Lời giải chi tiết:

Chọn C

Lời giải chi tiết:

Ta có  không vuông góc với . Vì  1.3+3.1=6#0

Chọn  C.

Phương pháp giải:

- Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \) để kiểm tra 2 vector có vuông góc hay không?

- Hai vector \(\overrightarrow a \left( {{x_1},{y_1}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{x_2},{y_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x_1} = {x_2} \hfill \cr   {y_1} = {y_2} \hfill \cr}  \right..\)

- Hai vector \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được gọi là cùng phương khi và chỉ khi tồn tại hằng số \(k \ne 0\( sao cho \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow b .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 6} \right);\overrightarrow {CD}  = \left( { - 1;{1 \over 2}} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 6} \right).{1 \over 2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {CD} .\)

Dễ thấy \({{ - 3} \over { - 1}} \ne {{ - 6} \over {{1 \over 2}}} \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} \) không cùng phương nên A sai.

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}}  = 3\sqrt 5 ,\left| {\overrightarrow {CD} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2}}  = {{\sqrt 5 } \over 2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \ne \left| {\overrightarrow {CD} } \right|.\) Suy ra B sai.

Và dễ thấy D đương nhiên sai.

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Thiết lập tọa độ các vector\(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A}} \right),\,\overrightarrow {AC}  = \left( {{x_C} - {x_A},{y_C} - {y_A}} \right).\)

- Vận dụng công thức tính tích vô hướng hai vector: \(\overrightarrow u \left( {{x_1},{y_1}} \right),\overrightarrow v \left( {{x_2};{y_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}.\)

- Hai vector vuông góc có tích vô hướng bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2 - 1; - 1 - 0} \right) = \left( { - 3; - 1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {0 - 1;3 - 0} \right) = \left( { - 1;3} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).3 = 0\)

\( \Rightarrow AB \bot AC\) Tam giác ABC vuông tại A.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức\(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = {{\overrightarrow a .\overrightarrow b } \over {\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

\(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = {{\overrightarrow a .\overrightarrow b } \over {\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = {{4.1 + 3.7} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {7^2}} }} = {{25} \over {\sqrt {25} .\sqrt {50} }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích vô hướng của 2 vectơ.

Lời giải chi tiết:

Tích vô hướng của 2 vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) được xác định bởi công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a \left( {{x_1};{y_1}} \right),\overrightarrow b \left( {{x_2},{y_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}.\)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 7.3 + \left( { - 2} \right)\left( { - 4} \right) = 29.\) 

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Vì \(AB \bot AC\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA}  = 0\).

Chọn: A

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\)

Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được tính như sau: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \left( {6;6} \right)\)

Suy ra \(P = \overrightarrow a .\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = 1.6 + 2.6 = 18\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) nên \(c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3.2}} =  - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^0}\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

+) Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) 

+) \(\overrightarrow a \) vuông góc với \(\overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v  \Rightarrow \left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow a ^2} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \overrightarrow b  - 3{\overrightarrow b ^2} = 0 \Leftrightarrow  - \frac{{13}}{5} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 1\)

\( \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 1}}{{1.1}} =  - 1 \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {180^0}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_1}^2 + {a_2}^2} .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 2} \right)}\\{\overrightarrow {BC}  = \left( {2;2} \right)}\\{\overrightarrow {CA}  = \left( { - 4;0} \right)}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 }\\{BC = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 }\\{CA = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}}  = 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy chu vi \(P\) của tam giác \(ABC\) là \(P = AB + BC + CA = 4 + 4\sqrt 2 .\) 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {{x_1},{y_1}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{x_2},{y_2}} \right)\). Khi đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow a  = \left( {1;2} \right),\,\overrightarrow b  = \left( { - 1;3} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.\left( { - 1} \right) + 2.3 = 5\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Dùng công thức tích vô hướng của hai vectơ: \(\overrightarrow {a\,} \left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right),\,\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};\,\,{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow b  - \overrightarrow c  = \left( {3 + 1; - 5 + 3} \right) = \left( {4; - 2} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow a \left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow c } \right) = \left( {2; - 1} \right)\left( {4; - 2} \right) = 2.4 + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 10.\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Định lý về tổng ba góc trong một tam giác.

Lời giải chi tiết:

Tam giác ABC vuông tại A và có \(\widehat {ABC} = 40^\circ  \Rightarrow \widehat {ACB} = 50^\circ  \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 50^\circ .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right).\) Khi đó:  \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0.\)  

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết ta suy ra \(\overrightarrow u  = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),\overrightarrow v  = \left( {k; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  \bot \overrightarrow v  \Leftrightarrow \frac{1}{2}k + \left( { - 5} \right)\left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}k =  - 20 \Leftrightarrow k =  - 40\)

Chọn  C.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;\,\,11} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 7;\,\,3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1} \right)\left( { - 7} \right) + 11.3 = 40\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {45^o},AC = a\sqrt 2 \) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.c{\rm{os4}}{{\rm{5}}^o} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}.\)

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của 2 vecto  \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right).\)

Lời giải chi tiết:

Đưa về 2 vector chung gốc để tìm góc giữa hai vector ta có 

\(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB} } \right) = \widehat {ECB} = {180^0} - \widehat {ACB} = {180^0} - {45^0} = {135^0}.\)

\(\Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.cos{135^0} = a\sqrt 2 .a.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) =  - {a^2}.\)

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Chọn D

Phương pháp giải:

Vận dụng công thức định nghĩa tính tích vô hướng hai vector.

Hai vector \(\overrightarrow u .\overrightarrow v  = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right).\)

Hai vector vuông góc thì tích vô hướng của chúng bằng 0.

Lời giải chi tiết:

Vì \(AB \bot AD\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0 \Rightarrow \) C và D sai.

AC là đường chéo của hình vuông nên \(AC = a\sqrt 2 ,\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2 .{1 \over {\sqrt 2 }} = {a^2}\). Suy ra đáp án A sai

Vậy đáp án B đúng.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Công thức tính cosin của góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2.3 - 2\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {4 + 12} .\sqrt {9 + 3} }} = \frac{{ - 12}}{{8\sqrt 3 }} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {150^0}.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) vả \(\overrightarrow b \) lạ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có: \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} = \frac{{{5^2} + {8^2} - {7^2}}}{{2.5.8}} = \frac{1}{2}.\)

Mà

\(\begin{array}{l}\left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \cos \widehat {BAC} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{AB.AC}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right| = 5.8.\frac{1}{2} = 20.\end{array}\)

Chọn D

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right)\\ = 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \\ = 0\end{array}\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

+) Ta có: AB = 2 \( \Rightarrow AM = \frac{{2.\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 .\)

\(OA = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.AM = \frac{2}{3}.\sqrt 3  = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\)

+) \(\overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right) = 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OM}  =  - O{A^2} = \frac{{ - 4}}{3}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Do \(AB \bot AC \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0\)

Tam giác ABC vuông tại A, góc B là \(60^\circ \) và \(AB = a\)

\( \Rightarrow AC = AB\tan 60^\circ  = a\sqrt 3 ,\,\,BC = \frac{{AB}}{{\cos 60^\circ }} = \frac{a}{{\frac{1}{2}}} = 2a\)

Ta có:

\(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = CA.CB.\cos \left( {\overrightarrow {CA} ;\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 3 .2a.\cos 30^\circ  = a\sqrt 3 .2a.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3{a^2}\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = AB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC} } \right) = a.2a.\cos 120^\circ  = 2{a^2}.\frac{{ - 1}}{2} =  - {a^2}\)

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  =  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  =  - 3{a^2} \ne  - 3\sqrt 2 a\).

Chọn: D

Phương pháp giải:

Công thức xác định góc giữa hai vectơ: \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\).

Chú ý:  \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 2} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - \frac{9}{2}} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  =  - 3.3 + \left( { - 2} \right).\left( { - \frac{9}{2}} \right) = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = 90^\circ \).

Chọn: B

Phương pháp giải:

Xác định \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right);\,\,\left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right).\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) = \widehat {CBx} + \widehat {BCy}\\ = {180^0} - \widehat {ABC} + {180^0} - \widehat {ACB} = {360^0} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ACB}} \right)\\ = {360^0} - \left( {{{180}^0} - {{60}^0}} \right) = {240^0}\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất và các công thức trong phép tính vectơ:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} \\
AB//CD \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {DC} } \right) = {0^0}\\
\left( {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {CD} } \right) = {180^0}
\end{array} \right..\\
\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0.
\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right).\overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC} } \right).\overrightarrow {AB} \\ = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB}  + {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} \\ = 0 + {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} + 0 + \left| {\overrightarrow {DC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {AB} } \right)\\ = {\left( {3a} \right)^2} + 2a.3a.\cos {0^o} = 9{a^2} + 6{a^2} = 15{a^2}.\end{array}\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính độ dài của lực tổng hợp: \(F = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}\cos \alpha } \).

Lời giải chi tiết:

Do vật đứng yên \( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \overrightarrow {{F_3}}  =  - \left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right|\).

Ta có \({\left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|.\cos \widehat {AMB} = {30^2} + {30^2} + {2.30^2}.\cos {60^0} = 2700\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right| = 30\sqrt 3 N \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 30\sqrt 3 N\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  =  - {\overrightarrow {IA} ^2} =  - I{A^2}\)

Lại có: \(\overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID}  =  - IB.ID.c{\rm{os}}\angle BID =  - IB.ID.\frac{{IA}}{{IB}} =  - IA.ID =  - I{A^2}\)

Vậy \(\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID}  = \overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  + \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {ID}  =  - 2I{A^2} =  - 2.\left( {\frac{{3{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{ - 9{a^2}}}{2}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí cosin để đưa ra công thức tính cosin góc \(\angle BAC.\)

Sau đó, biến đổi đẳng thức \(b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\)để xét mối liên hệ giữa các đại lượng \(a,b,c\) dựa vào các định lí trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

Theo định lí hàm cosin, ta có: \(\cos \angle BAC = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2.AB.AC}} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

Mà

\(\begin{array}{l}b\left( {{b^2} - {a^2}} \right) = c\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {b^3} - {a^2}b = {a^2}c - {c^3}\\ \Leftrightarrow  - {a^2}\left( {b + c} \right) + \left( {{b^3} + {c^3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2} - bc} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} - bc = 0\left( {do{\rm{ }}b > 0,c > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = bc\end{array}\)

Khi đó, \(\cos \angle BAC = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle BAC = {60^o}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

+) \(\overrightarrow a \) vuông góc với \(\overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

+) Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

\( \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

 +) Vì \(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right)\) vuông góc với \(\left( {5\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right)\) nên:

\(\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right).\left( {5\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right) = 0 \Leftrightarrow 5{\overrightarrow a ^2} - 8{\overrightarrow b ^2} + 6\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{{ - 5{{\overrightarrow a }^2} + 8{{\overrightarrow b }^2}}}{6}\)

Ta có: \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = \frac{{3{{\overrightarrow a }^2}}}{6}\)

Vậy \({\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\frac{{3{{\overrightarrow a }^2}}}{6}}}{{{{\overrightarrow a }^2}}} = \frac{1}{2}.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm và trung tuyến vào từng tích vô hướng ở đề bài rồi lấy tổng tìm được ra kết quả.

Lời giải chi tiết:

Sử dụng các quy tắc ba điểm và trung tuyến, ta có:

\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right)\)

Tương tự ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA}  = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - B{C^2}} \right)\\\overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {B{C^2} - A{C^2}} \right)\end{array} \right.\) 

Vậy \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CF} .\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {A{B^2} - B{C^2}} \right) + \frac{1}{2}\left( {B{C^2} - A{C^2}} \right) = 0.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Cho đoạn thẳng \(AB\); tập hợp các điểm \(M\)  thỏa mãn:

+) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = 0\)  là đường thẳng đi qua \(A\)  và vuông góc với \(AB.\)

+) \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\)  là đường tròn đường kính \(AB.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = A{M^2} \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  - {\overrightarrow {AM} ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM} } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {MB}  = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\)

Vậy tập hợp điểm \(M\)  là đường tròn đường kính \(AB.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0.\)  

+) Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết:

 +) Ta có: \(M \in Ox \Rightarrow M\left( {m;\,\,0} \right)\) và  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AM}  = \left( {m - 2; - 2} \right)}\\{\overrightarrow {BM}  = \left( {m - 5;\,\,2} \right)}\end{array}} \right.\)

Vì  \(\angle AMB = {90^0} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) + \left( { - 2} \right).2 = 0\) 

\( \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 6}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{M\left( {1;0} \right)}\\{M\left( {6;0} \right)}\end{array}} \right.} \right..\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Tích vô hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right).\) Khi đó:  \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0.\)  

Lời giải chi tiết:

Ta có \(C \in Oy\) nên \(C\left( {0;c} \right)\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 1} \right)}\\{\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;\,\,c - 2} \right)}\end{array}} \right.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( {c - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow c - 2 = 4 \Leftrightarrow c = 6\) 

\( \Rightarrow C\left( {0;6} \right)\)

Chọn A.