40 bài tập trắc nghiệm một số phương trình lượng giác thường gặp mức độ vận dụng, vận dụng cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Giải phương trình \(2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x\).

  • A \(x = - \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{9}\).
  • B \(x = \pm \dfrac{\pi }{{18}} + {{k2\pi }}\), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • C \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • D \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{18}\), \(x = - \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Nhóm \(2{\sin ^2}2x - 1\), \(\sin 7x - \sin x\).

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \), công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\sin ^2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {2{{\sin }^2}2x - 1} \right) + \sin 7x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow  - \cos 4x + 2\cos 4x\sin 3x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\sin 3x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 4x = 0\\\sin 3x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\3x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{18}} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Giải phương trình \(1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\).

  • A \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{7}} + k\pi \).
  • B \(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \).
  • C \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \).
  • D \(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Nhóm \(1 - \cos 2x\), \(\sin x - \sin 2x\), \(\cos 3x - \cos x\).

- Sử dụng công thức nhân đôi: \(1 - \cos 2x = 2{\sin ^2}x\), công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,1 + \sin x + \cos 3x = \cos x + \sin 2x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos 2x} \right) + \left( {\sin x - \sin 2x} \right) + \left( {\cos 3x - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x + \left( {\sin x - \sin 2x} \right) - 2\sin 2x\sin x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\left( {\sin 2x - \sin x} \right) - \left( {\sin 2x - \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - \sin x} \right)\left( {2\sin 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = \sin x\\\sin 2x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi  - x + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \), \(x = \dfrac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \).


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Giải phương trình \(\cos 10x - \cos 8x - \cos 6x + 1 = 0\).

  • A \(x = \dfrac{{\pi }}{3} + k\pi\).
  • B \(x = \dfrac{{\pi }}{3} + 2k\pi \), \(x = \dfrac{{k\pi }}{7}\).
  • C \(x = \dfrac{{3k\pi }}{4}\)
  • D \(x = \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{{k\pi }}{3}\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi \(\cos 2\alpha  = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \).

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Tiếp tục sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Kết hợp nghiệm.

Lời giải chi tiết:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 10x - \cos 8x - \cos 6x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 10x - \cos 6x} \right) + \left( {1 - \cos 8x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - 2\sin 8x\sin 2x + 2{\sin ^2}4x = 0\\ \Leftrightarrow  - 4\sin 4x\cos 4x\sin 2x + 2{\sin ^2}4x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 4x\left( { - 2\cos 4x\sin 2x + \sin 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 4x\left( { - 2\cos 4x\sin 2x + 2\sin 2x\cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\sin 4x.\sin 2x\left( { - \cos 4x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8{\sin ^2}2x\cos 2x\left( { - \cos 4x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = 0\\\cos 4x = \cos 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\4x = 2x + k2\pi \\4x =  - 2x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = k\pi \\x = \dfrac{{k\pi }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{{k\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{{k\pi }}{4}\), \(x = \dfrac{{k\pi }}{3}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Giải phương trình \(\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\).

  • A \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • B \(x =\pm \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • C \(x =  \dfrac{\pi }{2} + k\pi\), \(x = - \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • D \(x = 2k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a - \sin b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\sin \dfrac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi \(\sin 2x = 2\sin x\cos x\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Sử dụng biến đổi: \(\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin 3x - \sin x + \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\sin x + 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x\left( {\cos 2x + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos 2x =  - \cos x = \cos \left( {\pi  - x} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\2x = \pi  - x + k2\pi \\2x = x - \pi  + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \pi  + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Giải phương trình \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \sin 5x + \sin 6x = 0\).

  • A \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \).
  • B \(x = \dfrac{{k2\pi }}{7}\), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \).
  • C \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x =  + \dfrac{{\pi }}{7} + k2\pi \).
  • D \(x = \dfrac{{k2\pi }}{7}+ k\pi \), \(x = \dfrac{2\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Tiếp tục sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \sin 5x + \sin 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 6x} \right) + \left( {\sin 2x + \sin 5x} \right) + \left( {\sin 3x + \sin 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{{5x}}{2} + 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} + 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\left( {\cos \dfrac{{5x}}{2} + \cos \dfrac{{3x}}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\left[ {2\cos \dfrac{{3x}}{2}\cos x + \cos \dfrac{{3x}}{2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}.\cos \dfrac{{3x}}{2}\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \dfrac{{7x}}{2} = 0\\\cos \dfrac{{3x}}{2}\\\cos x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{7x}}{2} = k\pi \\\dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{7}\\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{{k2\pi }}{7}\), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Giải phương trình \(\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\).

  • A \(x = \dfrac{\pi }{3} + k\pi \), \(x = k\pi \), \(x = \dfrac{{k\pi }}{5}\).
  • B \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\).
  • C \(x = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \),  \(x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • D \(x = \pm \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos x + \cos 2x + \cos 3x + \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \left( {\cos 2x + \cos 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\cos x + 2\cos 3x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 2x - \cos 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos 2x = \cos 3x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = 2x + k2\pi \\3x =  - 2x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = k2\pi \\x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = k2\pi \), \(x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Giải phương trình \(1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\).

  • A \(x =\pm \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
  • B \(x = \dfrac{\pi }{2} + 2k\pi \), \(x = \pm \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • C \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).
  • D \(x = - \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\) và công thức nhân đôi: \(1 + \cos 2x = 2{\cos ^2}x\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Sử dụng biến đổi: \(\cos x = \cos \left( {\pi  - x} \right)\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right) + \left( {\cos x + \cos 3x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + 2\cos 2x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x + \cos 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\cos 2x =  - \cos x = \cos \left( {\pi  - x} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\2x = \pi  - x + k2\pi \\2x = x - \pi  + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\3x = \pi  + k2\pi \\x =  - \pi  + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \pi  + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Giải phương trình \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\).

  • A \(x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).
  • B \(x =  \pm \dfrac{{\pi }}{3} + k\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).
  • C \(x =  + \dfrac{{4\pi }}{3} + k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \).
  • D \(x =  - \dfrac{{\pi }}{3} + k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{3}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\),

\(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\) .

- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), \(\tan x = \tan \alpha  \Leftrightarrow x = \alpha  + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

 \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin 2x + \sin 3x = \cos x + \cos 2x + \cos 3x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = \left( {\cos x + \cos 3x} \right) + \cos 2x\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 2\cos 2x\cos x + \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {\sin 2x - \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\cos x + 1 = 0\\\sin 2x - \cos 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x =  - \dfrac{1}{2}\\\sin 2x = \cos 2x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\\tan 2x = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x =  \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \), \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Giải phương trình \(\cos 11x\cos 3x = \cos 17x\cos 9x\).

  • A \(x = \dfrac{{k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).
  • B \(x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).
  • C \(x = \dfrac{{2k\pi }}{3},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).
  • D \(x = \dfrac{{-k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha  \Leftrightarrow x =  \pm \alpha  + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\cos 11x\cos 3x = \cos 17x\cos 9x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\cos 14x + \cos 8x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 26x + \cos 8x} \right)\\ \Leftrightarrow \cos 14x + \cos 8x = \cos 26x + \cos 8x\\ \Leftrightarrow \cos 14x = \cos 26x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}26x = 14x + k2\pi \\26x =  - 14x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = k2\pi \\40x = k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{6}\\x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{{k\pi }}{6},\,\,x = \dfrac{{k\pi }}{{20}}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho phương trình \(2m{\cos ^2}x + 2\sin 2x + m - 1 = 0\). Có bao nhiêu số nguyên của m để phương trình trên có đúng một nghiệm thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) ?

  • A \(3\)
  • B \(1\)
  • C \(0\)
  • D \(2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

- Xét hai trường hợp \(\cos x = 0\) và \(\cos x \ne 0\).

- Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\), đặt ẩn phụ \(t = \tan x\).

- Tìm khoảng giá trị của \(t\) ứng với \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( t \right)\).

- Lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2m{\cos ^2}x + 2\sin 2x + m - 1 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow 2m{\cos ^2}x + 4\sin x\cos x + m - 1 = 0\end{array}\)

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\).

Khi đó phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Họ nghiệm này không có nghiệm thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow m = 1\) loại.

TH2: \(\cos x \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2m + 4\tan x + \left( {m - 1} \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){\tan ^2}x + 4\tan x + 3m - 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Đặt \(\tan x = t\), với \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) thì \(t \in \left[ {0;1} \right]\), khi đó phương trình (2) trở thành:

\(\left( {m - 1} \right){t^2} + 4t + 3m - 1 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thuộc \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right]\) thì phương trình (3) có nghiệm \(t\) duy nhất thuộc \(\left[ {0;1} \right].\)

Ta có: \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow m\left( {{t^2} + 3} \right) = {t^2} - 4t + 1\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 4t + 1}}{{{t^2} + 3}}\,\,\left( * \right)\)

Đặt  \(g\left( t \right) = \dfrac{{{t^2} - 4t + 1}}{{{t^2} + 3}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 4} \right)\left( {{t^2} + 3} \right) - \left( {{t^2} - 4t + 1} \right)2t}}{{{{\left( {{t^2} + 3} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^3} + 6t - 4{t^2} - 12 - 2{t^3} + 8{t^2} - 2t}}{{{{\left( {{t^2} + 3} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} + 4t - 12}}{{{{\left( {{t^2} + 3} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \dfrac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Để phương trình (*) có nghiệm duy nhất \(t \in \left[ {0;1} \right]\) thì \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{3}} \right]\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 0\).

Vậy có duy nhất một giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Số nghiệm của phương trình \({\left( {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\) với \(x \in {\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) là:

  • A 2.
  • B 1.
  • C 3.
  • D 0.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp giải phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), sau đó đưa phương trình về dạng phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{x}{2} + \sqrt 3 \cos x = 2\\ \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right).\sin x + \cos \left( {\dfrac{\pi }{6}} \right).\cos x = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x - \dfrac{\pi }{6}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{6} = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{6} =  - \dfrac{\pi }{3} + l2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{6} + l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k,\,\,l \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Mà \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \le \pi \\0 \le  - \dfrac{\pi }{6} + l2\pi  \le \pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{1}{4}\\\dfrac{1}{{12}} \le l \le \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = 0\\l \in \emptyset \end{array} \right..\)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Giải phương trình \({\sin ^2}3x - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x - {\cos ^2}6x.\)

  • A \(S = \left\{ {k\pi ;\frac{{k2\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{k2\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {k\pi ;\frac{{k\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{k\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}3x - {\cos ^2}4x = {\sin ^2}5x - {\cos ^2}6x.\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 6x}}{2} - \frac{{1 + \cos 8x}}{2} = \frac{{1 - \cos 10x}}{2} - \frac{{1 + \cos 12x}}{2}\\ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 8x = \cos 10x + \cos 12x\\ \Leftrightarrow 2\cos 7x.\cos x = 2\cos 11x + \cos 12x\\ \Leftrightarrow 2\cos x\left( {\cos 7x - \cos 11x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos 7x = \cos 11x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\7x = 11x + k2\pi \\7x =  - 11x + k2\pi \end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{k\pi }}{9}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)                                                                                                                                                          

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{k\pi }}{2};\frac{{k\pi }}{9},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Tìm số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình \(\left| {\sin x - \cos x} \right| + 8\sin x\cos x = 1\) trên đường tròn lượng giác.

  • A \(2\)
  • B \(3\)
  • C \(1\)
  • D \(4\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sin x - \cos x\) tính \(\sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\) thay vào phương trình.

Giải phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = \sin x - \cos x\)\(\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \({t^2} = 1 - 2\sin x\cos x\)\( \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\)

Thay vào phương trình ta được \(\left| t \right| + 8.\dfrac{{1 - {t^2}}}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow 2\left| t \right| + 8 - 8{t^2} = 2\)\( \Leftrightarrow 8{t^2} - 2\left| t \right| - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| t \right| = 1\\\left| t \right| =  - \dfrac{3}{4}\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow t =  \pm 1\left( {TM} \right)\)

TH1 : \(t = 1\) thì \(\sin x - \cos x = 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\)

TH2 : \(\sin x - \cos x =  - 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\)

Vậy có bốn điểm biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Giải phương trình : \({\sin ^2}x + 2\sqrt 3 \sin x\cos x - {\cos ^2}x =  - 2\).

  • A \(x =  \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
  • B \(x =  - \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
  • C \(x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)
  • D \(x =  \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z} } \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

– Xét  thay vào phương trình và kiểm tra.

- Xét \(\cos x \ne 0\) và chia cả hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) đưa về phương trình bậc hai ẩn \(\tan x\).

- Giải phương trình và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

+) Xét \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \). Khi đó \({\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1\), thay vào phương trình ta được :

\(1 + 0 - 0 =  - 2 \Leftrightarrow 1 =  - 2\) (vô lí)

Suy ra \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}\) không phải là nghiệm.

+) Xét \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,k \in \mathbb{Z}\), chia hai vế của phương trình cho \({\cos ^2}x \ne 0\) ta được :

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \dfrac{{2\sqrt 3 \sin x\cos x}}{{{{\cos }^2}x}} - \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} =  - \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 2\sqrt 3 \tan x - 1 =  - 2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3{\tan ^2}x + 2\sqrt 3 \tan x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \tan x =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Giải phương trình lượng giác sau: \({\sin ^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\dfrac{x}{4}} \right) + \dfrac{3}{4} = 0\).

  • A \(x = \pi  + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
  • B \(x = \pi  + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).
  • C \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{R} \)
  • D \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{R} \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hạ bậc \({\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{1 - \cos 2\alpha }}{2};\) \({\cos ^2}\alpha  = \dfrac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\)

Lời giải chi tiết:

\({\sin ^2}\left( {\dfrac{x}{2}} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\dfrac{x}{4}} \right) + \dfrac{3}{4} = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos x}}{2} - 2.\dfrac{{1 + \cos \dfrac{x}{2}}}{2} + \dfrac{3}{4} = 0\) \( \Leftrightarrow 2 - 2\cos x - 4 - 4\cos \dfrac{x}{2} + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right) + 4\cos \dfrac{x}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow {\cos ^2}\dfrac{x}{2} + 4\cos \dfrac{x}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow \cos \dfrac{x}{2}\left( {\cos \dfrac{x}{2} + 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\\cos \dfrac{x}{2} + 4 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \pi  + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Giải phương trình lượng giác sau: \(\dfrac{{\sin x + \sin 2x}}{{\sin 3x}} =  - 1\).

  • A \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
  • B \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
  • C \(x =- \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)
  • D \(x = \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức cộng \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\) biến đổi phương trình về dạng tích.

- Giải phương trình và đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\sin 3x \ne 0 \Leftrightarrow 3x \ne k\pi \) \( \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{3}\)

PT\( \Rightarrow \sin x + \sin 2x =  - \sin 3x\) \( \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 3x} \right) + \sin 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\2\cos x + 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos x =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được:

Quan sát hình vẽ ta thấy phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\) (hai điểm màu xanh).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Giải phương trình \(\sin 3x + \cos 2x - \sin x = 0\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin 3x + \cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x + 1 - 2{\sin ^2}x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow  - 4{\sin ^3}x - 2{\sin ^2}x + 2\sin x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow  - 2{\sin ^2}x\left( {2\sin x + 1} \right) + \left( {2\sin x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x + 1} \right)\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\sin x + 1 = 0\\1 - 2{\sin ^2}x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{ - 1}}{2}\\\cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Giải phương trình  \(\frac{{\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x\,\,\,\left( 1 \right)\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\)
  • B \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\)
  • C \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{3} + k2\pi ;\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(\frac{{\left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{1 + \tan x}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x\,\,\,\left( 1 \right)\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne  - 1\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right).sin\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\cos x.\frac{{\cos x + \sin x}}{{\cos x}}\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right).\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos x + \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sin x + \cos 2x} \right).\left( {\sin x + \cos x} \right) = \cos x + \sin x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right).\left( {\sin x + \cos 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\sin x + \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\sin x + 1 - 2{\sin ^2}x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\sin x = 1\\\sin x = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {ktm} \right)\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{ - \pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ;\,k \in \mathbb{Z} } \right\}\,\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Giải phương trình  \(\dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{1}{{\sin x}} = 2\sqrt 2 \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right).\)

  • A \(S = \left\{ { \dfrac{{ \pi }}{4} + \dfrac{k\pi}{2}  ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
  • B \(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{1}{{\cos x}} - \dfrac{1}{{\sin x}} = 2\sqrt 2 .\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\sin x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x - \cos x}}{{\sin x.\cos x}} =  - 2\left( {\sin x - \cos x} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right) + 2.\left( {\sin x - \cos x} \right).\sin x.\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x - \cos x = 0\\1 + \sin 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 .\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\\\sin 2x =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = k\pi \\2x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ \pi }}{4} + k\pi \\x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{ \pi }}{4} + \dfrac{k\pi}{2} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { \dfrac{{ \pi }}{4} + \dfrac{k\pi}{2}  ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Giải phương trình  \(\sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - \sin 2x\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ { \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ { \pm \frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left( {\sin x - 2\cos x} \right) = 2 - 2\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin x + 2\sin x.\cos x - 2\sqrt 2 \cos x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin x\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) - 2\left( {\sqrt 2 \cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt 2 \sin x - 2} \right)\left( {1 + \sqrt 2 \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 \sin x - 2 = 0\\1 + \sqrt 2 \cos x = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \sqrt 2 \,\,\,\left( {loai} \right)\\\cos x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} = \cos \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Giải phương trình \({\rm{2sin}}x\left( {{\rm{1}} + {\rm{cos2}}x} \right) + \sin 2x = {\rm{1}} + {\rm{2}}\cos x\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\rm{2sin}}x\left( {{\rm{1}} + {\rm{cos2}}x} \right) + \sin 2x = {\rm{1}} + {\rm{2}}\cos x\\ \Leftrightarrow 2\sin x.2{\cos ^2}x + \sin 2x - 1 - 2\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos x + \sin 2x - \left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) - \left( {1 + 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - 1} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\\sin 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Giải phương trình \(\left( {\sin 2x + \cos {\rm{2}}x} \right)\cos x + 2\cos 2x - \sin x = 0\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sin 2x + \cos {\rm{2}}x} \right)\cos x + 2\cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x.\cos x + \cos 2x.\cos x + 2.\cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin x.{\cos ^2}x + \left( {\cos x + 2} \right).\cos 2x - \sin x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) + \left( {\cos x + 2} \right).\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x.\cos 2x + \left( {\cos x + 2} \right).\cos 2x = 0\\ \Leftrightarrow \cos 2x.\left( {\sin x + \cos x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\sin x + \cos x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sqrt 2 .\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2 \,\,\left( {Loai} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Giải phương trình \(3\sin x + 2\cos x = 2 + 3\tan x.\)

  • A \(S = \left\{ {k\pi ,\,\,\arctan \frac{2}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,\arctan \frac{1}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {k\pi ,\,\,\arctan \frac{1}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,\arctan \frac{2}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(3\sin x + 2\cos x = 2 + 3\tan x\,\,\,\left( 1 \right)\).

Điều kiện: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow 3\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 2\cos x + 3\sin x\\ \Leftrightarrow 3\sin x\cos x - 3\sin x + 2{\cos ^2}x - 2\cos x = 0\\ \Leftrightarrow 3\sin x\left( {\cos x - 1} \right) + 2\cos x\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {3\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3\sin x + 2\cos x = 0\\\cos x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3\tan x + 2 = 0\\\cos x = 1\end{array} \right.\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = \frac{{ - 2}}{3}\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \arctan \frac{{ - 2}}{3} + k\pi     \left( {tm} \right)\\x = k2\pi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,\arctan \frac{2}{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Giải phương trình \(2\sin 2x - \cos 2x = 7\sin x + 2\cos x - 4\) .

  • A \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2\sin 2x - \cos 2x = 7\sin x + 2\cos x - 4\\ \Leftrightarrow 4.\sin x.\cos x - 1 + 2{\sin ^2}x - 7\sin x - 2\cos x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4\sin x\cos x - 2\cos x} \right) + \left( {2{{\sin }^2}x - 7\sin x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2.\cos x.\left( {2\sin x - 1} \right) + \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right).\left( {2\cos x + \sin x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\cos x + \sin x = 3\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Xét \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\,\,\,\end{array} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+) Xét \(\left( 2 \right):\,\,\sin x + 2\cos x = 3\).

Ta có: \(\sqrt {{A^2} + {B^2}}  = \sqrt {{1^2} + {2^2}}  = \sqrt 5  < \sqrt {{3^2}}  = 3 \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy \(S = \left\{ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Giải phương trình \(3\left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\left( {2 + \sin 2x} \right).\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\,\pi  + k2\pi } \right\}\)
  • B \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\, - \pi  + k2\pi } \right\}\)
  • C \(S = \left\{ { \frac{\pi }{4} + k\pi } \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k2\pi ;\,\, - \pi  + k2\pi } \right\}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}3\left( {\tan x + \cot x} \right) = 2\left( {2 + \sin 2x} \right)\,\,\,\,\left( {x \ne \dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} + \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}}} \right) = 2\left( {2 + 2\sin x.\cos x} \right) \\ \Leftrightarrow 3.\dfrac{1}{{\sin x.\cos x}} = 4\left( {1 + \sin x.\cos x} \right)\end{array}\)

Đặt \(\sin x.cosx = t\,\,\,\,\left( {t \ne 0} \right)\), khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}3.\dfrac{1}{t} = 4\left( {1 + t} \right) \Leftrightarrow  - 4{t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x.\cos x = \dfrac{1}{2}\\\sin x.\cos x = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2}\sin 2x = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}\sin 2x = \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 1\\\sin 2x =  - 3\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Giải phương trình \(2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0.\)

  • A \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = k2\pi \)
  • B \(x =  \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = k2\pi \)
  • C \(x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = k\pi \)
  • D \(x =  \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,x = k\pi \)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right).\sin x + \left( { - 2{{\cos }^2}x + \cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right).\sin x + \left( {1 - \cos x} \right)\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left[ {2\sin x\left( {1 + \cos x} \right) + 2\cos x + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\2\sin x + 2\sin x\cos x + 2\cos x + 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 2\sin x\cos x + 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sin x + cosx} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\)
Phương trình (2) trở thành:

\(\begin{array}{l}2t + 2.\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Giải phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2\left( {\sin x + \cos x} \right) - 1.\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\pi  + k\pi } \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,\pi  + k2\pi } \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\,k\pi } \right\}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 2\left( {\sin x + \cos x} \right) - 1\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x.\cos x} \right) - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( { - 1 - \sin x.\cos x} \right) + 1 = 0\end{array}\)

Đặt \(\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sin x + cosx} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\)
Phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow t\left( { - 1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow t\left( { - {t^2} - 1} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow  - {t^3} - t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Leftrightarrow \sin x + cosx = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {k2\pi ,\,\,\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Giải phương trình \(\left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x.\)

  • A \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\) \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x.\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) - \left( {1 + \tan x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \tan x} \right).sin2x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + \tan x = 0\\\sin 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\sin 2x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi \\2x = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{4} + k\pi \,\,\left( {tm} \right)\\x = \frac{{k\pi }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Giải phương trình \(\left| {\cos x - \sin x} \right| + 6\sin x\cos x = 1.\)

  • A \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\pi  + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\pi  + k\pi ;\,\,k\pi } \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(\left| {\cos x - \sin x} \right| + 6\sin x\cos x = 1. \Leftrightarrow \left| {\sin x - \cos x} \right| + 6\sin x.\cos x = 1\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(\sin x - \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:

\({\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 - 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Phương trình trở thành: \(\left| t \right| + 6\left( {\dfrac{{1 - {t^2}}}{2}} \right) = 1 \Leftrightarrow \left| t \right| + 3 - 3{t^2} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\)

TH1: \(0 \le t \le \sqrt 2 \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 3{t^2} + t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{ - 2}}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

TH2: \( - \sqrt 2  \le t < 0\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 3{t^2} - t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \sin x - \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow sin\left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2};\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Giải phương trình \(\cos x\sin x + \left| {\cos x + \sin x} \right| = 1.\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\pi  + k\pi } \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
  • C \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,k2\pi } \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ;\,\,\,k\pi } \right\}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(\cos x\sin x + \left| {\cos x + \sin x} \right| = 1 \Leftrightarrow \cos x\sin x + \left| {\sin x + \cos x} \right| = 1\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(\left| {\sin x + \cos x} \right| = t\,\,\,\,\left( {0 \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:

\({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.cosx = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.cosx = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\)

Khi đó phương trình trở thành: \(\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} + t = 1 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\sin x + \cos x} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 1\\\sin x + \cos x =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1\\\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Giải phương trình \(4\sin x\cos x + 1 = \cos x - \sin x.\)

  • A \(S = \left\{ {k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {k\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k\pi } \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(4\sin x.\cos x + 1 = \cos x - \sin x \Leftrightarrow \sin x - \cos x + 4\sin x.\cos x + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt \(\sin x - \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\), khi đó ta có:

\({\left( {\sin x - \cos x} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow 1 - 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{2}\).

Phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow (*) \Leftrightarrow t + 4\left( {\dfrac{{1 - {t^2}}}{2}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow  - 2{t^2} + t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\t =  - 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x =  - 1 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{ - \pi }}{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {k2\pi ;\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Giải phương trình \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x + 2\cot x = 6.\)

  • A \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
  • B \(S = \left\{ {-\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
  • C \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
  • D \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\tan ^2}x + {\cot ^2}x + 2\tan x + 2cotx = 6\,\,\,\left( {x \ne \dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Rightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} + 2\left( {\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}}} \right) = 6\end{array}\)

Đặt \(\tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = t \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} + 2\tan x.\dfrac{1}{{\tan x}} = {t^2} \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \dfrac{1}{{{{\tan }^2}x}} = {t^2} - 2\)

Thế vào phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}{t^2} - 2 + 2t = 6 \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 4\end{array} \right.\\ + )\,\,t = 2 \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} = 2 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\\ + )\,\,\,t =  - 4 \Leftrightarrow \tan x + \dfrac{1}{{\tan x}} =  - 4 \Leftrightarrow {\tan ^2}x + 4\tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\mathop{\rm tanx}\nolimits}  =  - 2 + \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi \\{\mathop{\rm tanx}\nolimits}  =  - 2 - \sqrt 3  \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\dfrac{{ - \pi }}{{12}} + k\pi ;\,\,\dfrac{{ - 5\pi }}{{12}} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Giải phương trình \(\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right) - 1 = \sin x\cos x.\)

  • A \(S = \left\{ {\alpha  - \frac{\pi }{4} + k\pi ;\frac{{3\pi }}{4} - \alpha  + k\pi } \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\alpha  - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{4} - \alpha  + k2\pi } \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\alpha  - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\alpha  - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\alpha  - \frac{\pi }{4} + k\pi ;\alpha  - \frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right\}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(\sqrt 2 \left( {\sin x + cosx} \right) - 1 = \sin x.cosx\,\,\,\left( * \right)\)

Đặt ,\(\sin x + \cos x = t\,\,\,\,\left( { - \sqrt 2  \le t \le \sqrt 2 } \right)\) khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {\sin x + cosx} \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.\cos x + {\cos ^2}x = {t^2}\\ \Leftrightarrow 1 + 2\sin x.\cos x = {t^2} \Leftrightarrow \sin x.\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\end{array}\)
Phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \sqrt 2 t - 1 = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow {t^2} - 2\sqrt 2 t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1 + \sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\
t = - 1 + \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \sin x + \cos x = - 1 + \sqrt 2 \\
\Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \alpha \,\,\,\,\,\left( {Voi\,\,\sin \alpha = \frac{{ - 1 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + \frac{\pi }{4} = \alpha + k2\pi \\
x + \frac{\pi }{4} = \pi - \alpha + k2\pi
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\
x = \frac{{3\pi }}{4} - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\left( {k \in } \right)
\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

\(7\cos x = 4{\cos ^3}x + 4\sin 2x.\)

  • A \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
  • C \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)
  • D \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}7\cos x = 4{\cos ^3}x + 4\sin 2x \\ \Leftrightarrow 7\cos x - 4{\cos ^3}x - 8\sin x.\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \cos x\left( {7 - 4{{\cos }^2}x - 8\sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\7 - 4{\cos ^2}x - 8\sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\7 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 8\sin x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\sin x = \frac{3}{2}(L)\\\sin x = \frac{1}{2}(TM)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

\({\cos ^3}x + 2\sin x{\cos ^2}x - 3{\sin ^3}x = 0.\)

  • A \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
  • B \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)
  • C \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)
  • D \(x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\({\cos ^3}x + 2{\mathop{\rm sinx}\nolimits} .co{s^2}x - 3{\sin ^3}x = 0(1)\)

+Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow {\mathop{\rm sinx}\nolimits}  = 0(L)\)

+Xét \(\cos x \ne 0\)

Chia 2 vế của (1) cho \({\cos ^3}x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow 1 + 2{\mathop{\rm tanx}\nolimits}  - 3ta{n^3}x = 0\\ \Leftrightarrow {\mathop{\rm tanx}\nolimits}  = 1\\ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

\(3{\cos ^4}x - 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x + {\sin ^4}x = 0.\)

  • A \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
  • B \(\left[ \begin{array}{l}
    x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \\
    x = \frac{\pi }{4} + k\pi
    \end{array} \right.\)
  • C \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
  • D \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

\(3{\cos ^4}x - 4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x + {\sin ^4}x = 0\)

+ Xét \(\cos x = 0 \Rightarrow {\sin ^4}x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

+ Xét \(\cos x \ne 0\). Chia cả 2 vế cho \({\cos ^4}x\)

\(\begin{array}{l}3 -4 {\tan ^2}x + {\tan ^4}x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\tan ^2}x = 3\\{\tan ^2}x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Giải phương trình: \({\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{9}{8}\)

  • A \(x =  \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \)
  • B \(x =  \pm \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \)
  • C \(x = - \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \)
  • D \(x =  \pm \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k2\pi \)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{9}{8}\\ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin \,x + \cos x} \right)} \right]^4} + {\left[ { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin \,x - \cos x} \right)} \right]^4} = \dfrac{9}{8}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left( {\sin \,x + \cos x} \right)^4} + {\left( {\sin \,x - \cos x} \right)^4} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left[ {{{\left( {\sin \,x + \cos x} \right)}^2}} \right]^2} + {\left[ {{{\left( {\sin \,x - \cos x} \right)}^2}} \right]^2} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} + {\left( {1 - \sin 2x} \right)^2} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 2{\sin ^2}2x - \dfrac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 8{\sin ^2}x.{\cos ^2}x - \dfrac{5}{2} = 0\end{array}\)

Đặt \({\sin ^2}x = t\,\,\,\,\left( {\left| t \right| \le 1} \right)\)

\(\begin{array}{l}4{t^2} - 8t\left( {1 - t} \right) - \dfrac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow  - 4{t^2} + 8t - \dfrac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{4 + \sqrt 6 }}{4}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right) = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4}\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Giải phương trình \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\cos 2x + 2\sin x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)

  • A \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,\kappa  \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • B \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • C \(S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\kappa  \in \mathbb{Z}} \right\}\)
  • D \(S = \left\{ {\frac{\pi }{2} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{3} + k2\pi ,\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\kappa  \in \mathbb{Z}} \right\}\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\cos 2x + 2\sin x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2 - 4{{\sin }^2}x + 2\sin x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( { - 4{{\sin }^2}x + 2\sin x + 3} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow  - 8{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x + 6\sin x + 4{\sin ^2}x - 2\sin x - 3 = 3 - 4{\cos ^2}x\\ \Leftrightarrow  - 8{\sin ^3}x + 8{\sin ^2}x + 4\sin x - 3 = 3 - 4\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\ \Leftrightarrow  - 8{\sin ^3}x + 8{\sin ^2}x + 4\sin x - 3 = 3 - 4 + 4{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow  - 8{\sin ^3}x + 4{\sin ^2}x + 4\sin x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{ - \pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Hợp nghiệm \( \Rightarrow S = \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2};\frac{\pi }{6} + k2\pi ,\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,\kappa  \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Cho phương trình \(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\)(\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).

  • A 2
  • B 4
  • C 5
  • D 3

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, tìm nghiệm phương trình bậc 2 rồi tìm m.

Lời giải chi tiết:

Ta có\(\left( {2m + 1} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^2}2x - \left( {3m - 1} \right)\sin 2x - 3m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\).

Đặt \(t = \sin 2x \Rightarrow  - 1 \le t \le 1\left( {x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)} \right)\)

Khi đó phương trình (*) có dạng:

\(\begin{array}{l}\left( {2m + 1} \right)\left( {1 - {t^2}} \right) - \left( {3m - 1} \right)t - 3m + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m + 1} \right){t^2} + \left( {3m - 1} \right)t + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {\left( {2m + 1} \right)t + m - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\\left( {2m + 1} \right)t + m - 2 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu:\(t =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow \sin 2x =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = \dfrac{{ - \pi }}{2} + k2\pi \left( {k \in {\rm Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - \pi }}{4} + k\pi  \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{ - 3}}{4} < k < \dfrac{5}{4} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\end{array}\)

Khi đó phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt là \(\dfrac{{ - \pi }}{4};\dfrac{{3\pi }}{4}\)

+)\(\left( {2m + 1} \right)t = 2 - m\,\,\left( 1 \right)\).

Nếu \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};(1) \Rightarrow m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow m \ne \dfrac{{ - 1}}{2} \Rightarrow t = \dfrac{{2 - m}}{{2m + 1}}\)

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thì

\(\left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{2 - m}}{{2m + 1}} =  - 1\\t <  - 1\\t > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 3\\\dfrac{{m + 3}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < \dfrac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\\\dfrac{{3m - 1}}{{2m + 1}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} < m < \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow m = 0\end{array} \right.\)

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) nhỏ hơn \(2018\) để phương trình \(\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\) có nghiệm?

  • A \(2000\)
  • B \(2001\)
  • C \(2010\)
  • D \(2011\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\).

- \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).

- Cô lập \(m\), lập BBT của vế còn lại và kết luận

Lời giải chi tiết:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{3}{{{{\sin }^2}x}} + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) + 3{\tan ^2}x + \tan x + \cot x = m\\ \Leftrightarrow 3\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right) + \tan x + \cot x + 3 = m\end{array}\)

Đặt \(t = \tan x + \cot x\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right) \Rightarrow {\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} - 2\).

Phương trình trở thành: \(3\left( {{t^2} - 2} \right) + t + 3 = m \Leftrightarrow 3{t^2} + t - 3 = m\).

Yêu cầu bài toán: Tìm \(m\) để phương trình \(3{t^2} + t - 3 = m\) (*) có nghiệm thỏa mãn \(\left| t \right| \ge 2\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 3{t^2} + t - 3\) ta có BBT:

Phương trình (*) có nghiệm \( \Leftrightarrow m \ge 7\).

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên, \(m < 2018 \Rightarrow \) Có \(2011\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.