Phương pháp giải:

Hai mặt phẳng vuông góc thì góc giữa chúng bằng 90⁰.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}BD \bot SO\\BD \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\\ \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBD} \right)} \right)} = {90^0}\end{array}\)

Chọn B. 

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\). Do \(\left( P \right)\,\,\parallel \,\,\left( Q \right)\Rightarrow d\bot \left( Q \right)\).

Giả sử \(\left( R \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\). Mà \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\d \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( R \right) \bot \left( P \right)\\\left( R \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right.\).

Có vô số mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa \(d\). Do đó có vô số mặt phẳng qua \(M\), vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Trong trường hợp \(a\),\(b\), c đồng phẳng.

C sai. Trong trường hợp \(a\) và \(b\) cắt nhau, mặt phẳng \(\left( a,b \right)\) chứa \(b\) nhưng không vuông góc với \(a\).

D sai. Trong trường hợp \(a\) và \(b\)  vuông góc nhau và chéo nhau, nếu \(\left( \alpha  \right)\supset a\), \(\left( \alpha  \right)\,\parallel \,b\) và \(\left( \beta  \right)\supset b\), \(\left( \beta  \right)\,\parallel \,a\) thì \(\left( \alpha  \right)\,\parallel \,\left( \beta  \right)\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

B sai. Qua một đường thẳng vô số mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

D sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Trong trường hợp \(a\in d\), \(b\in d\), khi đó \(AB\) trùng với \(d\).

C sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ 3).

D sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, đường thẳng thuộc mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nằm trong mặt phẳng này, vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

B, C sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

A sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

B sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

D sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao truyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left( SBC \right)\cap \left( ABC \right)=BC\Rightarrow BC\) là giao tuyến.

Mặt khác \(SA\bot \left( ABC \right)\) và \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\Rightarrow AB\bot BC\).

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \)\(BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\)

. \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {45^0}\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A\), có \(\widehat{SBA}={{45}^{0}}\Rightarrow SA=AB=a\).

Mà \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\).

Vậy \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3\). 

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(AM\bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA}.\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), suy ra trung tuyến \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Tam giác vuông \(SAM\), có \(\sin \widehat{SMA}=\frac{SA}{SM}=\frac{SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(Q\) là trung điểm \(BC\), suy ra \(OQ\bot BC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OQ\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOQ} \right) \Rightarrow BC \bot SQ.\)

Do đó

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SQ \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset OQ \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SQ;OQ} \right)} = \widehat {SQO}.\)

Tam giác vuông \(SOQ\), có \(\tan \widehat{SQO}=\frac{SO}{OQ}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SQO}={{60}^{0}}\)

Vậy mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) hợp với mặt đáy \(\left( ABCD \right)\) một góc \({{60}^{0}}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là tâm của hình thoi \(ABCD\).

Và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BD\).

\(\widehat{\left( \left( SBD \right);\left( ABCD \right) \right)}={{90}^{0}}\Rightarrow \left( SBD \right)\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SH\bot \left( ABCD \right)\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AC\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AC \bot SI\).

\(\Delta SAC = \Delta BAC\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow BI = SI = \frac{1}{2}BD \Rightarrow \Delta SBD\) vuông tại S.

Mà \(I\) là trung điểm của \(AC\Rightarrow \Delta SAC\) cân tại S \(\Rightarrow SA=SB=SC\).

 vuông tại S

\(\Rightarrow B{{D}^{2}}=S{{B}^{2}}+S{{D}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=3{{a}^{2}}\Rightarrow BD=a\sqrt{3}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(SH\bot BC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(AC\), suy ra \(HK\)//\(AB\) nên \(HK\bot AC\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HK\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow AC \bot SK.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AC\\\left( {SAC} \right) \supset SK \bot AC\\\left( {ABC} \right) \supset HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SK;HK} \right)} = \widehat {SKH}.\)

Tam giác vuông \(ABC\), có \(AB=BC.\cos \widehat{ABC}=a\Rightarrow HK=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}.\)

Tam giác vuông \(SHK\), có \(\tan \widehat{SKH}=\frac{SH}{HK}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a}{2}}=2\sqrt{3}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Vì \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) là lăng trụ tứ giác đều

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB \bot BB'\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BB'C'B} \right) \Rightarrow AB \bot BC'\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC'} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {ABC'} \right) \supset BC' \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ABC'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BC';BC} \right)} = \widehat {C'BC} = {60^0}.\)

Tam giác \(BC{C}'\) vuông tại \(C,\) có \(\tan \widehat{{C}'BC}=\frac{C{C}'}{BC}\Rightarrow CC'=\tan {{60}^{0}}.a=a\sqrt{3}.\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian.

Lời giải chi tiết:

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz:

\(\begin{array}{l}O \equiv A(0;0;0),\,\,\,\,B(a;0;0),\,\,\,C(a;a;0),\,\,\,\,D(0;a;0),\\M\left( {a;0;\frac{a}{4}} \right),\,\,\,\,N(0;a;2a)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {a;0;\frac{a}{4}} \right),\,\,\overrightarrow {AN}  = \left( {0;a;2a} \right)\\\overrightarrow {CM}  = \left( {0; - a;\frac{a}{4}} \right),\,\,\overrightarrow {CN}  = \left( { - a;0;2a} \right)\end{array}\)

Khi đó, (AMN) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=(-1;-8;4)\) , trong đó: \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}\left( 4;0;1 \right),\,\,\overrightarrow{{{u}_{2}}}\left( 0;1;2 \right)\)

             (CMN) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{{{v}_{1}}};\,\,\overrightarrow{{{v}_{2}}} \right]=(-8;-1;-4)\) , trong đó: \(\overrightarrow{{{v}_{1}}}\left( 0;-4;1 \right),\,\,\overrightarrow{{{v}_{2}}}\left( -1;0;2 \right)\)

Ta thấy : \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=(-1).(-8)+(-8)(-1)+4.(-4)=0\Rightarrow \varphi ={{90}^{0}}\).

Chọn: C.

Lời giải chi tiết:

* Chọn S, ta có \(SA\bot \left( ABC \right)\). Vẽ

\(AM\bot BC\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SMA}=\widehat{M}\).

* Tam giác vuông SAM có: \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow \tan M=\frac{SA}{AM}=a:\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

Chọn đáp án B.

Lời giải chi tiết:

* Chọn S. Ta có \(SO\bot \left( ABCD \right)\).

Vẽ \(OM\bot BC\Rightarrow \widehat{\left( \left( SBC \right);\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SMO}=\widehat{M}\).

* Tam giác vuông SOM : \(\tan M=\frac{SO}{OM}=2\Rightarrow \widehat{M}=\arctan 2\).

Chọn đáp án C.

Lời giải chi tiết:

* Nhận xét: \(\Delta SAB=\Delta SBC\)

* Bước 1: Chọn \(A\in \left( P \right)\). Vẽ \(AM\bot \( giao tuyến SB.

\(\Rightarrow \widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SBC \right) \right)}=\widehat{AMC}\)

* Bước 2: \(AM=MC=\frac{a\sqrt{3}}{2},AC=a\sqrt{2}\)

\(\begin{align}  \Rightarrow \cos M=\frac{A{{C}^{2}}-M{{A}^{2}}-M{{C}^{2}}}{-2.MA.MC}=\frac{1}{3} \\  \Rightarrow \widehat{\left( \left( SAB \right);\left( SBC \right) \right)}=\arccos \frac{1}{3} \\ \end{align}\)

 Đáp số: \(\arccos \frac{1}{3}\)

Lời giải chi tiết:

* Nhận xét: \(\Delta A'BC=\Delta A'DC\)

* Bước 1: Vẽ \(DM\bot A'C\Rightarrow \widehat{\left( \left( A'BC \right);\left( A'CD \right) \right)}=\widehat{DMB}\)

* Bước 2: \(CB\bot AB\Rightarrow CB\bot A'B\)

Tính \(\frac{1}{B{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{2{{a}^{2}}}\Rightarrow B{{M}^{2}}=\frac{2{{a}^{2}}}{3}\)

\(\begin{align}  \cos M=\frac{B{{D}^{2}}-M{{B}^{2}}-M{{D}^{2}}}{-2MB.MD}=-\frac{1}{2} \\  \Rightarrow \widehat{DMB}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{\left( \left( A'BC \right);\left( A'CD \right) \right)}={{60}^{0}} \\ \end{align}\)

Đáp số: \({{60}^{0}}\) 

Lời giải chi tiết:

* Nối \(A'M\cap AC=N.\) Ta có :

\(\widehat{\left( \left( A'BM \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( \left( A'BN \right);\left( ABC \right) \right)}\).

* \(\Delta A'AN\) có MC là đường trung bình \(\Rightarrow C\) là trung điểm của AN \(\Rightarrow \Delta ABN\) vuông ở B.

\(\Rightarrow \widehat{\left( \left( A'BN \right);\left( ABC \right) \right)}=\widehat{A'BN}\).

* \(\Delta A'AB\) vuông cân \(\Rightarrow \widehat{A'BN}={{45}^{0}}\).

Chọn đáp án B.

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và xây dựng góc 

Lời giải chi tiết:

Do \(A{A}'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( AC{C}'{A}' \right)\bot \left( ABCD \right)\).

Chọn D

Phương pháp giải:

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết:

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow AB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA\).

Do đó đáp án A sai.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SO\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\SO \bot BD\\AC \bot BD\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SO;AC} \right)} = \widehat {SOA}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh AI và SI cùng vuông góc với giao tuyến BC.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AI \bot BC\) và \(AI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 .\sqrt 2 }}{2} = a\)

\(\Delta SAC = \Delta SAB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\)cân tại S\( \Rightarrow SI \bot BC\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;AI} \right)} = \widehat {SIA}\)

Xét tam giác vuông SAI có: \(\tan \widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SIA} = {45^0}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC

Vì tam giác SBC đều nên \(SM \bot BC\)

Mà \(SA \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow AM \bot BC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA}\)

Ta có: \(SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{SM}} = \frac{{3a}}{4}\frac{2}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {SMA} = {60^0}\)

Chọn C.  

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Sử dụng các hàm lượng giác để tìm x theo a.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {60^0}\)

Vì \(\widehat {SBA} < {90^0}\) nên ta có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow \sqrt 3  = \frac{x}{a} \Rightarrow x = a\sqrt 3 \) .

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Xác định vị trí của điểm H.

+) Dựa vào phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

+) Sử dụng hàm tan tính tan của góc vừa xác định được.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  + 2\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow 0 \) nên H nằm giữa A; I và \(HI = 2AH.\)

Vì tam giác ABC đều nên \(AI \bot BC\).

Mà \(SH \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BC \bot SI\)

\(\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;AI} \right)} = \widehat {SIA}\)  (\(\widehat {SIA} < {90^0}\))

Ta có: \(AI = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2};HI = \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Xét tam giác vuông SHI có: \(\tan \widehat {SIH} = \dfrac{{SH}}{{IH}} = 2a\dfrac{3}{{a\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \)

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc là: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

\(\left\{ \begin{align}  & a\subset \left( P \right) \\  & a\bot \left( Q \right) \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left( P \right)\bot \left( Q \right).\)

Lời giải chi tiết:

Theo điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc thì đáp án A đúng.

Chọn A.

Phương pháp giải:

+) Kẻ \(OH \bot BC\), sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng để xác định góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC).

+) Tính tan của góc vừa xác định được.

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(OH \bot BC \Rightarrow SH \bot BC \Rightarrow \widehat {SHO} = \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}OA = OC = \sqrt {B{C^2} - O{B^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\\\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)

Trong tam giác vuông SHO ta có:

\(\tan \widehat {SHO} = \dfrac{{SO}}{{OH}} = \sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SHO} = {60^0}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Do \(SBC\) là tam giác đều có \(H\) là trung điểm \(BC\) nên \(SH\bot BC\).

Mà \(\left( SBC \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến \(BC\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot AB.\)

\(\Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Ta có \(HI\) là đường trung bình của \(\Delta \,ABC\) nên \(HI\parallel AC\Rightarrow HI\bot AB.\)

\(\Rightarrow \)Đáp án B đúng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot AB\\HI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SHI} \right).\)

 Đáp án D đúng.                

Dùng phương pháp loại trừ thì C là đáp án sai.

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) có \(M\) là trung điểm \(AC\,\,\Rightarrow \,\,BM\bot AC.\)

\(\Rightarrow \) Đáp án A đúng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AC\\BM \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)\)

 Đáp án B đúng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot BA\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

 Đáp án C đúng.

Dùng phương pháp loại trừ thì D là đáp án sai.

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Lời giải chi tiết:

Tam giác \(SAC\) đều có \(I\) là trung điểm của \(SC\) nên \(AI\bot SC\).

\(\Rightarrow \) (I) đúng.

Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\) suy ra \(SH\bot AC\). Mà \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến \(AC\) nên \(SH\bot \left( ABC \right)\) do đó \(SH\bot BC\). Hơn nữa theo giả thiết tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(BC\bot AC\).

Từ đó suy ra \(BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot AI.\) Do đó đáp án (III) đúng.

Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\).

Suy ra (II) đúng.

Vậy cả 4 mệnh đề trên đều đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

 Gọi M’ là trung điểm \(OC\Rightarrow M{M}'\parallel SO\Rightarrow M{M}'\bot \left( ABCD \right).\)

Theo công thức diện tích hình chiếu, ta có \({{S}_{\Delta \,{M}'BD}}=\cos \varphi .{{S}_{\Delta \,MBD}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \varphi  = \dfrac{{{S_{\Delta \,M'BD}}}}{{{S_{\Delta \,MBD}}}} = \dfrac{{BD.M'O}}{{BD.MO}} = \dfrac{{M'O}}{{MO}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}SO}}{{\dfrac{1}{2}SA}}\\ = \dfrac{{\sqrt {S{A^2} - O{A^2}} }}{{SA}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }}{a} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \varphi  = {45^0}.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Lời giải chi tiết:

Từ giả thiết suy ra tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\).

Do \(SA=SB=SD\) nên suy ra \(H\) là tâm của tam gác đều \(ABD\).

Suy ra \(AH=\frac{2}{3}AI=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3},HI=\frac{1}{3}AI=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)

và \(SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\frac{a\sqrt{15}}{6}.\)

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(HI\bot BD\). Tam giác \(SBD\) cân tại \(S\) nên \(SI\bot BD\). Do đó \(\widehat{\left( SBD \right);\left( ABCD \right)}=\widehat{\left( SI;AI \right)}=\widehat{SIH}.\).

Trong tam vuông \(SHI\), có \(\tan \widehat{SIH}=\frac{SH}{HI}=\sqrt{5}.\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

+) \(BC\bot AB,\,\,BC\bot SA\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow \left( SBC \right)\bot \left( SAB \right)\): A đúng.

+) \(\Delta ABC\) vuông cân tại B, M là trung điểm AC \(\Rightarrow BM\bot AC\): C đúng.

+) \(BM\bot AC,\,\,BM\bot SA\Rightarrow BM\bot \left( SAC \right)\Rightarrow \left( SBM \right)\bot \left( SAC \right)\): D đúng. 

Chọn: B

Phương pháp giải:

+) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(\angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SHO\).

+) Tính \(\tan \angle SHO\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Tam giác \(SAB\) cân tại \(S \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot SO\\AB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHO} \right) \Rightarrow AB \bot OH\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SH;OH} \right) = \angle SHO\).

Xét tam giác vuông \(SHO\) có \(\tan \angle SHO = \dfrac{{SH}}{{OH}} = \dfrac{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB}}{{\dfrac{{AB}}{2}}} = \sqrt 3  \Rightarrow \angle SHO = {60^0}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả: \({S_{A'B'C'}} = {S_{ABC}}.\cos \alpha \) trong đó \(ABC\) là hình chiếu của \(A'B'C'\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nào đó và \(\alpha \) là góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'B'C'} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\).

Dễ thây \(\Delta ABC\) là hình chiếu của \(\Delta MNP\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), do đó ta có

\({S_{ABC}} = {S_{MNP}}.\cos \alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \dfrac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{MNP}}}} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \alpha  = {30^0}\).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma  \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha  \right) \cap \left( \gamma  \right),b = \left( \beta  \right) \cap \left( \gamma  \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right),\,\,\left( \beta  \right)\): \(\left( {\widehat {\left( \alpha  \right);\left( \beta  \right)}} \right) = \left( {\widehat {a;b}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\)

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot BC\), (do \(AB \bot BC,\,\,SA \bot BC\))

\(\left( {SBC} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SB,\,\,\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SAB} \right) = AB \Rightarrow \)\(\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {60^0}\)

\(\Delta SAB\) vuông tại A \( \Rightarrow SA = AB\tan \widehat {SBA} = a.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

Vậy \(x = a\sqrt 3 .\)

Chọn: B          

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\left( {ABC} \right)//\left( {A'B'C'} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {A'B'C'} \right)} \right) = BB'\,\left( {Do\,\,BB' \bot \left( {A'B'C'} \right)} \right)\), suy ra đáp án A đúng.

Vì \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên các mặt bên của hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là các hình chữ nhật, suy ra đáp án B đúng.

Ta có:

\(\begin{array}{l}BB'//AA' \subset \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow BB'//\left( {ACC'A'} \right)\\ \Rightarrow d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {ACC'A'} \right)} \right)\end{array}\)

Suy ra đáp án C đúng.

Chọn D.

Phương pháp giải:

 Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng cách dựng (R) cùng vuông góc với (P) và (Q) ; góc giữa (P) và (Q) là góc giữa 2 đường giao tuyến

Lời giải chi tiết:

Có \(SH=HC.\tan {{60}^{o}}=a\) 

\(HI=ID-HD=\frac{1}{6}BD=\frac{a\sqrt{3}}{12}\)

\(=> \cos in=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{12}}{\frac{7a\sqrt{3}}{12}}=\frac{1}{7}\)

Chọn đáp án D

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng:

+ Xác định giao tuyến.

+ Trong hai mặt phẳng xác định lần lượt hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm.

+ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là trung điểm của BC ta có \(AM \bot BC\) (tam giác ABC đều).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\AA' \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AMA'} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {A'BC} \right) \supset A'M \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AM;A'M} \right)} = \widehat {A'MA}\end{array}\)

Xét tam giác vuông AA’B có \(AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {5 - 4}  = 1\) 

Tam giác ABC đều cạnh bằng 2 \( \Rightarrow AM = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \tan \widehat {AMA'} = \frac{{AA'}}{{AM}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {AMA'} = {30^0}\).

Chọn D.