)

              \(\sin ACH=\frac{AH}{AC}\Leftrightarrow AC=\frac{AH}{\sin ACH}=\frac{3,65}{\operatorname{s}\text{in4}{{\text{5}}^{0}}}\approx 5,16m\)

\(S=AB.AD+AC.AD=5,68.15+5,16.15=162,6{{m}^{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: số đo góc CBE = 40⁰ + 50⁰ = 90⁰

\(\Rightarrow \Delta EBC\) vuông tại B.

Tứ giác ABDC là hình chữ nhật (vì có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{A}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{C}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{D}}\,={{90}^{0}}\))

\(\Rightarrow AB=CD=30m\)

Xét tam giác BCD vuông tại D, ta có:

\(\sin CBD=\frac{CD}{BC}\Rightarrow BC=\frac{CD}{\sin CBD}=\frac{30}{\sin {{40}^{0}}}\)

Xét tam giác vuông EBC, ta có:

\(B{{C}^{2}}=CD.CE\)  (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

\(\Rightarrow CE=\frac{B{{C}^{2}}}{CD}=\frac{{{\left( \frac{30}{\sin {{40}^{0}}} \right)}^{2}}}{30}\approx 73m\)

v Vậy chiều cao của cột ăng-ten gần bằng 73 mét.

Lời giải chi tiết:

a)

Biểu diễn bài toán bằng hình vẽ như hình bên.

v Trong đó:

A là vị trí mũi tàu, BC = 42m là chiều cao của ngọn hải đăng Đa Lát, góc BAC = 10⁰là góc giữa mũi tàu và tia nắng chiếu từ đỉnh ngọn hải đăng đến tàu theo phương AB. Khoảng cách từ tàu đến ngọn hải đăng là độ dài đoạn AC Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

\(\tan BAC=\frac{BC}{AC}\Leftrightarrow AC=\frac{BC}{\tan BAC}=\frac{42}{\tan {{10}^{0}}}\approx 238,2m\)

Vậy: Khoảng cách từ tàu đến ngọn hải đăng xấp xỉ bằng 238,2m

b)

Cứ hao tốn 0,02 lít dầu thì tàu chạy được 10m

\(\Rightarrow \) 1 lít dầu tàu chạy được quãng đường dài là: \(\frac{1.10}{0,02}=500m\)

Do 500m > 238,2m nên tàu có đủ dầu để chạy đến ngọn hải đăng Đa Lát.

Lời giải chi tiết:

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

\(\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow AB = 5\,\,\,\left( {cm} \right)\).

+) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC với AH là đường cao ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{3^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}} = \frac{{16}}{{225}} \Rightarrow AC = \frac{{15}}{4}\left( {cm} \right)\)

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {\left( {\frac{{15}}{4}} \right)^2} = \frac{{625}}{{16}} \Rightarrow BC = \frac{{25}}{4}\left( {cm} \right)\).

+) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên ta có: \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{25}}{8}\,\,\,\left( {cm} \right)\)

+) Diện tích tam giác ABC với AH là đường cao ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}.3.\frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{8}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy \(AB = 5cm,\,\,AC = \frac{{15}}{4}cm,\,\,AM = \frac{{25}}{8}cm,\,\,{S_{\Delta ABC}} = \frac{{75}}{8}\,\,c{m^2}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lý Pitago đảo để chứng minh tam giác \(ABC\) vuông.

b) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và hệ thức lượng trong tam giác vuông để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông.

Ta có: \(A{B^2} = {4^2} = 16;\,\,A{C^2} = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^2} = 48;\,\,B{C^2} = {8^2} = 64.\)

\( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = 16 + 48 = 64 = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lý Pitago đảo).

b) Tính số đo \(\angle B,\,\,\angle C\) và độ dài đường cao \(AH\) của \(\Delta ABC.\)

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle B = {60^0}\\ \Rightarrow \angle C = {180^0} - \angle B - \angle A = {180^0} - {60^0} - {90^0} = {30^0}.\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) và có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{4.4\sqrt 3 }}{8} = 2\sqrt 3 \,\,cm.\)

Vậy \(\angle B = {60^0},\,\,\,\angle C = {30^0},\,\,\,AH = 2\sqrt 3 \,\,cm.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác \(MKHI\) là hình chữ nhật từ đó ta tính được độ dài \(AH\) theo định lý Pitago.

Sử dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông điểm tìm các cạnh đề bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

Xét tứ giác \(MIHK\) ta có: \(\angle M = \angle I = \angle K = {90^0}\)

\( \Rightarrow MIHK\) là hình chữ nhật (dhnb).

\( \Rightarrow HI = MK = 6\,cm.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta MHK\) vuông tại \(K\) ta có:

\(M{H^2} = H{K^2} + M{K^2} = {6^2} + {9^2} = 117 \Rightarrow MH = \sqrt {117} .\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MHP\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HK\)  ta có:

\(M{H^2} = MK.MP \Rightarrow MP = \frac{{M{H^2}}}{{MK}} = \frac{{117}}{6} = 19,5\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MHN\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HI\)  ta có:

\(M{H^2} = MI.MN \Rightarrow MN = \frac{{M{H^2}}}{{MI}} = \frac{{117}}{9} = 13\,cm.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta MNP\) vuông tại \(N\) ta có:

\(NP = \sqrt {M{N^2} + M{P^2}}  = \sqrt {{{13}^2} + 19,{5^2}}  = \frac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.\)

Vậy\(MN = 13\,\,cm,\,\,MP = 19,5\,\,cm,\,\,NP = \frac{{13\sqrt {13} }}{2}\,\,cm.\)

Phương pháp giải:

Kẻ \(AH \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,H \in CD.\)

Sử dụng tính chất hình thang vuông, hình chữ nhật; định lý Pitago và hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tính.

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(AH \bot CD = \left\{ H \right\},\,\,H \in CD.\)

Có hình thang vuông \(ABCD\) cạnh xiên  \(AD \Rightarrow \angle ABC = \angle BCD = {90^o}.\)

Dễ thấy \(ABCH\)  là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \( \Rightarrow HC = AB = 12\,cm\)

\( \Rightarrow HD = DC - HC = 16 - 12 = 4\,\,(cm)\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta AHD\)  vuông tại \(H\)  ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{D^2} - H{D^2} \Rightarrow AH = \sqrt {A{D^2} - H{D^2}}  = \sqrt {{8^2} - {4^2}}  = 4\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right).\\ \Rightarrow BC = AH \approx 6,93\,\,cm\end{array}\) 

Xét \(\Delta AHD\)  vuông tại \(H\) ta có: \(\cos \angle D = \frac{{HD}}{{AD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle D = {60^o}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DAH = {90^o} - \angle D = {30^o}\\ \Rightarrow \angle BAD = \angle BAH + \angle DAH = {90^o} + {30^o} = {120^o}.\end{array}\)

Phương pháp giải:

a) Chứng minh \(DI = DL\) dựa vào \(\Delta DAI = \Delta DCL.\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta DLK\) vuông tại \(D,\)  đường cao \(DC\)  để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

a) Xét \(\Delta DAI\) và \(\Delta DCL\)  có:

\(DA = DC\)  (\(ABCD\) là hình vuông);

\(\angle ADI = \angle CDL\) (cùng phụ với \(\angle CDI\))

\(\angle DAI = \angle DCL = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta DAI = \Delta DCL\,\,\,\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow DI = DL\) (2 cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta DIL\)  là tam giác cân tại \(D.\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta DLK\) vuông tại \(D,\) đường cao \(DC\)  ta có:

\(\frac{1}{{D{I^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}} = \frac{1}{{D{L^2}}} + \frac{1}{{D{K^2}}} = \frac{1}{{D{C^2}}}\) không đổi.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tan 1 góc để tính cạnh \(AH\)  và định lý Pytago trong \(\Delta ABH\)vuông tại \(H\)  để tính cạnh \(AB.\)

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta AHC\)vuông tại \(H\) ta có:     \(\begin{array}{l}\tan C = \frac{{AH}}{{CH}} \Rightarrow \tan {30^0} = \frac{2}{{CH}} \Rightarrow CH = \frac{2}{{\tan {{30}^0}}} = 2\sqrt 3 \left( m \right)\\ \Rightarrow BH = BC - CH = 5 - 2\sqrt 3 \,\,\left( m \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H,\)  theo định lý Pytago ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = {2^2} + {\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)^2} = 41 - 20\sqrt 3 \\ \Rightarrow AB = \sqrt {41 - 20\sqrt 3 }  \simeq 2,52\left( m \right)\end{array}\)

Vậy \(AB = 2,52\,m\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thưc tính tan 1 góc và định lý Pytago trong tam giác vuông.

b) Chứng minh \(\Delta ABC\)  vuông tại \(A\)  qua định lý Pytago đảo, suy ra \(BA \bot CA.\)

c) Chứng minh \(\Delta ABC = \Delta DBC\) để suy ra \(DC\)  là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {B;BA} \right),\,\,DC \equiv Dx.\)

d) Chứng minh \(\angle EAC = \angle HAE\)do cùng phụ với \(\angle BEA\)

+) Biến đổi tương đương biểu thức cần chứng minh về 1 kết quả luôn đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Tính độ dài các cạnh \(AH,\,\,AC.\)

 Trong \(\Delta AHC\)vuông tại \(H\)  có:

\(\tan ACB = \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow AH = HC.\frac{3}{4} = 16.\frac{3}{4} = 12\,\,\,\left( {cm} \right).\)

\(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400 \Rightarrow AC = \sqrt {400}  = 20\,\,\,\left( {cm} \right).\)

Vậy \(AH = 12\,\,cm;\,\,\,AC = 20\,\,cm.\)

b) Vẽ đường tròn tâm \(B\)  bán kính \(BA.\)  Chứng minh rằng \(AC\)  là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {B;BA} \right)\).

Trong \(\Delta ABH\)vuông tại \(H\) có: \(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}}  = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}}  = \sqrt {225}  = 15\,\,\left( {cm} \right).\)

Nhận thấy: \(A{B^2} + A{C^2} = {15^2} + {20^2} = 625 = {25^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\)vuông tại  \(A \Rightarrow BA \bot CA.\)

\( \Rightarrow AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {B;BA} \right)\) (định nghĩa).

Vậy \(AC\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {B;BA} \right)\).

c) Tia \(AH\)  cắt đường tròn \(\left( {B;BA} \right)\) tại  \(D\,\,\,\left( {D \ne A} \right).\) Vẽ tiếp tuyến \(Dx\)  của \(\left( {B;BA} \right)\) (với \(D\)  là tiếp điểm). Chứng minh rằng \(Dx\)  đi qua điểm \(C.\)

+) Xét \(\Delta ABD\)có: \(BA = BD\); \(BH \bot AD\)

\( \Rightarrow BH\) là đường cao đồng thời là đường phân giác của \(\Delta ABD\)cân tại \(B\) (tính chất).

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle DBC\)

+) Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta DBC\)có:

\(\begin{array}{l}BC\,\,chung\\\angle ABC = \angle DBC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\BA = BD\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABC = \Delta DBC\,\,\,\left( {c - g - c} \right).\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle BAC = \angle BDC = {90^0}\) (hai góc tương ứng).

\( \Rightarrow BD \bot DC\)

\( \Rightarrow DC\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {B;BA} \right)\).

\( \Rightarrow DC \equiv Dx\) hay \(Dx\)  đi qua điểm \(C\)  (đpcm).

d) Cạnh \(BC\)  cắt đường tròn \(\left( {B;BA} \right)\) tại  \(E.\)

   Chứng minh: \(AE\)  là tia phân giác của góc \(HAC\) và  \(EH.\tan \,ABC = EC.\sin \,ABC\).

+) Ta có \(\angle BAE = \angle BEA\) (do \(\Delta ABE\) cân tại \(B\))

Lại có: \(\angle BAE + \angle EAC = \angle BAC = {90^0}\)

\( \Rightarrow \angle BEA + \angle EAC = {90^0}\)(1)

Mặt khác: \(\angle BEA + \angle HAE = {180^0} - \angle AHE = {90^0}\)(2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle EAC = \angle HAE \Rightarrow AE\) là tia phân giác của \(\angle HAC\) (đpcm)

+) Nếu: \(EH.\tan \,ABC = EC.\sin \,ABC\)

Thì \(EH.\frac{{AC}}{{AB}} = EC.\frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow EH.\frac{{20}}{{15}} = EC.\frac{{20}}{{25}} \Rightarrow \frac{{EH}}{3} = \frac{{EC}}{5}\)(1)

Ta có: \(AE\)  là tia phân giác của \(\angle HAC\)

\( \Rightarrow \frac{{EH}}{{EC}} = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{12}}{{20}} = \frac{3}{5}\)  (tính chất đường phân giác)

\( \Rightarrow \frac{{EH}}{3} = \frac{{EC}}{5}\)\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) luôn đúng.

Vậy \(EH.\tan \,ABC = EC.\sin \,ABC\).

Phương pháp giải:

1) Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác vuông.

2) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A qua định lý Pytago đảo; tính các góc B,C qua sin của chúng; tính AH qua hệ thức lượng trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

1) Cho tam giác \(ABC\)  vuông tại \(A\) có \(AB = 3\,cm;\,AC = 4\,cm\). Kẻ đường cao \(AH\,\,\,\left( {H \in BC} \right).\) Tính \(BH,\,\,CH.\)

+) Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25 \Rightarrow BC = \sqrt {25}  = 5\left( {cm} \right)\)

+) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{3^2}}}{5} = \frac{9}{5} = 1,8\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2\left( {cm} \right)\)

Vậy \(BH = 1,8cm;\,CH = 3,2cm\)

2) Cho tam giác \(ABC\)  có \(AB = 3,6\,cm;\,\,AC = 4,8\,cm;\,\,\,BC = 6\,cm.\) Tính các góc \(B,\,\,C\)  (viết kết quả dạng độ, phút, giây) và đường cao \(AH\)  của tam giác \(ABC.\)  

+)Ta thấy \(A{B^2} + A{C^2} = 3,{6^2} + 4,{8^2} = 36 = {6^2} = B{C^2}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\)vuông tại A (theo định lý Pytago đảo)

+) \(\sin \widehat B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{4,8}}{6} = \frac{4}{5} \Rightarrow \widehat B = {53^0}7'48,37''\)

+) \(\sin \widehat C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{3,6}}{6} = \frac{3}{5} \Rightarrow \widehat C = {36^0}52'11,63''\)

+) Theo hệ thức lượng ta có: \(AH.BC = AB.AC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3,6.4,8}}{6} = 2,88\left( {cm} \right)\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác.

- Sử dụng tam giác đồng dạng và suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\angle ACB - \angle B = 90^\circ \)\( \Rightarrow \angle ACB > {90^0}\)\( \Rightarrow \angle ACB\) là góc tù.

\( \Rightarrow \angle B = \angle ACB - {90^0}\).

Mặt khác: \(\angle ACB = \angle HAC + \angle AHC = \angle HAC + {90^0}\) (góc ngoài của tam giác).

\( \Rightarrow \angle HAC = \angle ACB - {90^0}.\)

Do đó: \(\angle HAC = \angle B\).

Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BHA\) có:

\(\angle H\) chung;

\(\angle HAC = \angle B\,\,\left( {cmt} \right)\);

\( \Rightarrow \Delta AHC\)đồng dạng với\(\Delta BHA\) (g.g).

\( \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{{CH}}{{AH}} \Leftrightarrow A{H^2} = BH.CH.\)

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Đây là một bài hình không gian, mang tính phân loại học sinh. Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy tốt, biết chuyển đổi từ một hình không gian về một hình học phẳng. Có một số em hiểu sai đề bài và cho rằng con kiến sẽ đi theo các “mép” cạnh để tới điểm C’ nên cộng tổng độ dài các cạnh lại. Thực tế con kiến đi trên bề mặt của chiếc hộp chứ không phải bò trên các “mép” cạnh. Để dễ hiểu hơn các em cứ tượng tưởng mình có một chiếc hộp như trên. Sau đó, mình tháo ra và duỗi phẳng chiếc hộp để ra điểm C’’( thực ra là điểm C’, ghi như vậy để phân biệt) hoặc tháo hai bên “hông” của hộp để ra điểm C’. Rồi ta áp dụng định lý pitago để tính.

Lời giải chi tiết:

Điểm C’’ cũng chính là điểm C’ Con kiến có hai cách bò từ E đên C’

 Cách 1: Vượt qua cạnh BB’

Đoạn đường đi ngắn nhất trong trường hợp này là

 \(EC'=\sqrt{{{\left( EB+BC \right)}^{2}}+CC{{'}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 4+8 \right)}^{2}}+{{5}^{2}}}=13cm\)

 Cách 2: Vượt qua cạnh A’B’

Đoạn đường đi ngắn nhất trong trường hợp này là

 \(EC' = \sqrt {{{\left( {BB' + B'C''} \right)}^2} + E{B^2}}  = \sqrt {{{\left( {5 + 8} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {185} cm\)

So sánh hai cách bò trên, đoạn đường đi ngắn nhất của con kiến là \(13cm\)

(Không xét con đường mà con kiến bò vượt qua cạnh AA’, vì con đường này rõ ràng dài hơn các con đường trên).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lý Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh.

b) Tính tỉ số lượng giác các góc nhọn trong tam giác vuông.

c) Chứng minh \(\tan \angle IED=\tan \angle HCE\Rightarrow \angle IED=\angle HCE.\)

d) Chứng minh \(\angle DEC = {90^0}.\)

Lời giải chi tiết:

a) Tính độ dài \(AB,\,\,AC,\,\,HC\) biết \(AH = 4\,cm,\,\,BH = 3\,cm.\) 

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}}  = \sqrt {{4^2} + {3^3}}  = 5\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}} = \frac{9}{{400}} \Rightarrow AC = \frac{{20}}{3}\,\,cm.\\A{H^2} = BH.HC \Rightarrow HC = \frac{{A{H^2}}}{{BH}} = \frac{{{4^2}}}{3} = \frac{{16}}{3}\,\,cm.\end{array}\)

Vậy \(AB = 5cm,\,\,\,AC = \frac{{20}}{3}\,cm,\,\,\,HC = \frac{{16}}{3}\,cm.\)

b) Tính \(\tan \angle IED,\,\,\tan \angle HCE.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DI \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow BC//DI\,\,\,hay\,\,\,BH//DI.\)

Xét \(\Delta AID\) ta có: \(B\) là trung điểm của \(AD\) và \(BH//DI\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AI.\)  (định lý đảo đường trung bình của tam giác)

Và \(BH = \frac{1}{2}DI \Rightarrow DI = 2BH = 2.3 = 6\,\,cm.\)

\( \Rightarrow AH = AI = IE = \frac{1}{3}AE = 5\,\,cm.\)

Xét \(\Delta DIE\) ta có: \(\tan \angle DEI = \frac{{DI}}{{IE}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.\)

Xét \(\Delta HCE\) ta có: \(\tan \angle HCE = \frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{2AH}}{{HC}} = \frac{{2.4}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{3}{2}.\)

Vậy \(\tan \angle DEI = \frac{3}{2};\,\,\,\tan \angle HCE = \frac{3}{2}.\)

c) Chứng minh \(\angle IED = \angle HCE.\)

Ta có: \(\tan \angle IED = \tan \angle HCE = \frac{3}{2} \Rightarrow \angle IED = \angle HCE\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

d) Chứng minh \(DE \bot EC.\)  

Xét \(\Delta HEC\) ta có: \(\angle HEC + \angle HCE = {90^0}\)

Mà \(\angle DEI = \angle HCE\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DEC = \angle CEI + HCE = {90^0}\\Hay\,\,\,DE \bot EC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

b) Chứng minh tứ giác \(ABDC\) là hình thang vuông sau đó sử dụng công thức tính diện tích hình thang.

Lời giải chi tiết:

a) Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,HC\) và tính giá trị biểu thức: \(M = \frac{{2\cos B - 3\sin B}}{{1 + \tan B}}.\)

Xét \(\Delta ABC\) ta có: \(\cos \angle ABC = \frac{3}{5} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow AB = \frac{3}{5}.10 = 6\,\,cm.\)

\(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{{10}^2} - {6^2}}  = 8\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{C^2} = HC.BC \Rightarrow HC = \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{{8^2}}}{{10}} = 6,4\,\,cm.\)

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \angle B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5};\,\,\,\,\,\tan \angle B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\\ \Rightarrow M = \frac{{2\cos B - 3\sin B}}{{1 + \tan B}} = \frac{{2.\frac{3}{5} - 3.\frac{4}{5}}}{{1 + \frac{4}{3}}} =  - \frac{{18}}{{35}}.\end{array}\)

b) Từ \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(AH\) tại \(D.\) Tính diện tích tứ giác \(ABDC.\)  

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\CD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB//CD \Rightarrow ABDC\) là hình thang vuông tại \(A,\,\,C.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ACD\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CH\) là:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{C{D^2}}} = \frac{1}{{C{H^2}}} - \frac{1}{{C{A^2}}} = \frac{1}{{6,{4^2}}} - \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{9}{{1024}}\\ \Rightarrow C{D^2} = \frac{{1024}}{9} \Rightarrow CD = \frac{{32}}{3}\,\,\,cm.\end{array}\)

Ta có diện tích hình thang \(ABDC\) là: \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AC}}{2} = \frac{{\left( {6 + \frac{{32}}{3}} \right).8}}{2} = \frac{{200}}{3}\,\,\,c{m^2}.\)

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tính cạnh trong tam giác vuông khi biết 1 góc và cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

Ta vẽ lại mô hình mái nhà như hình vẽ bên.

Theo đề bài cho ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)

\(AB = AC = 3,5m\) và \(\angle B = \angle C = {30^0}\)

Thì khi đó bề rộng mái nhà chính là độ dài cạnh \(BC.\)

Gọi \(M\)  là trung điểm của \(BC.\)

\( \Rightarrow AM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của \(\Delta ABC\) (tính chất).

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại \(M\) ta có:

 \(\cos B = \frac{{BM}}{{AB}} \Rightarrow cos\,{30^0} = \frac{{BM}}{{3,5}} \Rightarrow BM = \cos \,{30^0}.3,5 = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.3,5 = \frac{{7\sqrt 3 }}{4}\,\,\,\left( m \right).\)

\( \Rightarrow BC = 2BM\frac{{7\sqrt 3 }}{2}\,\,\left( m \right) \approx 6,06\,\,m.\)

Vậy bề rộng mái nhà là \(6,06\,m.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số diện tích giữa hai tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta DFG}} = \frac{1}{2}d\left( {D;\,\,FG} \right).FG\\{S_{\Delta DEB}} = \frac{1}{2}d\left( {D;\,\,FG} \right).BE\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta DFG}}}}{{{S_{\Delta DEB}}}} = \frac{{FG}}{{BE}} = \frac{1}{6}\) \( \Rightarrow {S_{\Delta DFG}} = \frac{1}{6}{S_{\Delta DEB}}.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta DEB}} = \frac{1}{2}d\left( {D;\,\,BE} \right).BE\\{S_{\Delta BEC}} = \frac{1}{2}d\left( {C;\,\,BE} \right).BE\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta DEB}}}}{{{S_{\Delta BEC}}}} = \frac{{d\left( {D;\,\,BE} \right)}}{{d\left( {C;\,\,BE} \right)}} = \frac{{BD}}{{BC}} = \frac{4}{5}\)\( \Rightarrow {S_{\Delta DEB}} = \frac{4}{5}{S_{\Delta BEC}}.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{S_{\Delta BEC}} = \frac{1}{2}d\left( {B;\,\,EC} \right).EC\\{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}d\left( {B;\,\,AC} \right).AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \frac{{{S_{\Delta BEC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{EC}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow {S_{\Delta BEC}} = \frac{3}{4}{S_{\Delta ABC}}.\)

 \( \Rightarrow {S_{\Delta DFG}} = \frac{1}{6}.\frac{4}{5}.\frac{3}{4}.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{{10}}.900 = 90\,c{m^2}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có đường cao \(DH\) ta có:  \(BD.BA = B{H^2}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:   \(BH.BC = B{A^2} \Leftrightarrow BH = \frac{{B{A^2}}}{{BC}}\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow BD.BA = \frac{{B{A^4}}}{{B{C^2}}} \Rightarrow BD = \frac{{B{A^3}}}{{B{C^2}}}\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  ta có: \(BA = BC\cos B\)

\( \Rightarrow BD = \frac{{B{A^3}}}{{B{C^2}}} = \frac{{B{C^3}{{\cos }^3}B}}{{B{C^2}}}\)\( = BC{\cos ^3}B\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(BH.BC = B{A^2} \Leftrightarrow BH = \frac{{B{A^2}}}{{BC}}\)\(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  ta có:

\(BA = BC\cos B\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)\( \Rightarrow BH = \frac{{B{C^2}.{{\cos }^2}B}}{{BC}} = BC.{\cos ^2}B\)