40 bài tập vận dụng ôn tập chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho tam giác MNP vuông ở M,MN=4a; MP=3a. Khi đó, tanP bằng

  • A 34.
  • B 43.
  • C 35.                         
  • D 45.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác MNP vuông tại M, theo định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn ta có:

tanP=MNMP=4a3a=43.

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hình thang cân ABCD(ABCD); CD=2AD=2AB=8. Tính diện tích của hình thang đó.

  • A 122
  • B 123
  • C 12
  • D 126

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Kẻ AH,BK cùng vuông góc với CD (H,KCD). Chứng minh ABKH là hình chữ nhật.

- Tính DH,CK.

- Áp dụng định lí Pytago tính AH.

- Tính diện tích hình thang: SABCD=(AB+CD).AH2.

Lời giải chi tiết:

Kẻ AH,BK cùng vuông góc với CD (H,KCD).

Xét tứ giác ABKH có: {ABHKAHBK, suy ra ABKH là hình bình hành.

Lại có AHK=900 nên ABKH là hình chữ nhật, do đó HK=AB=4.

Xét ΔADHΔBCK có:

AHD=BKC=900;

AD=BC (tính chất hình thang cân);

ADH=ACK (tính chất hình thang cân).

ΔADH=ΔBCK (cạnh huyền – góc nhọn) DH=CK (hai cạnh tương ứng).

DH+CK=CDHK=84=4.

Do đó DH=CK=2.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ADH ta có:

AH2=AD2DH2 AH2=4222=12 AH=23.

Vậy diện tích hình thang ABCD là: SABCD=(AB+CD).AH2 =(4+8).232=123.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=6cm,AC=4,5cm.

Câu 1:

Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác.

  • A B=5308;C=36052;AH=3,6cm
  • B B=36052;C=5308;AH=3,6cm
  • C B=48035;C=41025;AH=3,6cm
  • D B=41025;C=48035;AH=3,6cm

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago.

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác

Từ tỉ số lượng giác suy ra số đo góc  

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông : AH.BC=AB.AC

Công thức tính diện tích tam giác

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABC vuông tại A có:

AB2+AC2=BC2 BC2=62+4,52=56,25BC=7,5cm.

Xét ΔABC vuông tại A  ta có:

sinB=ACBC=4,57,5=35B36052

ΔABC vuông tại A  ta có:

B+C=90036052+C=900C5308

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

AH.BC=AB.ACAH.7,5=4,5.6AH=3,6

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Tính diện tích của tam giác ABC.

  • A 13,5cm2
  • B 12,5cm2
  • C 14,5cm2
  • D 11,5cm2

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago.

Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác

Từ tỉ số lượng giác suy ra số đo góc  

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông : AH.BC=AB.AC

Công thức tính diện tích tam giác

Lời giải chi tiết:

Ta có: SΔABC=12.AH.BC=12.3,6.7,5=13,5cm2.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Dựng một cái thang lên tường với độ cao là 3m, thì khoảng cách từ chân thang tới chân tường tối thiểu là bao nhiêu để đảm bảo an toàn? Khi đó, em hãy tính chiều dài của cái thang? Biết rằng để có sự an toàn thì hệ số góc của cầu thang tối đa là 4.

  • A 2,6m
  • B 3,1m
  • C 4m
  • D 3,7m

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

     Tìm khoảng cách từ chân thang tới chân tường tối thiểu để đảm bảo an toàn.

Gọi x là khoảng cách từ chân thang chân tường Xét hệ tọa độ Oxy như trong hình vẽ. Ta có: A(-x ; 0) là giao điểm của đường thẳng (diễn tả cái thang) với trục Ox  và T(0; 3) là điểm thuộc đường thẳng có tung độ dương (giao điểm của cái thang với trục Oy).

 

Ta có:  Đường thẳng nêu trên có hệ số góc a=tanOAT=OTOA=3x Theo giả thiết , để đảm bảo an toàn thì a4 nên 3x434x34x

Vậy:  Khoảng cách x tối thiểu từ chân thang tới chân tường phải là x=34=0,75m

     Tính chiều dài của cái thang

Ta có: OA = 0,75m, OT = 3m Áp dụng dịnh lý Pitago cho tam giác vuông AOT, vuông tại O, ta có:

AT=OA2+OT2=0,752+32=3,1m

 

Vậy: Ứng với x = 0,75m thì chiều dài của cái thang khi đó là 3,1 m

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho đường tròn (O, 5cm)  và dây AB có độ dài là 8cm. Qua điểm B kẻ dây BC vuông góc với dây AB.

a) Tính độ dài dây BC.

b) Tính số đo góc BAC (làm tròn tới phút).

  • A a) 6cm

    b) 36052

  • B a) 6cm

    b) 72052

  • C a) 2cm

    b) 36052

  • D a) 6cm

    b) 45052

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

a)      Tính độ dài dây BC

Kẻ OHAB(HAB)

H là trung điểm AB (quan hệ đường kính, dây cung)

HB=HA=AB2=82=4cm

Kẻ OKBC(KBC)

K là trung điểm BC (quan hệ đường kính, dây cung)

Tứ giác OHBK là hình chữ nhật  (vì cóˆH=ˆB=ˆK=900)

OK=HB=4cm

Xét tam giác OBK, vuông tại K, áp dụng định lý Pitago ta có:

KB=BO2OK2=5242=9=3cm

BC=2KB=2.3=6cm (K là trung điểm BC)

b)     Tính số đo góc BAC (làm tròn tới phút)

Tam giác AOB cân tại O (vì OA = OB =R)

OH là đường cao nên OH cũng là phân giác góc AOB = 2 góc HOB

Tam giác BOC cân tại O (vì OB = OC =R)

OK là đường cao nên OK cũng là phân giác góc BOC = 2 góc KOB

Ta có: AOB+BOC=2HOB+2KOB=2(HOB+KOB)=2HOK=2.900=1800

(Vì OHBK là hình chữ nhật HOK=900)

3 điểm A, O, C thẳng hàng.

Xét tam giác vuông ACB, ta có:

tanBAC=BCAB=68=34BAC=36052

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cầu Mỹ Thuận là cây cầu dây văng bắc qua sông Tiền, nối liền hai tỉnh Tiền Giang và Vĩnh Long, Việt Nam. Cầu nằm cách Thành phố Hồ Chí Minh 125km về hướng Tây Nam, trên Quốc lộ 1A, là trục giao thông chính của vùng đồng bằng sông Cửu Long. Cầu được hình khánh thành ngày 21/5/2000. Đây là cầu dây văng đầu tiên của Việt Nam.

Nếu vẽ trên bản đồ tỉ lệ xích 1:20000  thì chiều dài của cây cầu trên bản đồ là 7,676cm . Biết độ cao từ điểm cao nhất của mặt cầu và mặt sông là 37,5m. Em hãy tính góc tạo bởi mặt cầu và mặt sông? (hình minh họa)

  • A 150
  • B 2,80
  • C 0,80
  • D 10,80

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Trong bài toán này, cái làm các em lúng túng không phải là phần kiến thức về Toán, mà là phần kiến thức về môn Địa Lý. Cụ thể, các em không nắm được tỉ lệ xích vẽ trên bản đồ với kích thước thực tế như thế nào.

Tỉ lệ xích của một bản vẽ (hoặc một bản đồ) là tỉ số khoảng cách a giữa hai điểm trên bản vẽ (hoặc trên bản đồ) và khoảng cách b giữa hai điểm tương ứng trên thực tế.

Lời giải chi tiết:

Bài giải chi tiết:

Do vẽ trên bản đồ tỉ lệ xích 1:20000  nên khi chiều dài của cây cầu trên bản đồ là 7,676cm  thì chiều dài thực tế của cây cầu Mỹ Thuận là:

7,676.20000=153520cm=1535,2m

Từ hình minh họa đề cho, ta có cây cầu được chia thành hai đoạn ABAC bằng nhau.

AB=AC=1535,22=767,6m

Xét tam giác vuông AHB , vuông tại H , ta có:

sinABH=AHAB=37,5767,60,05^ABH2,80

Vậy:  Góc tạo bởi mặt cầu và mặt sông khoảng 2,80

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho tam giác ABC vuông tại AAB=9cm,BC=15cm đường cao AH.

a) Tính AHCH.

b) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt đường thẳng AC tại D. Tia phân giác của góc C cắt AB tại NBD tại M. Chứng minh CN.CD=CM.CB.

c) Chứng minh NAMD=CACD.

  • A a) AH=9,6cm;CH=7,2cm
  • B a) AH=7,2cm;CH=9,6
  • C a) AH=4,8cm;CH=9,6cm
  • D a) AH=4,8cm;CH=7,2cm

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

a) Theo định lý Py – ta – go ta có: AC2=BC2AB2=15292=144AC=12(cm).

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, ta có: AH.BC=AB.AC.

AH=AB.ACBC=9.1215=7,2(cm).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: AC2=BC.CHCH=AC2BC=12215=9,6(cm).

b) Ta có: C1=C2(gt)ΔCANΔCBM(g.g)CNCM=CACB(1).

Dễ thấy ΔCABΔCBD(g.g)CACB=CBCD(2).

Từ (1) và (2) CNCM=CBCDCN.CD=CM.CB.

c) Vì ∆CAN đồng dạng với ∆CBM (cmt) ta có: NACA=MBCB(3).

Tia CM là phân giác của góc BCD (gt) nên MBMD=CBCDMBCB=MDCD(4).

Từ (3) và (4) NACA=MDCDNAMD=CACD.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho tam giác MNP có MN = 3cm; MP = 4cm; NP = 5cm.

a) Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác vuông

b) Kẻ đường cao MK. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của K trên MN và MP. Tính DE

c) Chứng minh rằng:MD.MN = ME. MP

d) Chứng minh rằng: ND.PE.NP = MK3

Lời giải chi tiết:

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cầu thang bộ của bigC nguyễn Kiệm (ảnh minh họa như  hình 1 bên trái) gồm 20 bậc có kích thước và mô tả như hình 2 ( bề rộng bậc thang là 60cm,chiều cao giữa hai bậc là 25cm). Nếu siêu thị cho lắp thang máy  (ảnh minh họa như  hình 1 bên phải) thì chiều dài của cầu thang máy là bao nhiêu, giả sử rằng thang máy phẳng đều và đi qua khít các điểm A,B,C,D,…xem phần hở không đáng kể. Điểm cao nhất của thang máy là A, điểm thấp nhất của thang máy là D. 

  • A 13m
  • B 15m
  • C 11m
  • D 9m

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phân tích:

Đây là bài toán tương tự như bài về đường đi của con rô bốt trong đề minh họa của sở GD Tuy nhiên, nếu giải theo phương pháp dựng thêm hình thì sẽ làm bài toán trở nên khó hơn với một số học sinh vì phải chứng minh phần vuông góc tại H ( mặc dù nhìn là biết vuông góc rồi!) Để giải nhanh bài này, ta tinh ý sẽ phát hiện ra 20 tam giác vuông bằng nhau. Từ đó, độ dài băng tải sẽ gấp 20 lần độ dài của một cạnh huyền của một tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Xét các tam giác vuông có số thứ tự từ 1 đến 20, ta có chúng bằng nhau theo trường hợp:

cạnh- góc – cạnh (có các góc vuông  bằng nhau, có cách cạnh góc vuông độ dài 25cm và các cạnh góc vuông độ dài 60cm bằng nhau)

Xét  vuông CDE, áp dụng định lý pitago ta có:

      CD2=CE2+DE2CD2=252+602CD2=4225CD=65cm 

Vì 20 tam giác bằng nhau, nên chiều dài của thang máy gấp 20 lần độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông, vậy chiều dài của thang máy là: AD = 20.65 = 1300cm = 13m

Cách 2:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng DE

 tại H  vuông tại H

Độ dài đoạn AH là:  AH = 25.20 = 500cm = 5m 

Độ dài đoạn DH là:   DH = 60.20 = 1200cm = 12m

Xét  vuông AHD, áp dụng định lý pitago ta có:

AD2=AH2+HD2AD2=52+122AD2=169AD=13m

Vậy:  Chiều dài của thang máy là:  AD  = 13m.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Tại một vị trí trên bờ, bạn An có thể xác định được khoảng cách hai chiếc thuyền ở vị trí A, vị trí B bằng cách như sau: Trước tiên, bạn chọn một vị trí trên bờ ( điểm I) sao cho ba điểm I, A, B  thẳng hàng. Sau đó, bạn di chuyển theo hướng vuông góc với IA  đến vị trí điểm K cách điểm I khoảng 380m. Bạn dùng giác kế nhắm vị trí điểm A, điểm B thì đo được góc 150. Còn khi bạn  nhắm vị trí điểm A, điểm I thì đo được góc 500. Hỏi khoảng cách hai chiếc thuyền là bao nhiêu?

  • A 362m
  • B 256m
  • C 200m
  • D 300m

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Đây là một bài tập theo đúng nghĩa là ứng dụng thực tế. Một bài tập về dùng giác kế để đo góc, rồi dùng các tỉ số lượng giác trong tam giác vuông để tính ra khoảng cách giữa các vật. Phương pháp đo này dùng để đo những đối tượng thường là bị ngăn cách mà ta không thể sử dụng thước để đo trực tiếp được, ví dụ: đo khoảng cách giữa hai ngọn núi, khoảng cách giữa hai chiếc thuyền trên biển hay đo chiều cao của một cái cây chẳng hạn. Khi giải bài tập loại này các em chỉ cần sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông là làm được.

Lời giải chi tiết:

Do KA nằm giữa KI và KB nên:

^BKI=^BKA+^AKI=150+500=650. Xét tam giác vuông AKI, vuông tại I, ta có: tanAKI=AIIKAI=IK.tanAKI=380.tan500  (mét) Xét tam giác vuông BKI, vuông tại I, ta có: tanBKI=BIIKBI=IK.tanBKI=380.tan650   (mét) Khoảng cách hai chiếc thuyền chính là độ dài đoạn AB:

AB=BIAI=380.tan650380. tan500=380.(tan650tan500)=362 (mét)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tòa nhà Bitexco Financial (hay Tháp Tài chính Bitexco) là một tòa nhà chọc trời được xây dựng tại trung tâm Quận 1, Thành phố Hồ Chí Minh. Tòa nhà có 68 tầng (không tính 3 tầng hầm). Biết rằng, khi toà nhà có bóng in trên mặt đất dài 47,5 mét, thì cùng thời điểm đó có một cột cờ (được cắm thẳng đứng trên mặt đất) cao 12 mét có bóng in trên mặt đất dài 2,12 mét. a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ). b) Tính chiều cao của toà nhà, (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

  • A a)   Vậy: Góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là 800

    b)  Tòa nhà Bitexco cao 269m

  • B a)   Vậy: Góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là 850

    b)  Tòa nhà Bitexco cao 296m

  • C a)   Vậy: Góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là 900

    b)  Tòa nhà Bitexco cao 296m

  • D a)   Vậy: Góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là 600

    b)  Tòa nhà Bitexco cao 269m

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Để làm được bài tập này, trước hết các em phải nắm được tính chất của tia nắng mặt trời là các tia song song (sách vật lý 7- hk1). Do đó, ở cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là như nhau tại mọi vị trí. Điểm khó khăn thứ hai là từ đề bài các em phải vẽ ra được hình minh họa cho bài toán. Khi đã có hình vẽ cho bài toán thì các em chỉ cần sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông là ra được đáp án.

Lời giải chi tiết:

 

Hình minh họa

a) Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất (đơn vị đo góc được làm tròn đến độ).

Gọi h là chiều cao của tòa nhà Bitexco Vì mặt trời ở rất xa trái đất nên chùm sáng mà mặt trời phát ra xem như là chùm sáng song song Do đó, ở cùng một thời điểm thì góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là như nhau Xét tam giác vuông  ABC, ta có:tanACB=ABAC=122,12=5,66ACB=800

Vậy: Góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất là 800

b) Tính chiều cao của toà nhà Bitexco, (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Do góc tạo bởi tia sáng mặt trời và mặt đất là như nhau

\^ACB=\^MPNtanACB=tanMPN=5,66

Xét tam giác vuông MPN, ta có: tanMPN=MNMP5,66=h47,5h=5,66.47,5=269m

Vậy:  Tòa nhà Bitexco cao 269m.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

 Nhà thờ Đức Bà tọa lạc tại Số 1, Công Xã Paris, Phường Bến Nghé, Quận 1, Hồ Chí Minh. Với chiều cao 57m ( từ chân nhà thờ đến cây thánh giá trên đỉnh), quang cảnh rộng lớn, giao lộ thông thoáng, được bao quanh bởi hàng cây tươi xanh, ít có tòa nhà cao tầng. Nhà thờ Đức Bà nổi bậc như một công trình kiến trúc đồ sộ, trang nghiêm bậc nhất trong khu vực này.

Trong một dịp tới tham quan nhà thờ, khi đứng trên mặt đất cách nhà thờ 30m, thầy Tưởng có thể nhìn thấy được cây thánh giá trên đỉnh của nhà thờ.

a) Thầy Tưởng nhìn đỉnh của nhà thờ với “góc nâng” ( làm tròn số đo góc đến phút) là:

b) Nếu thầy Tưởng dịch chuyển một đoạn để góc nâng là 500 mà vẫn có thể nhìn thấy được cây thánh giá trên đỉnh của nhà thờ( biết thầy Tưởng cao 1,7m và khoảng cách từ mắt đến đỉnh đầu là 10cm) thì thầy phải di chuyển lại gần hay ra xa nhà thờ một đoạn là:  

 

  • A a) 60033

    b) 16.5m

  • B a) 61033

    b) 16.5m

  • C a) 610

    b) 16.5m

  • D a) 61033

    b) 16m

Đáp án: B

Phương pháp giải:

• Đây là một bài tập thực tế vận dụng kiến tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

• Về mặt tính toán, bài toán áp dụng một vài công thức đơn giản sẽ ra được đáp số.

Lời giải chi tiết:

a) Hỏi thầy Tưởng nhìn đỉnh của nhà thờ với “góc nâng” là bao nhiêu? ( làm tròn số đo góc đến phút)

• Khoảng các từ mắt đến chân thầy Tưởng: 1,7 – 0,1 = 1,6m

• Độ dài đoạn BC: 57 – 1,6 = 55,4m

• Xét tam giác vuông ABC vuông tại B, ta có:

tanBAC=BCAB=55,430 góc BAC=61033Vậy: Góc “nâng” từ chỗ thầy Tưởng đứng đến đỉnh của nhà thờ là: 61033

b) Nếu thầy Tưởng dịch chuyển một đoạn để “góc nâng” là 500 mà vẫn có thể nhìn thấy được cây thánh giá trên đỉnh của nhà thờ, thì thầy phải di chuyển lại gần hay ra xa nhà thờ một đoạn là bao nhiêu mét?

• Gọi D là vị trí mà thầy Tưởng di chuyển tới sau đó để góc “nâng” là 500

• Xét tam giác vuông BCD vuông tại B, ta có:

tanBDC=BCBDBD=BCtan500=55,4tan500=46,5m>30m

Vậy: Thầy Tưởng phải di chuyển ra xa nhà thờ một đoạn: 46,5 – 30 = 16,5m

Chọn B

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Hai chiếc thuyền đang ở cùng một vĩ tuyến,  cách nhau một khoảng 9 hải lý. Vào lúc 6h cả hai cùng xuất phát, chiếc thuyền thứ nhất đi theo hướng Bắc với vận tốc 6  hải lý/ giờ. Chiếc thuyền thứ hai đi theo hướng về vị trí ban đầu của chiếc thuyền thứ nhất với vận tốc 4  hải lý/ giờ. Hỏi đến 6h45 phút thì khoảng cách giữa hai chiếc thuyền là bao nhiêu km? Biết 1  hải lý =1852m

  • A 7,5km
  • B 13,89km
  • C 14,89km
  • D 13km

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Điểm mấu chốt của bài toán nằm ở việc hiểu được “hai thuyền ở cùng một vĩ tuyến” là như thế nào?

Các em lưu ý, trong môn Địa Lý vĩ tuyến là các đường nằm theo chiều ngang của Trái Đất.

(cụ thể có 5 đường vĩ tuyến, trong đó, có một đường vĩ tuyến mà em nào cũng biết đó là đường xích đạo- các em tìm hiểu kỹ trong môn Địa Lý nhé!)

Sau khi đã biết về đường vĩ tuyến và phương hướng trên Trái Đất các em phải vẽ lại hình cho bài toán để dựa vào đó giải ra đáp số.

Lời giải chi tiết:

Vẽ lại sơ đồ bài toán như hình vẽ:

Vì lúc đầu hai chiếc thuyền ở cùng một vĩ tuyến ta biễu diễn theo phương ngang AB

Sau khi xuất phát, thuyền thứ hai đi về hướng Bắc nên ta biểu diễn theo hướng AC hướng thẳng lên

Thuyền thứ hai đi trở về vị trí thuyền thứ nhất tức là hướng từ B sang A

Hướng Nam-Bắc vuông góc với vĩ tuyến nên AB vuông góc với AC tại A .

AB=9 hải lý là khoảng cách lúc đầu giữa hai thuyền.

AC là quãng đường thuyền thứ nhất đi được, BM là quãng đường thuyền thứ hai đi được trong cùng một khoảng thời gian.

CM là khoảng cách giữa hai thuyền lúc sau.

 

 

Thời gian đi của hai thuyền

     t = 6h45phút – 6h  = 45phút =  34h

Quãng đường mà thuyền thứ nhất đi được:

     AC=v1. t=6.34=4,5 ( hải lý)

Quãng đường mà thuyền thứ hai đi được:

     BM=v1. t=4.34=3 ( hải lý)

Độ dài đoạn AM :

     AM=93=6 (hải lý)

Xét ΔABMvuông tại A , áp dụng định lý Pitago, ta có:

    AM2+AC2=CM2CM2=4,52+62=56,25CM=7,5 (hải lý)

7,5 (hải lý) =7,5.1,852 km =13,89 km  (1 hải lý=1852m=1,852km)

          Vậy: Đến 6h45 phút thì khoảng cách giữa hai chiếc thuyền là 13,89km.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Chơi xích đu là một trò chơi quen thuộc với nhiều người. Cô Loan cũng vậy, tuy đã lớn, nhưng ngồi xích đu luôn làm cô thấy thú vị sau mỗi ngày làm việc căng thẳng trên tuyển sinh 247.

Biết ở vị trí cân bằng dậy xích đu vuông góc với mặt đất, ghế xích đu cách mặt đất 50cm. Dây xích đu từ điểm treo đến ghế dài 4m và không giãn.

a)      Khi dây xích đu hợp với phương thẳng đứng 300 thì ghế xích đu cách mặt đất một khoảng bao nhiêu mét?

b)     Khi ghế xích đu cách mặt đất một khoảng 2,5m thì dây xích đu hợp với phương thẳng đứng góc bao nhiêu độ?  Xem như độ dày của ghế xích đu không đáng kể.

  • A a) 3m

    b) 400

  • B a) 1m

    b) 300

  • C a) 2m

    b) 300

  • D a) 1m

    b) 600

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

a)      Khi dây xích đu hợp với phương thẳng đứng góc 300 thì ghế xích đu cách mặt đất một khoảng bao nhiêu mét?

Đặt các điểm tương ứng trên hình vẽ minh họa. Do dây không giãn nên: OE = OB = OD = 4m Xét tam giác vuông OAB, ta có:

cosˆO=OAOBOA=OB.cosˆO=4.cos3003,5m

AE=OEOA=43,5=0,5m

Ghế xích đu cách mặt đất một khoảng:

AM=BN=AE+EM=0,5+0,5=1m

(Do tứ giác AMNB là hình chữ nhật (có ˆA=ˆM=ˆN=900) nên AM =BN)

      Vậy: Khi dây xích đu hợp với phương thẳng đứng 300 thì ghế xích đu cách mặt đất một khoảng 1m

b)     Khi ghế xích đu cách mặt đất một khoảng 2,5 m thì dây xích đu hợp với phương thẳng đứng góc bao nhiêu độ?

Ta có: DP = 2,5m (gt) Tứ giác CMPD là hình chữ nhật (vì cóˆC=ˆM=ˆP=900) nên: DP = CM = 2,5m

OC=OMCM=(4+0,5)2,5=2m

Xét tam giác vuông OCD, ta có: cosCOD=OCOD=24=0,5COD=600

Vậy: Khi ghế xích đu cách mặt đất một khoảng 2,5 m thì dây xích đu hợp với phương thẳng đứng góc 600

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

 Trong buổi tập luyện, một tàu ngầm đang ở trên mặt biển bắt đầu lặn xuống và di chuyển theo đường          thẳng tạo với mặt nước biển một góc 210  (xem hình bên).

a)     Khi tàu chuyển động theo hướng đó và đi được 200m thì tàu sẽ ở độ sâu bao nhiêu so với mặt nước biển (làm tròn đến đơn vị mét)

b)     Giả sử tốc độ trung bình của tàu là 9 km/h, thì sau bao lâu (tính từ lúc bắt đầu lặn) tàu ở độ sâu 200m (cách mặt nước biển 200m)? (làm tròn đến phút).

Lời giải chi tiết:

a)

Đặt vị trí các điểm trên hình vẽ minh họa như hình bên. A là vị trí tàu bắt đầu lặn, tàu lặn theo phương trùng đoạn thẳng AC với AC = 200m, góc BAC =210. Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có:

sinBAC=BCACBC=AC.sinBAC=200.sin21072m

Vậy: Khi tàu chuyển động theo phương AC và đi được 200m thì tàu đang ở độ sâu khoảng 72m so với mặt nước biển.

 

b)

Tàu tiếp tục chuyển động theo phương AC và tới điểm M có độ sâu so với mặt nước biển bằng đoạn MN =200m như hình vẽ. Xét tam giác AMN vuông tại N, ta có:

sinNAM=MNAMAM=MNsinNAM=200sin210=558m=0,558km

Thời gian để tàu di chuyển  được quãng đường AM là:

t=AMv=0,5589=0,062(h)4 (phút)

Vậy: Sau gần 4 phút (tính từ lúc bắt đầu lặn) thì tàu ở độ sâu 200m (so với mặt nước biển).

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Đám đất nhà bạn Tý có dạng hình tứ giác ABCD  trong đó AC dài 32m, BD dài 24m và AC vuông góc với BD. Mẹ bạn Tý cho trồng hai cây cau tại điểm M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Hỏi khoảng cách giữa hai cây cau là bao nhiêu mét?

  • A 10 mét
  • B 20 mét
  • C 15 mét
  • D 25 mét

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Gọi K là trung điểm của CD Xét tam giác ACD ta có:

N là trung điểm AD và K là trung điểm CD .

NK là đường trung bình của ΔACD

NK=12AC=12.32=16m

và  NK // AC mà ACBDNKBD(quan hệ vuông góc song song)

 

Xét tam giác BCD, ta có:

M là trung điểm BC và K là trung điểm CD.

MK là đường trung bình của ΔBCD

MK=12BD=12.24=12m

và  MK // BD mà NKBDNKMK (quan hệ vuông góc song song)

ΔMNK vuông tại K.

Áp dụng dịnh lý Pitago cho tam giác vuông MNK, ta có:

MN=NK2+MK2=162+122=20m

Vậy hai cây cau cách nhau một đoạn MN bằng 20 mét.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Thầy Tưởng có ý định xây dựng một căn nhà như hình bên, biết AD =15m, BC = 8m. Hai mái nhà là các hình chữ nhật, góc ABC = 400, góc ACB = 450.

Em hãy tính tổng diện tích phần mái nhà mà thầy Tưởng muốn xây dựng.

 

Lời giải chi tiết:

Gọi AH là đường cao của ΔABC

Xét tam giác vuông AHB, vuông tại H , ta có:

cotABH=BHAHBH=AH.cotABH

Xét tam giác vuông AHC, vuông tại H , ta có:

cotACH=HCAHHC=AH.cotACH

Ta có: BC = BH + HC                     

 

       BC=AH.cotABH+AH.cotACHBC=AH.(cotABH+cotACH)AH=BCcotABH+cotACH=8cot400+cot4503,65m

Xét tam giác vuông AHB, vuông tại H , ta có:

sinABH=AHABAB=AHsinABH=3,65sin4005,68m

Xét tam giác vuông AHC, vuông tại H , ta có:

              sinACH=AHACAC=AHsinACH=3,65sin4505,16m

Tổng diện tích phần mái nhà mà thầy Tưởng muốn xây dựng là:

S=AB.AD+AC.AD=5,68.15+5,16.15=162,6m2

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

 Từ nóc một cao ốc cao 30m người ta nhìn thấy chân và đỉnh

của một  cột ăng-ten (cắm vuông góc với mặt đất) với các góc hạ

và nâng  lần lượt là 40  và 50 .

Tính chiều cao của cột ăng-ten (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(Hình bên) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: số đo góc CBE = 40+ 50= 900

ΔEBC vuông tại B.

Tứ giác ABDC là hình chữ nhật (vì có ˆ A=ˆ C=ˆ D=900)

AB=CD=30m

Xét tam giác BCD vuông tại D, ta có:

sinCBD=CDBCBC=CDsinCBD=30sin400

Xét tam giác vuông EBC, ta có:

BC2=CD.CE  (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

CE=BC2CD=(30sin400)23073m

v Vậy chiều cao của cột ăng-ten gần bằng 73 mét.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

 Hải Đăng Đa Lát là một trong bảy ngọn núi cao nhất việt Nam, được đặt trên đảo Đa Lát ở vị trí cực Tây quần đảo, thuộc xã đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa. Ngọn Hải Đăng được xây dựng năm 1994, cao 42m, có tác dụng chỉ vị trí đảo, giúp tàu bè hoạt động trong vùng biển Trường Sa định hướng và xác định được vị trí của mình. Một người đi tàu trên biển muốn đến Hải Đăng Đa Lát, người đó đứng trên mũi tàu và dùng giác kế đo được góc giữa mũi tàu và tia nắng chiếu từ đỉnh ngọn hải đăng đến tàu là 100.

a)     Tính khoảng cách từ tàu đến ngọn hải đăng? (kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)

b)     Trên tàu còn 1 lít dầu, cứ đi 10m thì tàu đó hao tốn hết 0,02 lít dầu. Hỏi tàu đó có đủ dầu để đến ngọn hải đăng Đa Lát hay không?

  • A 236,2m

    Tàu đủ dầu chạy đến ngọn đăng

  • B 238,2m

    Tàu không đủ dầu chạy đến ngọn đăng

  • C 458,2m

    Tàu không đủ dầu chạy đến ngọn đăng

  • D 238,2m

    Tàu đủ dầu chạy đến ngọn đăng

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

a)

Biểu diễn bài toán bằng hình vẽ như hình bên.

v Trong đó:

A là vị trí mũi tàu, BC = 42m là chiều cao của ngọn hải đăng Đa Lát, góc BAC = 100là góc giữa mũi tàu và tia nắng chiếu từ đỉnh ngọn hải đăng đến tàu theo phương AB. Khoảng cách từ tàu đến ngọn hải đăng là độ dài đoạn AC Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

tanBAC=BCACAC=BCtanBAC=42tan100238,2m

Vậy: Khoảng cách từ tàu đến ngọn hải đăng xấp xỉ bằng 238,2m

b)

Cứ hao tốn 0,02 lít dầu thì tàu chạy được 10m

1 lít dầu tàu chạy được quãng đường dài là: 1.100,02=500m

Do 500m > 238,2m nên tàu có đủ dầu để chạy đến ngọn hải đăng Đa Lát.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho ΔABC vuông tại A có đường cao AHvà đường trung tuyến AM. Biết AH=3cm;HB=4cm.  Hãy tính AB,AC,AM và diện tích tam giác ABC.

  • A AB=5cm,AC=154cm,AM=258cm,SΔABC=758cm2
  • B AB=5cm,AC=3cm,AM=4cm,SΔABC=394cm2
  • C AB=143cm,AC=144cm,AM=3cm,SΔABC=758cm2
  • D AB=143cm,AC=3cm,AM=278cm,SΔABC=9cm2

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H ta có:

AB2=AH2+HB2=32+42=25AB=5(cm).

+) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC với AH là đường cao ta có:

1AH2=1AB2+1AC21AC2=1AH21AB21AC2=132152=16225AC=154(cm)

+) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC vuông tại A ta có:

BC2=AB2+AC2=52+(154)2=62516BC=254(cm).

+) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên ta có: AM=12BC=258(cm)

+) Diện tích tam giác ABC với AH là đường cao ta có: SABC=12AH.BC=12.3.254=758(cm2).

Vậy AB=5cm,AC=154cm,AM=258cm,SΔABC=758cm2

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho tam giác ABCAB=4cm,AC=43,BC=8cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Tính số đo B,C và độ dài đường cao AH của ΔABC.

  • A b)B=450;C=450;AH=3
  • B b)B=500;C=400;AH=2
  • C b)B=300;C=600;AH=4
  • D b)B=600;C=300;AH=23

Đáp án: D

Phương pháp giải:

a) Áp dụng định lý Pitago đảo để chứng minh tam giác ABC vuông.

b) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và hệ thức lượng trong tam giác vuông để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh tam giác ABC vuông.

Ta có: AB2=42=16;AC2=(43)2=48;BC2=82=64.

AB2+AC2=16+48=64=BC2

ΔABC vuông tại A (định lý Pitago đảo).

b) Tính số đo B,C và độ dài đường cao AH của ΔABC.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong ΔABC ta có:

cosB=ABBC=48=12B=600C=1800BA=1800600900=300.

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tạiA và có đường cao AH ta có:

AH.BC=AB.ACAH=AB.ACBC=4.438=23cm.

Vậy B=600,C=300,AH=23cm.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho ΔMNP vuông tạiM có đường cao MH. Gọi I,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MN,MP. Biết HK=9cm,HI=6cm. Khi đó tính độ dài các cạnh của ΔMNP.

  • A MN=12cm,MP=19,5cm,NP=3132cm.
  • B MN=13cm,MP=19,5cm,NP=3132cm.
  • C MN=13cm,MP=17,5cm,NP=3132cm.
  • D MN=13cm,MP=19,5cm,NP=5132cm.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác MKHI là hình chữ nhật từ đó ta tính được độ dài AH theo định lý Pitago.

Sử dụng các công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông điểm tìm các cạnh đề bài yêu cầu.

Lời giải chi tiết:

Xét tứ giác MIHK ta có: M=I=K=900

MIHK là hình chữ nhật (dhnb).

HI=MK=6cm.

Áp dụng định lý Pitago cho ΔMHK vuông tại K ta có:

MH2=HK2+MK2=62+92=117MH=117.

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔMHP vuông tại H có đường cao HK  ta có:

MH2=MK.MPMP=MH2MK=1176=19,5cm.

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔMHN vuông tại H có đường cao HI  ta có:

MH2=MI.MNMN=MH2MI=1179=13cm.

Áp dụng định lý Pitago cho ΔMNP vuông tại N ta có:

NP=MN2+MP2=132+19,52=13132cm.

VậyMN=13cm,MP=19,5cm,NP=13132cm.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho hình thang vuông ABCD  có hai đáy  AB=12cm,DC=16cm, cạnh xiên AD=8cm.  Tính các góc và cạnh góc vuông của hình thang.

  • A BC=33cmA=1200,D=600
  • B BC=43cmA=1200,D=600
  • C BC=33cmA=1350,D=450
  • D BC=43cmA=1350,D=450

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Kẻ AHCD={H},HCD.

Sử dụng tính chất hình thang vuông, hình chữ nhật; định lý Pitago và hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tính.

Lời giải chi tiết:

Kẻ AHCD={H},HCD.

Có hình thang vuông ABCD cạnh xiên  ADABC=BCD=90o.

Dễ thấy ABCH  là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) HC=AB=12cm

HD=DCHC=1612=4(cm)

Áp dụng định lý Pitago cho ΔAHD  vuông tại H  ta có:

AH2=AD2HD2AH=AD2HD2=8242=43(cm).BC=AH6,93cm 

Xét ΔAHD  vuông tại H ta có: cosD=HDAD=12D=60o

DAH=90oD=30oBAD=BAH+DAH=90o+30o=120o.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hình vuông ABCD.  Gọi I  là một điểm nằm giữa A  và B.  Tia DI  và tia CB  cắt nhau ở K.  Kẻ đường thẳng qua D,  vuông góc với DI,  cắt đường thẳng BC  tại L.  Chứng minh rằng :

a) ΔDIL  là một tam giác cân.

b) Tổng 1DI2+1DK2 không đổi khi I  thay đổi trên cạnh AB.

Phương pháp giải:

a) Chứng minh DI=DL dựa vào ΔDAI=ΔDCL.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong ΔDLK vuông tại D,  đường cao DC  để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

a) Xét ΔDAIΔDCL  có:

DA=DC  (ABCD là hình vuông);

ADI=CDL (cùng phụ với CDI)

DAI=DCL=90o

ΔDAI=ΔDCL(cgc)DI=DL (2 cạnh tương ứng)

ΔDIL  là tam giác cân tại D.

b) Áp dụng hệ thức lượng trong ΔDLK vuông tại D, đường cao DC  ta có:

1DI2+1DK2=1DL2+1DK2=1DC2 không đổi.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Có một vụ tai nạn ở vị trí B tại chân của một ngọn núi (chân núi có dạng đường tròn tâm O, bán kính 3km) và một trạm cứu hộ ở vị trí A (tham khảo hình vẽ). Do chưa biết đi đường nào để đến vị trí tai nạn nhanh hơn nên đội cứu hộ quyết định điều hai xe cứu thương cùng xuất phát ở trạm cứu hộ đến vị trí tai nạn theo hai cách sau:

Xe thứ nhất: đi theo đường thẳng từ A đến B, do đường xấu nên vận tốc trung bình của xe là 40 km/h.

Xe thứ hai: đi theo đường thẳng từ A đến C với vận tốc trung bình 60 km/h, rồi đi từ C đến B theo đường cung nhỏ CB ở chân núi với vận tốc trung bình 30 km/h (ba điểm A, O, C thẳng hàng và C ở chân núi). Biết đoạn đường AC dài 27 km và ABO=900.

Câu 1:

Tính độ dài quãng đường xe thứ nhất đi từ A đến B.

  • A AB25,85km.
  • B AB29,85km.
  • C AB25,65km.
  • D AB29,65km.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pytago để tính độ dài quãng đường AB.

Lời giải chi tiết:

Ta có: AO=CA+OC=27+3=30km.

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABO vuông tại B ta có:

AB2=AO2OB2=30232=891AB=891=91129,85km.

Vậy quãng đường xe thứ nhất đi là AB29,85km.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Nếu hai xe cứu thương xuất phát cùng lúc tại A thì xe nào đến vị trí tai nạn trước?

  • A Xe thứ nhất
  • B Xe thứ hai
  • C Hai xe đến cùng lúc

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn n0 là: l=πRn01800 để tính quãng đường xe thứ hai đi.

Tính thời gian hai xe đi để đến vị trí tai nạn rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

+) Thời gian xe thứ nhất đi đến vị trí tai nạn là: 911:40=911400,746 giờ.

+) Ta có: cosAOB=cosCOB=330=110COB84,260

sdcungBC=COB=84,260 (số đo góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).

Độ dài cung  BC là: lBC=π.3.84,261804,41km.

Thời gian xe thứ hai đi đến vị trí tai nạn là: 27:60+4,41:30=0,597 giờ.

Ta thấy thời gian xe thứ hai đi đến vị trí tai nạn ít hơn thời gian xe thứ nhất đi đến vị trí tai nạn nên khi hai xe cùng xuất phát thì xe thứ hai đến trước xe thứ nhất.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho tứ giác ABCDAB=AC=AD=20cm,B=600A=900.  Kẻ BEDC kéo dài.

Câu 1:

Tính BE?

  • A BE=102cm
  • B BE=10cm
  • C BE=103cm
  • D BE=20cm

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABD vuông tại A ta có:

DB=AB2+AD2=202+202=202cm.

ΔABDAB=AD=20cmΔABD vuông cân tạiA.

ABD=ADB=450 (tính chất tam giác cân).

Theo đề bài ta có: {AB=AC=20cmABC=600ΔABC là tam giác đều.

BC=20cm;BAC=BCA=600.

Lại có: AC=AD=20cmΔACD cân tại A

ACD=ADC=1800CAD2=1800(900BAC)2=1800(900600)2=750.EDB=ADCADB=750450=300.

Xét ΔBED vuông tại E ta có:

{BE=BD.sinEDB=202.sin300=202.12=102cm.ED=BD.cosEDB=202.cos300=202.32=106cm.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Tính CE.?

  • A CE=10cm
  • B CE10,35cm
  • C CE=103cm
  • D CE=102cm

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago choΔBEC vuông tại E ta có:

EC=BC2BE2=202(102)2=102cm.

Đáp án - Lời giải

Câu 3:

Tính CD?

  • A CD=103cm
  • B CD=10cm
  • C CD10,35cm
  • D CD=20cm

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pitago và các tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Ta có: CD=EDEC=106102=102(31)cm10,35cm

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH=4a,HB=2a  với 0<aR.

Câu 1:

Tính HC  theo a.

  • A HC=5a
  • B HC=6a
  • C HC=7a
  • D HC=8a

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính tan của 1 góc.

Lời giải chi tiết:

Tính HC  theo a.

Áp dụng hệ thức lương trong ΔABCvuông tại A có đường cao AH ta có:

AH2=HB.HCHC=AH2HB=(4a)22a=16a22a=8a

Vậy HC=8a.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Tính tanABC.

  • A 2
  • B 1
  • C 3
  • D 33

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính tan của 1 góc.

Lời giải chi tiết:

Tính tanABC.

Xét ΔABH vuông tại H ta có: tanABC=AHHB=4a2a=2.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

 Để lợp một mái nhà bằng tôn, thợ sắt hàn khung sắt hình tam giác ABC  (xem hình vẽ), biết một kích thước của khung sắt là BC=5m, chiều cao khung sắt là AH=2m và độ dốc mái tôn phía sau là ACB=300. Tìm độ dài AB của khung sắt phía trước.

(Kết quả cuối cùng làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

  • A AB=3,42m
  • B AB=3,64m
  • C AB=2,85m
  • D AB=2,52m

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tan 1 góc để tính cạnh AH  và định lý Pytago trong ΔABHvuông tại H  để tính cạnh AB.

Lời giải chi tiết:

Xét ΔAHCvuông tại H ta có:     tanC=AHCHtan300=2CHCH=2tan300=23(m)BH=BCCH=523(m)

Xét ΔABH vuông tại H,  theo định lý Pytago ta có:

AB2=AH2+BH2=22+(523)2=41203AB=412032,52(m)

Vậy AB=2,52m.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho tam giác ABC  có AH  là đường cao, biết  BH=9cm,HC=16cmtanACB=34.

a) Tính độ dài các cạnh AH,AC.

b) Vẽ đường tròn tâm B  bán kính BA.  Chứng minh rằng AC  là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA).

c) Tia AH  cắt đường tròn (B;BA) tại  D(DA). Vẽ tiếp tuyến Dx  của (B;BA) (với D  là tiếp điểm). Chứng minh rằng Dx  đi qua điểm C.

d) Cạnh BC  cắt đường tròn (B;BA) tại  E.

   Chứng minh: AE  là tia phân giác của góc HAC và  EH.tanABC=EC.sinABC.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thưc tính tan 1 góc và định lý Pytago trong tam giác vuông.

b) Chứng minh ΔABC  vuông tại A  qua định lý Pytago đảo, suy ra BACA.

c) Chứng minh ΔABC=ΔDBC để suy ra DC  là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA),DCDx.

d) Chứng minh EAC=HAEdo cùng phụ với BEA

+) Biến đổi tương đương biểu thức cần chứng minh về 1 kết quả luôn đúng.

Lời giải chi tiết:

a) Tính độ dài các cạnh AH,AC.

 Trong ΔAHCvuông tại H  có:

tanACB=AHHC=34AH=HC.34=16.34=12(cm).

AC2=AH2+HC2=122+162=400AC=400=20(cm).

Vậy AH=12cm;AC=20cm.

b) Vẽ đường tròn tâm B  bán kính BA.  Chứng minh rằng AC  là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA).

Trong ΔABHvuông tại H có: AB=AH2+BH2=122+92=225=15(cm).

Nhận thấy: AB2+AC2=152+202=625=252=BC2

ΔABCvuông tại  ABACA.

AC là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA) (định nghĩa).

Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (B;BA).

c) Tia AH  cắt đường tròn (B;BA) tại  D(DA). Vẽ tiếp tuyến Dx  của (B;BA) (với D  là tiếp điểm). Chứng minh rằng Dx  đi qua điểm C.

+) Xét ΔABDcó: BA=BD; BHAD

BH là đường cao đồng thời là đường phân giác của ΔABDcân tại B (tính chất).

ABC=DBC

+) Xét ΔABCΔDBCcó:

BCchungABC=DBC(cmt)BA=BD(gt)ΔABC=ΔDBC(cgc).

BAC=BDC=900 (hai góc tương ứng).

BDDC

DClà tiếp tuyến của đường tròn (B;BA).

DCDx hay Dx  đi qua điểm C  (đpcm).

d) Cạnh BC  cắt đường tròn (B;BA) tại  E.

   Chứng minh: AE  là tia phân giác của góc HAC và  EH.tanABC=EC.sinABC.

+) Ta có BAE=BEA (do ΔABE cân tại B)

Lại có: BAE+EAC=BAC=900

BEA+EAC=900(1)

Mặt khác: BEA+HAE=1800AHE=900(2)

Từ (1) và (2) EAC=HAEAE là tia phân giác của HAC (đpcm)

+) Nếu: EH.tanABC=EC.sinABC

Thì EH.ACAB=EC.ACBCEH.2015=EC.2025EH3=EC5(1)

Ta có: AE  là tia phân giác của HAC

EHEC=AHAC=1220=35  (tính chất đường phân giác)

EH3=EC5(1) luôn đúng.

Vậy EH.tanABC=EC.sinABC.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

1) Cho tam giác ABC  vuông tại AAB=3cm;AC=4cm. Kẻ đường cao AH(HBC). Tính BH,CH.

2) Cho tam giác ABC  có AB=3,6cm;AC=4,8cm;BC=6cm. Tính các góc B,C  (viết kết quả dạng độ, phút, giây) và đường cao AH  của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

1) Áp dụng hệ thức lượng tròn tam giác vuông.

2) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A qua định lý Pytago đảo; tính các góc B,C qua sin của chúng; tính AH qua hệ thức lượng trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

1) Cho tam giác ABC  vuông tại AAB=3cm;AC=4cm. Kẻ đường cao AH(HBC). Tính BH,CH.

+) Tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago ta có:

BC2=AB2+AC2=32+42=25BC=25=5(cm)

+) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB2=BH.BCBH=AB2BC=325=95=1,8(cm)

CH=BCBH=51,8=3,2(cm)

Vậy BH=1,8cm;CH=3,2cm

2) Cho tam giác ABC  có AB=3,6cm;AC=4,8cm;BC=6cm. Tính các góc B,C  (viết kết quả dạng độ, phút, giây) và đường cao AH  của tam giác ABC.  

+)Ta thấy AB2+AC2=3,62+4,82=36=62=BC2

ΔABCvuông tại A (theo định lý Pytago đảo)

+) sinˆB=ACBC=4,86=45ˆB=530748,37

+) sinˆC=ABBC=3,66=35ˆC=3605211,63

+) Theo hệ thức lượng ta có: AH.BC=AB.ACAH=AB.ACBC=3,6.4,86=2,88(cm)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Tam giác ABCCB=90, AH là đường cao của tam giác. Chứng minh rằng AH2=BH.CH

Phương pháp giải:

- Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác.

- Sử dụng tam giác đồng dạng và suy ra các cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ACBB=90ACB>900ACB là góc tù.

B=ACB900.

Mặt khác: ACB=HAC+AHC=HAC+900 (góc ngoài của tam giác).

HAC=ACB900.

Do đó: HAC=B.

Xét ΔAHCΔBHA có:

H chung;

HAC=B(cmt);

ΔAHCđồng dạng vớiΔBHA (g.g).

AHBH=CHAHAH2=BH.CH.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho tam giác ABC vuông tại A,B=350AB=6cm

Câu 1:

Giải tam giác vuông ABC.

  • A AC=8,57cm;BC=10,46cm;C=550
  • B AC=4,9cm;BC=7,75cm;C=550
  • C AC=4,2cm;BC=7,32cm;C=550
  • D AC=3,44cm;BC=6,92cm;C=550

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết:

Xét ΔABC vuông tại A  ta có:

AC=AB.tanB=6.tan3504,2

AB=BC.cosB6=BC.cos350BC7,32

ΔABC vuông tại A  ta có:

B+C=900350+C=900C=550

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Vẽ đường cao AH và trung tuyến AM của tam giác ABC. Tính diện tích ΔAHM

  • A SΔAHM=2,17(dvdt)
  • B SΔAHM=3,24(dvdt)
  • C SΔAHM=2,86(dvdt)
  • D SΔAHM=3,35(dvdt)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng tính chất hai góc phụ nhau.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết:

AMlà trung tuyến của tam giác ABCMlà trung điểm BCBM=MC=BC23,66

Áp dụng hệ thức lượng cho ΔABC vuông tại A, có đường cao AH ta có:

AH.BC=AB.ACAH.7,32=6.4,2AH3,44

AB2=BH.CB62=BH.7,32BH4,92

Ta có: BM+MH=BHMH=4,923,661,26

SΔAHM=12AH.MH12.3,44.1,262,17(dvdt)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=15cm;AC=20cm.

Câu 1:

Giải tam giác ABC

  • A BC=25;B=36052;C=5308
  • B BC=25;B=5308;C=36052
  • C BC=25;B=41025;C=48035
  • D BC=25;B=48035;C=41025

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pi-ta-go, tỉ số lượng giác trong  tam giác vuông.

Sử dụng tính chất tia phân giác.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABC vuông tại A có:

AB2+AC2=BC2 BC2=152+202=625BC=25

Xét ΔABC vuông tại A  ta có:

sinB=ACBC=2025B5308

ΔABC vuông tại A  ta có:

B+C=9005308+C=900C36052

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu 2:

Phân giác của góc A cắt BC tại E. Tính BE;CE.

  • A BE=1257;CE=1007
  • B BE=1257;CE=757
  • C BE=757;CE=1007
  • D BE=1007;CE=1257

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pi-ta-go, tỉ số lượng giác trong  tam giác vuông.

Sử dụng tính chất tia phân giác.

Lời giải chi tiết:

AE là tia phân giác góc A nên ta có:

BEAB=ECAC=BE+ECAB+AC=BCAB+AC=2515+20=57

{BE=57AB=57.15=757EC=57AC=57.20=1007.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

Một chiếc hộp hình hộp chữ nhật ABCD.ABCDAB=12cm,BC=8cm,BB=5cm, điểm E  thuộc cạnh ABEB=4cm . Chiếc hộp được đặt trên sàn. Một con kiến bò trên mặt chiếc hộp từ E đến C. Tính độ dài đoạn đường đi ngắn nhất của con kiến.

  • A 11cm
  • B 10cm
  • C 13,6cm
  • D 13cm

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phân tích bài toán:

Đây là một bài hình không gian, mang tính phân loại học sinh. Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy tốt, biết chuyển đổi từ một hình không gian về một hình học phẳng. Có một số em hiểu sai đề bài và cho rằng con kiến sẽ đi theo các “mép” cạnh để tới điểm C’ nên cộng tổng độ dài các cạnh lại. Thực tế con kiến đi trên bề mặt của chiếc hộp chứ không phải bò trên các “mép” cạnh. Để dễ hiểu hơn các em cứ tượng tưởng mình có một chiếc hộp như trên. Sau đó, mình tháo ra và duỗi phẳng chiếc hộp để ra điểm C’’( thực ra là điểm C’, ghi như vậy để phân biệt) hoặc tháo hai bên “hông” của hộp để ra điểm C’. Rồi ta áp dụng định lý pitago để tính.

Lời giải chi tiết:

Điểm C’’ cũng chính là điểm C’ Con kiến có hai cách bò từ E đên C’

 Cách 1: Vượt qua cạnh BB’

Đoạn đường đi ngắn nhất trong trường hợp này là

 EC=(EB+BC)2+CC2=(4+8)2+52=13cm

 Cách 2: Vượt qua cạnh A’B’

Đoạn đường đi ngắn nhất trong trường hợp này là

 EC=(BB+BC)2+EB2=(5+8)2+42=185cm

So sánh hai cách bò trên, đoạn đường đi ngắn nhất của con kiến là 13cm

(Không xét con đường mà con kiến bò vượt qua cạnh AA’, vì con đường này rõ ràng dài hơn các con đường trên).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với A qua điểm B. Trên tia đối của HA lấy điểm E sao cho HE=2HA. Gọi I là hình chiếu của D trên HE.

a) Tính độ dài AB,AC,HC biết AH=4cm,BH=3cm.

b) Tính tanIED,tanHCE.

c) Chứng minh IED=HCE.

d) Chứng minh DEEC.  

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lý Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh.

b) Tính tỉ số lượng giác các góc nhọn trong tam giác vuông.

c) Chứng minh tanIED=tanHCEIED=HCE.

d) Chứng minh DEC=900.

Lời giải chi tiết:

a) Tính độ dài AB,AC,HC biết AH=4cm,BH=3cm. 

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABH vuông tại H ta có:

AB=AH2+BH2=42+33=5cm.

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

1AH2=1AB2+1AC21AC2=1AH21AB21AC2=142152=9400AC=203cm.AH2=BH.HCHC=AH2BH=423=163cm.

Vậy AB=5cm,AC=203cm,HC=163cm.

b) Tính tanIED,tanHCE.

Ta có: {AEBCDIAEBC//DIhayBH//DI.

Xét ΔAID ta có: B là trung điểm của ADBH//DI(cmt)

H là trung điểm của AI.  (định lý đảo đường trung bình của tam giác)

BH=12DIDI=2BH=2.3=6cm.

AH=AI=IE=13AE=5cm.

Xét ΔDIE ta có: tanDEI=DIIE=64=32.

Xét ΔHCE ta có: tanHCE=HEHC=2AHHC=2.4163=32.

Vậy tanDEI=32;tanHCE=32.

c) Chứng minh IED=HCE.

Ta có: tanIED=tanHCE=32IED=HCE(dpcm).

d) Chứng minh DEEC.  

Xét ΔHEC ta có: HEC+HCE=900

DEI=HCE(cmt)

DEC=CEI+HCE=900HayDEEC(dpcm).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Cho cosABC=35BC=10cm.  

a) Tính độ dài các cạnh AC,HC và tính giá trị biểu thức: M=2cosB3sinB1+tanB.

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH tại D. Tính diện tích tứ giác ABDC.  

Phương pháp giải:

a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

b) Chứng minh tứ giác ABDC là hình thang vuông sau đó sử dụng công thức tính diện tích hình thang.

Lời giải chi tiết:

a) Tính độ dài các cạnh AC,HC và tính giá trị biểu thức: M=2cosB3sinB1+tanB.

Xét ΔABC ta có: cosABC=35=ABBCAB=35.10=6cm.

AC=BC2AB2=10262=8cm.

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tạiA có đường cao AH ta có:

AC2=HC.BCHC=AC2BC=8210=6,4cm.

Xét ΔABC ta có:

sinB=ACBC=810=45;tanB=ACAB=86=43M=2cosB3sinB1+tanB=2.353.451+43=1835.

b) Từ C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH tại D. Tính diện tích tứ giác ABDC.  

Ta có:{ABAC(gt)CDAC(gt)AB//CDABDC là hình thang vuông tại A,C.

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔACD vuông tại C có đường cao CH là:

1CD2=1CH21CA2=16,42182=91024CD2=10249CD=323cm.

Ta có diện tích hình thang ABDC là: S=(AB+CD).AC2=(6+323).82=2003cm2.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Bạn An đang học vẽ hình bằng phần mềm máy tính. An vẽ hình một ngôi nhà với phần mái có dạng hình tam giác cân (hình vẽ bên). Biết góc tạo bởi phần mái và mặt phẳng nằm ngang là 300, chiều dài mỗi bên dốc mái là 3,5m.  Tính gần đúng bề rộng của mái nhà.

  • A 6,52m.
  • B 6,06m.
  • C 5,86m.
  • D 5,38m.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tính cạnh trong tam giác vuông khi biết 1 góc và cạnh huyền.

Lời giải chi tiết:

Ta vẽ lại mô hình mái nhà như hình vẽ bên.

Theo đề bài cho ta có: ΔABC cân tại A

AB=AC=3,5mB=C=300

Thì khi đó bề rộng mái nhà chính là độ dài cạnh BC.

Gọi M  là trung điểm của BC.

AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của ΔABC (tính chất).

Xét ΔABM vuông tại M ta có:

 cosB=BMABcos300=BM3,5BM=cos300.3,5=32.3,5=734(m).

BC=2BM732(m)6,06m.

Vậy bề rộng mái nhà là 6,06m.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho tam giác ABC có diện tích là 900cm2. Điểm D ở giữa BC sao cho BC=5DC, điểm E  ở giữa AC  sao cho AC=4AE, hai điểm F,G ở giữa BE  sao cho BE=6GF=6GE. Tính diện tích tam giác DGF. 

  • A 80cm2
  • B 90cm2
  • C 100cm2
  • D 120cm2

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số diện tích giữa hai tam giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có: {SΔDFG=12d(D;FG).FGSΔDEB=12d(D;FG).BESΔDFGSΔDEB=FGBE=16 SΔDFG=16SΔDEB.

{SΔDEB=12d(D;BE).BESΔBEC=12d(C;BE).BESΔDEBSΔBEC=d(D;BE)d(C;BE)=BDBC=45SΔDEB=45SΔBEC.

{SΔBEC=12d(B;EC).ECSΔABC=12d(B;AC).AC SΔBECSΔABC=ECAC=34SΔBEC=34SΔABC.

 SΔDFG=16.45.34.SΔABC=110.900=90cm2.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HDAB tại D, HEAC tại E.

Chứng minh: BD=BCcos3B.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABH vuông tại H có đường cao DH ta có:  BD.BA=BH2(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH ta có:   BH.BC=BA2BH=BA2BC(2)

Từ (1)(2)BD.BA=BA4BC2BD=BA3BC2

Xét ΔABC vuông tại A  ta có: BA=BCcosB

BD=BA3BC2=BC3cos3BBC2=BCcos3B(dpcm).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.  Chứng minh rằng: BH=BCcos2B

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

BH.BC=BA2BH=BA2BC(1)

Xét ΔABC vuông tại A  ta có:

BA=BCcosB (2)

Từ (1)(2)BH=BC2.cos2BBC=BC.cos2B

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.