40 bài tập hai mặt phẳng vuông góc mức độ nhận biết, thông hiểu

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a tâm O, \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)?

  • A \({60^0}\)
  • B \({90^0}\)        
  • C \({120^0}\)      
  • D \({150^0}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng vuông góc thì góc giữa chúng bằng 900.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}BD \bot SO\\BD \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBD} \right)} \right)} = {90^0}\end{array}\)

Chọn B. 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

 Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và một điểm \(M\) không thuộc \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Qua \(M\) có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)?

  • A 2
  • B 3
  • C 1
  • D Vô số

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\). Do \(\left( P \right)\,\,\parallel \,\,\left( Q \right)\Rightarrow d\bot \left( Q \right)\).

Giả sử \(\left( R \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\). Mà \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( R \right) \bot \left( P \right)\\\left( R \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right.\).

Có vô số mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa \(d\). Do đó có vô số mặt phẳng qua \(M\), vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A

    Cho hai đường thẳng song song \(a\) và \(b\) và đường thẳng \(c\) sao cho \(c\bot a,\ \,c\bot b\). Mọi mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa \(c\) thì đều vuông góc với mặt phẳng \(\left( a,b \right)\).

  • B

    Cho \(a\bot \left( \alpha  \right)\), mọi mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa \(a\) thì \(\left( \beta  \right)\bot \left( \alpha  \right)\).

  • C

    Cho \(a\bot b\), mọi mặt phẳng chứa \(b\) đều vuông góc với \(a\).

  • D Cho \(a\bot b\), nếu \(a\subset \left( \alpha  \right)\) và \(b\subset \left( \beta  \right)\) thì \(\left( \alpha  \right)\bot \left( \beta  \right)\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Trong trường hợp \(a\),\(b\), c đồng phẳng.

C sai. Trong trường hợp \(a\) và \(b\) cắt nhau, mặt phẳng \(\left( a,b \right)\) chứa \(b\) nhưng không vuông góc với \(a\).

D sai. Trong trường hợp \(a\) và \(b\)  vuông góc nhau và chéo nhau, nếu \(\left( \alpha  \right)\supset a\), \(\left( \alpha  \right)\,\parallel \,b\) và \(\left( \beta  \right)\supset b\), \(\left( \beta  \right)\,\parallel \,a\) thì \(\left( \alpha  \right)\,\parallel \,\left( \beta  \right)\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A

    Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

  • B

    Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

  • C

     Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

  • D  Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

B sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A

     Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến \(d\). Với mỗi điểm \(A\)  thuộc \(\left( P \right)\) và mỗi điểm \(B\) thuộc \(\left( Q \right)\) thì ta có \(AB\) vuông góc với \(d\).

  • B

    Nếu hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right)\) thì giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nếu có cũng sẽ vuông góc với \(\left( R \right)\).

  • C

    Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

  • D  Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Trong trường hợp \(a\in d\), \(b\in d\), khi đó \(AB\) trùng với \(d\).

C sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

D sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sau đây là đúng?

  • A

     Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

  • B

     Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.

  • C

     Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

  • D  Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này, vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

B, C sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A

    Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

  • B

    Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

  • C

    Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước.

  • D

    Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

B sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

D sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\) \(BC=a\). Cạnh bên \(SA=a\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \({{45}^{0}}\). Độ dài \(SC\) bằng

  • A

     \(a\sqrt{2}.\)                          

  • B

    \(a\sqrt{3}.\)                           

  • C

     \(2a.\)                                     

  • D  \(a.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

 

Ta có \(\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC\Rightarrow BC\) là giao tuyến.

Mặt khác \(SA\bot \left( ABC \right)\) và \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\Rightarrow AB\bot BC\).

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \)\(BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\)

. \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {45^0}\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(\widehat{SBA}={{45}^{0}}\Rightarrow SA=AB=a\).

Mà \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\).

Vậy \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3\). 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA=a\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( ABC \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABC \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A

     \(\varphi ={{30}^{0}}.\)      

  • B

     \(\sin \varphi =\frac{\sqrt{5}}{5}.\)                                      

  • C

     \(\varphi ={{60}^{0}}.\)        

     

     

  • D  \(\sin \varphi =\frac{2\sqrt{5}}{5}.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(AM\bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA}.\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), suy ra trung tuyến \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Tam giác vuông \(SAM\), có \(\sin \widehat{SMA}=\frac{SA}{SM}=\frac{SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( ABCD \right)\) và \(SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABCD \right)\).

  • A

     \({{30}^{0}}.\)                     

  • B

     \({{45}^{0}}.\)                     

  • C

     \({{60}^{0}}.\)                       

  • D  \({{90}^{0}}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(Q\) là trung điểm \(BC\), suy ra \(OQ\bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OQ\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOQ} \right) \Rightarrow BC \bot SQ.\)

Do đó

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SQ \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset OQ \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SQ;OQ} \right)} = \widehat {SQO}.\)

Tam giác vuông \(SOQ\), có \(\tan \widehat{SQO}=\frac{SO}{OQ}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SQO}={{60}^{0}}\)

Vậy mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) hợp với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) một góc \({{60}^{0}}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), các cạnh \(SA=SB=a,\) \(SD=a\sqrt{2}\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{90}^{0}}.\) Độ dài đoạn thẳng \(BD\)

  • A

     bằng \(2a.\)                            

  • B

     bằng \(2a\sqrt{3}.\)               

  • C

     bằng \(a\sqrt{3}.\)                 

  • D  \(a\sqrt{2}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm của hình thoi \(ABCD\).

Và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BD\).

\(\widehat{\left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)}={{90}^{0}}\Rightarrow \left( SBD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AC\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AC \bot SI\).

\(\Delta SAC = \Delta BAC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BI = SI = \frac{1}{2}BD \Rightarrow \Delta SBD\) vuông tại S.

Mà \(I\) là trung điểm của \(AC\Rightarrow \Delta SAC\) cân tại S \(\Rightarrow SA=SB=SC\).

 vuông tại S

\(\Rightarrow B{{D}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow BD=a\sqrt{3}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(\widehat{ABC}={{60}^{0}}\), tam giác \(SBC\) là tam giác đều có bằng cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( ABC \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A

     \(\varphi ={{60}^{0}}.\)      

  • B

     \(\tan \varphi =2\sqrt{3}.\)    

  • C

     \(\tan \varphi =\frac{\sqrt{3}}{6}.\)                                     

  • D \(\tan \varphi =\frac{1}{2}.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(SH\bot BC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(AC\), suy ra \(HK\)//\(AB\) nên \(HK\bot AC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HK\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AC \bot SK.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SK \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SK;HK} \right)} = \widehat {SKH}.\)

Tam giác vuông \(ABC\), có \(AB=BC.\cos \widehat{ABC}=a\Rightarrow HK=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.\)

Tam giác vuông \(SHK\), có \(\tan \widehat{SKH}=\frac{SH}{HK}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=2\sqrt{3}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có đáy cạnh bằng \(a,\) góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) và \(\left( AB{C}' \right)\) có số đo bằng \({{60}^{0}}.\) Độ dài cạnh bên của hình lăng trụ bằng

  • A

     \(2a.\)                                     

     

  • B

    \(3a.\)                                     

  • C

     \(a\sqrt{3}.\)                          

  • D  \(a\sqrt{2}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Vì \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) là lăng trụ tứ giác đều

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot BB'\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BB'C'B} \right) \Rightarrow AB \bot BC'\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {ABC'} \right) \supset BC' \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ABC'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BC';BC} \right)} = \widehat {C'BC} = {60^0}.\)

Tam giác \(BC{C}'\) vuông tại \(C,\) có \(\tan \widehat{{C}'BC}=\frac{C{C}'}{BC}\Rightarrow CC'=\tan {{60}^{0}}.a=a\sqrt{3}.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Trên hai tia Bx, Dy vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cùng chiều lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho \(BM=\frac{a}{4},\,DN=2a.\) Tính góc \(\varphi \) giữa 2 mặt phẳng (AMN)(CMN).

  • A  \(\varphi ={{30}^{0}}.\)                              
  • B  \(\varphi ={{60}^{0}}.\)                              
  • C  \(\varphi ={{90}^{0}}.\)                              
  • D  \(\varphi ={{45}^{0}}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz:

\(\begin{array}{l}O \equiv A(0;0;0),\,\,\,\,B(a;0;0),\,\,\,C(a;a;0),\,\,\,\,D(0;a;0),\\M\left( {a;0;\frac{a}{4}} \right),\,\,\,\,N(0;a;2a)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {a;0;\frac{a}{4}} \right),\,\,\overrightarrow {AN}  = \left( {0;a;2a} \right)\\\overrightarrow {CM}  = \left( {0; - a;\frac{a}{4}} \right),\,\,\overrightarrow {CN}  = \left( { - a;0;2a} \right)\end{array}\)

Khi đó, (AMN) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-1;-8;4)\) , trong đó: \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 4;0;1 \right),\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 0;1;2 \right)\)

             (CMN) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{{{v}_{1}}};\,\,\overrightarrow{{{v}_{2}}} \right]=(-8;-1;-4)\) , trong đó: \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}\left( 0;-4;1 \right),\,\,\overrightarrow{{{v}_{2}}}\left( -1;0;2 \right)\)

Ta thấy : \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(-1).(-8)+(-8)(-1)+4.(-4)=0\Rightarrow \varphi ={{90}^{0}}\).

Chọn: C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Chóp S.ABC, \(SA\bot \left( ABC \right),\,\,SA=a,\,\,\Delta ABC\) đều \(AB=a\). Tính \(\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)}\).

  • A  \(\arctan 2\)                            
  • B \(\arctan \frac{2}{\sqrt{3}}\)                         
  • C  \(\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}\)                                    
  • D  \(\arctan \frac{2}{3}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

* Chọn S, ta có \(SA\bot \left( ABC \right)\). Vẽ

\(AM\bot BC\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SMA}=\widehat{M}\).

* Tam giác vuông SAM có: \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow \tan M=\frac{SA}{AM}=a:\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

Chọn đáp án B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Chóp đều S.ABCD, O là tâm đáy, \(SO=AB=a\). Tính \(\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}\) ?

  • A  \(\arctan 4\)                            
  • B                      

     \(\arctan 3\)                            

  • C  \(\arctan 2\)                            
  • D  \(\arctan 1\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

 

* Chọn S. Ta có \(SO\bot \left( ABCD \right)\).

Vẽ \(OM\bot BC\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SMO}=\widehat{M}\).

* Tam giác vuông SOM : \(\tan M=\frac{SO}{OM}=2\Rightarrow \widehat{M}=\arctan 2\).

Chọn đáp án C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Tính \(\widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SBC \right) \right)}\).

  • A \(\arccos \frac{1}{2}\)
  • B \(\arccos \frac{1}{6}\)
  • C \(\arccos \frac{1}{3}\)
  • D \(\arccos \frac{1}{4}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

* Nhận xét: \(\Delta SAB=\Delta SBC\)

* Bước 1: Chọn \(A\in \left( P \right)\). Vẽ \(AM\bot \( giao tuyến SB.

\(\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SBC \right) \right)}=\widehat{AMC}\)

* Bước 2: \(AM=MC=\frac{a\sqrt{3}}{2},AC=a\sqrt{2}\)

\(\begin{align}  \Rightarrow \cos M=\frac{A{{C}^{2}}-M{{A}^{2}}-M{{C}^{2}}}{-2.MA.MC}=\frac{1}{3} \\  \Rightarrow \widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SBC \right) \right)}=\arccos \frac{1}{3} \\ \end{align}\)

 Đáp số: \(\arccos \frac{1}{3}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\), \(AB=a\). Tính \(\widehat{\left( \left( A'BC \right);\left( A'CD \right) \right)}\).

  • A \({{45}^{0}}\) 
  • B \({{90}^{0}}\) 
  • C \({{30}^{0}}\) 
  • D \({{60}^{0}}\) 

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

 

* Nhận xét: \(\Delta A'BC=\Delta A'DC\)

* Bước 1: Vẽ \(DM\bot A'C\Rightarrow \widehat{\left( \left( A'BC \right);\left( A'CD \right) \right)}=\widehat{DMB}\)

* Bước 2: \(CB\bot AB\Rightarrow CB\bot A'B\)

Tính \(\frac{1}{B{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow B{{M}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}}{3}\)

\(\begin{align}  \cos M=\frac{B{{D}^{2}}-M{{B}^{2}}-M{{D}^{2}}}{-2MB.MD}=-\frac{1}{2} \\  \Rightarrow \widehat{DMB}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{\left( \left( A'BC \right);\left( A'CD \right) \right)}={{60}^{0}} \\ \end{align}\)

Đáp số: \({{60}^{0}}\) 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Lăng trụ đều \(ABC.A'B'C',\,\,AB=AA'=a,\,\,M\) là trung điểm của CC’. Tính \(\widehat{\left( \left( A'BM \right);\left( ABC \right) \right)}\) .

  • A  \({{30}^{0}}\)                                  
  • B  \({{45}^{0}}\)                                  
  • C  \({{60}^{0}}\)                                  
  • D  \({{90}^{0}}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

* Nối \(A'M\cap AC=N.\) Ta có :

\(\widehat{\left( \left( A'BM \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( \left( A'BN \right);\left( ABC \right) \right)}\).

* \(\Delta A'AN\) có MC là đường trung bình \(\Rightarrow C\) là trung điểm của AN \(\Rightarrow \Delta ABN\) vuông ở B.

\(\Rightarrow \widehat{\left( \left( A'BN \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{A'BN}\).

* \(\Delta A'AB\) vuông cân \(\Rightarrow \widehat{A'BN}={{45}^{0}}\).

Chọn đáp án B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hình lập phương\(ABCD.{A}'B{C}'{D}'\). Tính góc giữa mặt phẳng\(\left( ABCD \right)\) và \(\left( AC{C}'{A}' \right)\). 

  • A \(45{}^\circ \). 
  • B \(60{}^\circ \). 
  • C \(30{}^\circ \). 
  • D \(90{}^\circ \).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và xây dựng góc 

Lời giải chi tiết:

Do \(A{A}'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( AC{C}'{A}' \right)\bot \left( ABCD \right)\).

Chọn D


Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

  • A Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)là góc \(SBC\).
  • B Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là góc \(BSC\).
  • C Góc giữa \(BC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \({90^0}\).
  • D Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(SBA\).

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết:

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA\).

Do đó đáp án A sai.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là?

  • A \(\widehat {SOA}\)
  • B \(\widehat {SCO}\)
  • C \(\widehat {SAO}\)
  • D \(\widehat {ASO}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SO\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SO \bot BD\\AC \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SO;AC} \right)} = \widehat {SOA}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A có cạnh góc vuông là \(a\sqrt 2 \), SA vuông góc với đáy và \(SA = a\). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)và \(\left( {ABC} \right)\)?

  • A \({30^0}\)
  • B \({45^0}\)
  • C \({60^0}\)
  • D \({90^0}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI và SI cùng vuông góc với giao tuyến BC.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AI \bot BC\) và \(AI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a\)

\(\Delta SAC = \Delta SAB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\)cân tại S\( \Rightarrow SI \bot BC\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;AI} \right)} = \widehat {SIA}\)

Xét tam giác vuông SAI có: \(\tan \widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SIA} = {45^0}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết\(SB = SC = BC = a,SA = \frac{{3a}}{4}\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và đáy.

  • A \({30^0}\)
  • B \({45^0}\)
  • C \({60^0}\)
  • D \({90^0}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC

Vì tam giác SBC đều nên \(SM \bot BC\)

Mà \(SA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow AM \bot BC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA}\)

Ta có: \(SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{{3a}}{4}\frac{2}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {SMA} = {60^0}\)

Chọn C.  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA vuông góc với đáy, SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) tạo với nhau một góc \({60^0}\) ?

  • A \(x = a\)
  • B \(x = a\sqrt 2 \)
  • C \(x = 2a\)
  • D \(x = a\sqrt 3 \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Sử dụng các hàm lượng giác để tìm x theo a.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {60^0}\)

Vì \(\widehat {SBA} < {90^0}\) nên ta có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow \sqrt 3  = \frac{x}{a} \Rightarrow x = a\sqrt 3 \) .

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \), I là trung điểm của BC. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AI sao cho \(\overrightarrow {IH}  + 2\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow 0 \) và \(SH = 2a\). Tan góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là?

  • A \(\sqrt 6 \)
  • B \(\sqrt 3 \)
  • C \(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
  • D \(\dfrac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Xác định vị trí của điểm H.

+) Dựa vào phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

+) Sử dụng hàm tan tính tan của góc vừa xác định được.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  + 2\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow 0 \) nên H nằm giữa A; I và \(HI = 2AH.\)

Vì tam giác ABC đều nên \(AI \bot BC\).

Mà \(SH \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;AI} \right)} = \widehat {SIA}\)  (\(\widehat {SIA} < {90^0}\))

Ta có: \(AI = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2};HI = \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Xét tam giác vuông SHI có: \(\tan \widehat {SIH} = \dfrac{{SH}}{{IH}} = 2a\dfrac{3}{{a\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

  • A Cho đường thẳng \(a\bot \left( \alpha  \right),\) mọi mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa a thì \(\left( \beta  \right)\bot \left( \alpha  \right).\)
  • B Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) chứa a và mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa b thì \(\left( \alpha  \right)\bot \left( \beta  \right).\)
  • C Cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì song song với đường thẳng kia.
  • D Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn có mặt phẳng chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc là: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

\(\left\{ \begin{align}  & a\subset \left( P \right) \\  & a\bot \left( Q \right) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left( P \right)\bot \left( Q \right).\)

Lời giải chi tiết:

Theo điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc thì đáp án A đúng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a tâm O, \(SO \bot \left( {ABCD} \right);SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3};\) \(OB = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) . Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)?

  • A \({30^0}\)
  • B \({45^0}\)
  • C \({60^0}\)
  • D \({90^0}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Kẻ \(OH \bot BC\), sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng để xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC).

+) Tính tan của góc vừa xác định được.

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(OH \bot BC \Rightarrow SH \bot BC \Rightarrow \widehat {SHO} = \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}OA = OC = \sqrt {B{C^2} - O{B^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

Trong tam giác vuông SHO ta có:

\(\tan \widehat {SHO} = \dfrac{{SO}}{{OH}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SHO} = {60^0}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho tứ diện \(S.ABC\) có \(SBC\) và \(ABC\) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Tam giác \(SBC\) đều, tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Gọi \(H\), \(I\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\). Khẳng định nào sau đây sai?

  • A

     \(SH\bot AB.\)                                                                      

  • B

    \(HI\bot AB.\)                                 

  • C

    \(\left( SAB \right)\bot \left( SAC \right).\)

  • D \(\left( SHI \right)\bot \left( SAB \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Do \(SBC\) là tam giác đều có \(H\) là trung điểm \(BC\) nên \(SH\bot BC\).

Mà \(\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến \(BC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot AB.\)

\(\Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Ta có \(HI\) là đường trung bình của \(\Delta \,ABC\) nên \(HI\parallel AC\Rightarrow HI\bot AB.\)

\(\Rightarrow \)Đáp án B đúng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AB\\HI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SHI} \right).\)

 Đáp án D đúng.                

Dùng phương pháp loại trừ thì C là đáp án sai.

Chọn C

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\). Khẳng định nào sau đây sai?

  • A

    \(BM\bot AC.\)                                                                     

  • B

    \(\left( SBM \right)\bot \left( SAC \right).\)              

  • C

     \(\left( SAB \right)\bot \left( SBC \right).\)

  • D  \(\left( SAB \right)\bot \left( SAC \right).\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

 

Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) có \(M\) là trung điểm \(AC\,\,\Rightarrow \,\,BM\bot AC.\)

\(\Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AC\\BM \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

 Đáp án B đúng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BA\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

 Đáp án C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\), mặt bên \(SAC\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(I) \(AI\bot SC.\).

(II) \(\left( SBC \right)\bot \left( SAC \right).\)

(III) \(AI\bot BC.\)    

(IV)  \(\left( ABI \right)\bot \left( SBC \right).\)

  • A

    1                              

  • B 2
  • C

    3

  • D 4

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(SAC\) đều có \(I\) là trung điểm của \(SC\) nên \(AI\bot SC\).

\(\Rightarrow \) (I) đúng.

Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\) suy ra \(SH\bot AC\). Mà \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến \(AC\) nên \(SH\bot \left( ABC \right)\) do đó \(SH\bot BC\). Hơn nữa theo giả thiết tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(BC\bot AC\).

Từ đó suy ra \(BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot AI.\) Do đó đáp án (III) đúng.

Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\).

Suy ra (II) đúng.

Vậy cả 4 mệnh đề trên đều đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm \(SC\). Tính góc \(\varphi \) giữa hai mặt phẳng \(\left( MBD \right)\) và  \(\left( ABCD \right)\).

  • A

     \(\varphi ={{90}^{0}}.\)

  • B

    \(\varphi ={{60}^{0}}.\)

  • C

    \(\varphi ={{45}^{0}}.\)

  • D \(\varphi ={{30}^{0}}.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

 Gọi M’ là trung điểm \(OC\Rightarrow M{M}'\parallel SO\Rightarrow M{M}'\bot \left( ABCD \right).\)

Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có \({{S}_{\Delta \,{M}'BD}}=\cos \varphi .{{S}_{\Delta \,MBD}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \varphi  = \dfrac{{{S_{\Delta \,M'BD}}}}{{{S_{\Delta \,MBD}}}} = \dfrac{{BD.M'O}}{{BD.MO}} = \dfrac{{M'O}}{{MO}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}SO}}{{\dfrac{1}{2}SA}}\\ = \dfrac{{\sqrt {S{A^2} - O{A^2}} }}{{SA}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi  = {45^0}.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(I\), cạnh \(a\), góc \(\widehat{BAD}={{60}^{0}}\), \(SA=SB=SD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) và \(\left( ABCD \right).\) Mệnh đề nào sau đây đúng?

  • A

     \(\tan \varphi =\sqrt{5}.\)      

  • B

     \(\tan \varphi =\frac{\sqrt{5}}{5}.\)                                     

  • C

    \(\tan \varphi =\frac{\sqrt{3}}{2}.\)                                      

  • D \(\varphi ={{45}^{0}}.\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết suy ra tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\).

Do \(SA=SB=SD\) nên suy ra \(H\) là tâm của tam gác đều \(ABD\).

Suy ra \(AH=\frac{2}{3}AI=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3},HI=\frac{1}{3}AI=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

và \(SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}.\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(HI\bot BD\). Tam giác \(SBD\) cân tại \(S\) nên \(SI\bot BD\). Do đó \(\widehat{\left( SBD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SI;AI \right)}=\widehat{SIH}.\).

Trong tam vuông \(SHI\), có \(\tan \widehat{SIH}=\frac{SH}{HI}=\sqrt{5}.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 34 :

 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm AC. Khẳng định nào sau đây sai?

  • A \(\left( SAB \right)\bot \left( SBC \right)\).                 
  • B \(\left( SBC \right)\bot \left( SAC \right)\).              .
  • C \(BM\bot AC\).                          
  • D  \(\left( SBM \right)\bot \left( SAC \right)\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

+) \(BC\bot AB,\,\,BC\bot SA\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAB \right)\): A đúng.

+) \(\Delta ABC\) vuông cân tại B, M là trung điểm AC \(\Rightarrow BM\bot AC\): C đúng.

+) \(BM\bot AC,\,\,BM\bot SA\Rightarrow BM\bot \left( SAC \right)\Rightarrow \left( SBM \right)\bot \left( SAC \right)\): D đúng. 

Chọn: B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) với \(O\) là tâm của đáy và chiều cao \(SO = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng đáy.

  • A \({90^0}\)
  • B \({60^0}\)
  • C \({30^0}\)
  • D \({45^0}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SHO\).

+) Tính \(\tan \angle SHO\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SO\\AB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHO} \right) \Rightarrow AB \bot OH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SH;OH} \right) = \angle SHO\).

Xét tam giác vuông \(SHO\) có \(\tan \angle SHO = \dfrac{{SH}}{{OH}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB}}{{\dfrac{{AB}}{2}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \angle SHO = {60^0}\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có diện tích tam giác \(ABC\) bằng \(2\sqrt 3 \). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AA',\,\,BB',\,\,CC'\), diện tích tam giác \(MNP\) bằng 4. Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\).

  • A \({120^0}\)                   
  • B  \({45^0}\)                        
  • C \({30^0}\)                      
  • D  \({90^0}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả: \({S_{A'B'C'}} = {S_{ABC}}.\cos \alpha \) trong đó \(ABC\) là hình chiếu của \(A'B'C'\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nào đó và \(\alpha \) là góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\).

Lời giải chi tiết:

 

Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\).

Dễ thây \(\Delta ABC\) là hình chiếu của \(\Delta MNP\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), do đó ta có

\({S_{ABC}} = {S_{MNP}}.\cos \alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \alpha  = {30^0}\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(a,\)đường cao \(SA = x.\) Góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy bằng \({60^0}\). Khi đó \(x\) bằng

  • A

      \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\)

  • B

     \(a\sqrt 3 .\)                       

  • C

      \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) 

  • D  \(\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\)    

Đáp án: B

Phương pháp giải:

 

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma  \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha  \right) \cap \left( \gamma  \right),b = \left( \beta  \right) \cap \left( \gamma  \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

 

Ta có: \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\)

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot BC\), (do \(AB \bot BC,\,\,SA \bot BC\))

\(\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SB,\,\,\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = AB \Rightarrow \)\(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {60^0}\)

\(\Delta SAB\) vuông tại A \( \Rightarrow SA = AB\tan \widehat {SBA} = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

Vậy \(x = a\sqrt 3 .\)

Chọn: B          

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\). Mệnh đề nào sau đây sai ?

  • A \(d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = BB'\)
  • B Các mặt bên của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là các hình chữ nhật.
  • C \(d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {ACC'A'} \right)} \right)\)
  • D \(d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AB\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {A'B'C'} \right)} \right) = BB'\,\left( {Do\,\,BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\), suy ra đáp án A đúng.

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên các mặt bên của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là các hình chữ nhật, suy ra đáp án B đúng.

Ta có:

\(\begin{array}{l}BB'//AA' \subset \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BB'//\left( {ACC'A'} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {ACC'A'} \right)} \right)\end{array}\)

Suy ra đáp án C đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng  \({{60}^{o}}\).Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC. Tính cosin góc tạo bởi (SMN) và (ABC)

  • A  \(\frac{1}{3}\)                
  • B   \(\frac{\sqrt{3}}{12}\)                             
  • C   \(\frac{12}{\sqrt{147}}\)                  
  • D  \(\frac{1}{7}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng cách dựng (R) cùng vuông góc với (P) và (Q) ; góc giữa (P) và (Q) là góc giữa 2 đường giao tuyến

 

Lời giải chi tiết:

Có \(SH=HC.\tan {{60}^{o}}=a\) 

\(HI=ID-HD=\frac{1}{6}BD=\frac{a\sqrt{3}}{12}\)

\(=> \cos in=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{12}}{\frac{7a\sqrt{3}}{12}}=\frac{1}{7}\)

Chọn đáp án D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 2, độ dài đường chéo của các mặt bên bằng \(\sqrt 5 \). Số đo góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là:

  • A  450                                         
  • B  900                                         
  • C  600                                         
  • D  300

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng:

+ Xác định giao tuyến.

+ Trong hai mặt phẳng xác định lần lượt hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm.

+ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

 

 

Gọi M là trung điểm của BC ta có \(AM \bot BC\) (tam giác ABC đều).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\AA' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AMA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {A'BC} \right) \supset A'M \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AM;A'M} \right)} = \widehat {A'MA}\end{array}\)

Xét tam giác vuông AA’B có \(AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {5 - 4}  = 1\) 

Tam giác ABC đều cạnh bằng 2 \( \Rightarrow AM = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \tan \widehat {AMA'} = \frac{{AA'}}{{AM}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {AMA'} = {30^0}\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.