30 bài tập trắc nghiệm phép đối xứng tâm

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M(2 ; 1) qua phép đối xứng tâm I(3 ;-2).

  • A M’(1 ;-3)                                 
  • B M’ (-5 ; 4)                              
  • C M’(4 ;-5)                     
  • D M’(1 ;5)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phương pháp:

M và M’ đối xứng qua I nên I là trung điểm của MM’.

Lời giải chi tiết:

Cách giải:

M và M’ đối xứng qua I nên I là trung điểm của MM’.

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_I} - {x_M}\\{y_{M'}} = 2{y_I} - {y_M}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 4\\{y_{M'}} = - 5\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( {4; - 5} \right)\)

Chọn C.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Điểm nào là ảnh của \(M\left( 3;-1 \right)\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( 1;2 \right)\)

  • A  \(\left( 2;1 \right)\)                             
  • B  \(\left( -1;5 \right)\)                            
  • C  \(\left( -1;3 \right)\)                            
  • D \(\left( 5;-4 \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua tâm I \(\Rightarrow I\) là trung điểm của MM’.

Lời giải chi tiết:

Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua tâm I \(\Rightarrow I\) là trung điểm của MM’.

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  {{x}_{M'}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{M}}=-1 \\  {{y}_{M'}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{M}}=5 \\ \end{align} \right.\Rightarrow M'\left( -1;5 \right)\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

  • A Phép đối xứng tâm không có điểm nào biến thành chính nó.
  • B  Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó.
  • C  Phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành chính nó.
  • D  Phép đối xứng tâm có vô số điểm biến thành chính nó.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đ\(_{I}\left( M \right)=\,M'\Rightarrow I\) là trung điểm của MM’

Lời giải chi tiết:

 Đ\(_{I}\left( I \right)\,=\,I\Rightarrow \) Phép đối xứng tâm có đúng một điểm biến thành chính nó. Điểm đó chính là tâm đối xứng.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho đường thẳng d có phương trình \(x-y+4=0\). Hỏi trong các đường thẳng sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?

  • A  \(2x+y-4=0\)              
  • B  \(x+y-1=0\)                
  • C  \(2x-2y+1=0\)                        
  • D  \(2x+2y-3=0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Lời giải chi tiết:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đường thẳng đáp án C song song với đường thẳng d đã cho.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm \(I\left( a;b \right)\). Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm \(M\left( x;y \right)\) thành điểm \(M'\left( x';y' \right)\) thì ta có biểu thức:

  • A \(\left\{ \begin{align}  x'=a+x \\  y'=b+y \\ \end{align} \right.\)                                
  • B \(\left\{ \begin{align}  x'=2a-x \\  y'=2b-y \\ \end{align} \right.\)                  
  • C  \(\left\{ \begin{align}  x'=a-x \\ y'=b-y \\ \end{align} \right.\)                                  
  • D \(\left\{ \begin{align}  x=2x'-a \\  y=2y'-b \\ \end{align} \right.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đ\(_{I}\left( M \right)\,=M'\Rightarrow I\) là trung điểm của MM’

Lời giải chi tiết:

Đ\(_{I}\left( M \right)=M'\Rightarrow I\) là trung điểm của MM’

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + x' = 2a\\y + y' = 2b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 2a - x\\y' = 2b - y\end{array} \right.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Hình nào sau đây không có tâm đối xứng?

 

 

  • A  Hình vuông               
  • B  Hình tròn                               
  • C Hình tam giác đều                  
  • D  Hình thoi

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Hình có tâm đối xứng nếu và chỉ nếu tồn tại phép đối xứng tâm biến hình (H) thành chính nó.

Lời giải chi tiết:

Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Hình tròn có tâm đối xứng là tâm của nó.

Hình thoi có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.

Tam giác đều không có tâm đối xứng.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

  • A  Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì.
  • B  Nếu \(IM'=IM\) thì Đ(M) = M’
  • C  Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.
  • D  Phép đối xứng tâm biến tam giác bằng tam giác đã cho.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của phép đối xứng tâm.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy các đáp án A, C, D đúng, chỉ có đáp án B sai.

Đ\(_{I}\left( M \right)\,=\,M'\Rightarrow I\) là trung điểm của MM’ \(\Rightarrow IM'=IM\) và ba điểm I, M, M’ thẳng hàng.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có bao nhiêu tâm đối xứng?

  • A  Không có                              
  • B  Một                           
  • C  Hai                                        
  • D  Vô số.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Vẽ hình và tìm tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết:

Hình gồm hai đường tròn phân biệt có cùng bán kính có tâm đối xứng duy nhất là trung điểm có đoạn thẳng nối tâm hai đường tròn đó.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Trong mặt phẳng Oxy, tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( 1;0 \right)\)

  • A  \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)            
  • B  \({{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)                       
  • C  \({{x}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=1\)           
  • D  \({{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn khác cùng bán kính.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn (C) có tâm \(K\left( 0;0 \right)\) và bán kính \(R=1\)

Gọi Đ\(_{I}\left( K \right)\,=K'\Rightarrow \) I là trung điểm của KK’ \(\Rightarrow K'\left( 2;0 \right)\)

Đ\(_{I}\left( C \right)\,=\left( C' \right)\Rightarrow \) Đường tròn (C’) có tâm \(K'\left( 2;0 \right)\) và bán kính \(R'=R=1\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=1\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):\,\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=16\). Giả sử qua phép đối xứng tâm I điểm \(A\left( 1;3 \right)\) biến thành điểm \(B\left( a;b \right)\). Tìm phương trình của đường tròn \(\left( C' \right)\) là ảnh của đường tròn \(\left( C \right)\) qua phép đối xứng tâm I.

  • A \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}=1\)                           
  • B  \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}=4\)
  • C \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}=9\)                           
  • D  \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}=16\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn khác cùng bán kính.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(K\left( 1;3 \right)\) và có bán kính \(R=4\)

Đ\(_{I}\left( A \right)\,=\,B,\) Đ\(_{I}\left( C \right)\,=\left( C' \right)\Rightarrow B\left( a;b \right)\) là tâm của đường tròn \(\left( C' \right)\)  và đường tròn \(\left( C' \right)\) có bán kính \(R'=R=4\). Vậy phương trình đường tròn \(\left( C' \right)\) là: \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}=16\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Phép đối xứng tâm \(I\left( 1;1 \right)\) biến đường thẳng \(d:\,\,x+y+2=0\) thành đường thẳng d’ có phương trình là:

  • A  \(x+y+4=0\)               
  • B \(x+y+6=0\)                
  • C  \(x+y-6=0\)                
  • D  \(x+y=0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Lời giải chi tiết:

Gọi d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I \(\Rightarrow d'//d\Rightarrow \) phương trình d’ có dạng \(x+y+c=0\)

Lấy \(A\left( -1;-1 \right)\in d\). Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng tâm I \(\Rightarrow I\) là trung điểm của AA’ \(\Rightarrow A'\left( 3;3 \right)\)

\(\Rightarrow A'\in d'\Leftrightarrow 3+3+c=0\Leftrightarrow c=-6\)

Vậy phương trình đường thẳng d’ là \(x+y-6=0\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu phép đối xứng tâm biến điểm \(A\left( 5;2 \right)\) thành điểm \(A'\left( -3;4 \right)\) thì nó biến điểm \(B\left( 1;-1 \right)\) thành điểm :

  • A  \(B'\left( 1;7 \right)\)                          
  • B  \(B'\left( 1;6 \right)\)                          
  • C  \(B'\left( 2;5 \right)\)                          
  • D  \(B'\left( 1;-5 \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

 

Đ\(_{I}\left( M \right)\,=M'\Rightarrow I\) là trung điểm của MM’

Lời giải chi tiết:

Đ\(_{I}\left( A \right)\,=A'\Rightarrow I\) là trung điểm của AA’ \(\Rightarrow I\left( 1;3 \right)\)

Đ\(_{I}\left( B \right)\,=B'\Rightarrow I\) là trung điểm của BB’ \(\Rightarrow B\left( 1;7 \right)\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song a và b lần lượt có phương trình là \(3x+4y-1=0\) và \(3x+4y+5=0\). Nếu phép đối xứng tâm biến a thành b thì tâm đối xứng phải là điểm nào trong các điểm sau đây ?

  • A  \(I\left( 2;-2 \right)\)                          
  • B  \(I\left( 2;2 \right)\)                            
  • C  \(I\left( -2;2 \right)\)                          
  • D  \(I\left( 2;0 \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Nếu phép đối xứng tâm biến a thành b thì tâm đối xứng nằm trên đường thẳng song song và cách đều a và b

Lời giải chi tiết:

Nếu phép đối xứng tâm biến a thành b thì tâm đối xứng nằm trên đường thẳng song song và cách đều a và b.

Đường thẳng song song và cách đều a và b có phương trình là \(3x+4y+2=0\)

Ta thấy chỉ có điểm \(I\left( 2;-2 \right)\) thuộc đường thẳng \(3x+4y+2=0\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho điểm M và hai phép đối xứng tâm \({{O}_{1}}\) và \({{O}_{2}}\). Gọi Đ\(_{{{O}_{1}}}\left( M \right)={{M}_{1}}\) , Đ\(_{{{O}_{2}}}\left( {{M}_{1}} \right)={{M}_{2}}\). Trong  các đẳng thức vec tơ sau, đẳng thức nào đúng?

  • A  \(\overrightarrow{M{{M}_{2}}}=2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}\)               
  • B  \(\overrightarrow{M{{M}_{2}}}=-2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}\)              
  • C  \(\overrightarrow{M{{M}_{2}}}=\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}\)                 
  • D \(\overrightarrow{M{{M}_{2}}}=-\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đ\(_{{{O}_{1}}}\left( M \right)={{M}_{1}}\Rightarrow {{O}_{1}}\) là trung điểm của \(M{{M}_{1}}\)

Đ\(_{{{O}_{2}}}\left( {{M}_{1}} \right)={{M}_{2}}\Rightarrow {{O}_{2}}\) là trung điểm của \({{M}_{1}}{{M}_{2}}\)

Lời giải chi tiết:

Đ\(_{{{O}_{1}}}\left( M \right)={{M}_{1}}\Rightarrow {{O}_{1}}\) là trung điểm của \(M{{M}_{1}}\)

Đ\(_{{{O}_{2}}}\left( {{M}_{1}} \right)={{M}_{2}}\Rightarrow {{O}_{2}}\) là trung điểm của \({{M}_{1}}{{M}_{2}}\)

\(\Rightarrow {{O}_{1}}{{O}_{2}}\) là đường trung bình của tam giác \(M{{M}_{1}}{{M}_{2}}\)

\(\Rightarrow {{O}_{1}}{{O}_{2}}//M{{M}_{2}}\) và \(2{{O}_{1}}{{O}_{2}}=M{{M}_{2}}\)

 \(\Rightarrow \overrightarrow{M{{M}_{2}}}=2\overrightarrow{{{O}_{1}}{{O}_{2}}}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d’. Có bao nhiêu phép đối xứng tâm biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó.

  • A  Không có phép nào                           
  • B  Có một phép duy nhất
  • C  Chỉ có hai phép                                 
  • D Có vô số phép.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Qua một phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi tâm đối xứng là điểm thuộc đường thẳng nó.

Lời giải chi tiết:

Qua một phép đối xứng tâm, đường thẳng biến thành chính nó khi và chỉ khi tâm đối xứng là điểm thuộc đường thẳng nó.

Gọi O là tâm đối xứng sao cho qua phép đối xứng tâm O biến mỗi đường thẳng d và d’ thành chính nó.

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align}  O\in d \\  O\in d' \\ \end{align} \right.\Rightarrow O=d\cap d'\) và O là duy nhất.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng ?

  • A  \(y=2{{x}^{2}}-3x+1\)                    
  • B  \(y={{x}^{3}}+x-5\)            
  • C  \(y={{x}^{3}}\tan x\)          
  • D  \(y=\sin x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Lời giải chi tiết:

Giả sử đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Điểm \(M\left( x;y \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\Rightarrow M'\left( -x;-y \right)\) là điểm đối xứng với M qua gốc tọa độ O cũng thuộc đồ thị hàm số  \(y=f\left( x \right)\)

\(\Rightarrow -y=f\left( -x \right)\Rightarrow f\left( -x \right)=-f\left( x \right)\Rightarrow y=f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Vậy hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án D có : \(f\left( -x \right)=\sin \left( -x \right)\sqrt{{{\left( -x \right)}^{2}}+1}=-\sin x\sqrt{{{x}^{2}}+1}=-f\left( x \right)\)

\(\Rightarrow \) Hàm số \(y=\sin x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) là hàm số lẻ và nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình \(y={{x}^{2}}-2x\) và điểm \(I\left( -3;1 \right)\). Phép đối xứng tâm ĐI biến parabol (P) thành parabol (P’) có phương trình là :

  • A \(y=-{{x}^{2}}-14x-46\)                                           
  • B \(y=-{{x}^{2}}+14x-5\)
  • C \(y=-{{x}^{2}}-7x+12\)                                                        
  • D \(y=-{{x}^{2}}+6x+3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm 

\(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - 6 - x\\y' = 2 - y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 6 - x'\\y = 2 - y'\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 6 - x';2 - y'} \right) \in \left( P \right)\)

Thay vào ta có :

\(\begin{align}  2-y'={{\left( -6-x' \right)}^{2}}-2\left( -6-x' \right) \\  \Leftrightarrow 2-y'=x{{'}^{2}}+12x'+36+12+2x' \\  \Leftrightarrow y'=-x{{'}^{2}}-14x'-46 \\ \end{align}\) 

Do Đ\(_{I}\left( P \right)=\left( P' \right)\Rightarrow M'\in \left( P' \right)\), do đó phương trình parabol (P’) là: \(y=-{{x}^{2}}-14x-46\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\,\,Ax+By+C=0\) và điểm \(I\left( a;b \right)\). Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng \(\Delta \) thành đường thẳng \(\Delta '\). Viết phương trình \(\Delta '\).

  • A  \(\left( \Delta ' \right):\,\,Ax+By+C-2aA-2bB=0\)                 
  • B  \(\left( \Delta ' \right):\,\,Ax-By+C-2aA-2bB=0\)
  • C  \(\left( \Delta ' \right):\,\,Ax-By-C-2aA-2bB=0\)                  
  • D  \(\left( \Delta ' \right):\,\,Ax+By-C-2aA-2bB=0\)    

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lấy điểm \(M\left( x;y \right)\) bất kì thuộc \(\Delta \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M'\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I.

Từ đó suy ra phương trình đường thẳng \(\Delta '\)

Lời giải chi tiết:

Lấy điểm \(M\left( x;y \right)\in \Delta \), gọi \(\left\{ \begin{array}{l}x + x' = 2a\\y + y' = 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2a - x'\\y = 2b - y'\end{array} \right.\) 

Thay vào phương trình \(\Delta \) ta có:

\(\begin{align}  A\left( 2a-x' \right)+B\left( 2b-y' \right)+C=0 \\  \Leftrightarrow 2aA-Ax'+2bB-By'+C=0 \\  \Leftrightarrow Ax'+By'-C-2aA-2bB=0 \\ \end{align}\)

Do \(M'\left( x';y' \right)\in \Delta '\), do đó phương trình đường thẳng \(\Delta '\) có dạng:  \(\left( \Delta ' \right):\,\,Ax+By-C-2aA-2bB=0\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho hai khẳng định sau:

(I) Nếu một hình nào đó có hai trục đối xứng vuông góc với nhau thì hình đó có tâm đối xứng.

(II) Cho phép đối xứng tâm ĐO và đường thẳng d không đi qua O. Có thể dựng d’ là ảnh của d qua ĐO mà chỉ sử dụng compa một lần và thước hai lần.

Chọn kết luận đúng:

  • A  (I) đúng, (II) sai                                                         
  • B  (I) sai, (II) đúng
  • C  Cả hai đều đúng                                                       
  • D  Cả hai đều sai.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Suy luận từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

(I) đúng, tâm đối xứng của hình đó chính là giao điểm của hai trục đối xứng.

(II) Cách dựng đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O.

Bước 1: Lấy một điểm M bất kì thuộc d

Bước 2: Vẽ đường tròn tâm O bán kính OM.

Bước 3: Kéo dài OM, cắt đường tròn tâm O bán kính OM tại điểm thứ hai N.

Bước 4: Qua N kẻ đường thẳng song song với d.

Vậy ta cần dùng compa ở bước 2 và dùng thước ở bước 3 và 4.

Do đó cả (I) và (II) đều đúng.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm \(A\left( 0;1 \right),B\left( 2;-1 \right)\) và parabol (P) có phương trình \(y={{x}^{2}}\). Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng tâm A và B theo thứ tự khi đó (P) thành (P’’) có phương trình là:

  • A  \(y={{x}^{2}}+6x+4\)              
  • B  \(y={{x}^{2}}+4x-10\)             
  • C  \(y={{x}^{2}}-8x+12\)             
  • D  \(y={{x}^{2}}-4x+8\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Lấy điểm \(M\left( x;y \right)\) bất kì thuộc P, suy ra tọa độ điểm M’(x’; y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A và tọa độ điểm M’’(x’’; y’’) là ảnh của M’ qua phép đối xứng tâm B.

Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa x’’ và y’’, từ đó suy ra phương trình (P’’).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( x;y \right)\) là điểm bất kì thuộc (P). Gọi \(M'\left( x';y' \right)\) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A \(\Rightarrow A\) là trung điểm của MM’, do đó ta có : \(\left\{ \begin{align}  x=-x' \\  y=2-y' \\ \end{align} \right.\,\,\left( 1 \right)\)

Gọi \(M''\left( x'';y'' \right)\) là ảnh của điểm M’ qua phép đối xứng tâm B \(\Rightarrow B\) là trung điểm của M’M’’, do đó ta có:

\(\left\{ \begin{align}  x'=4-x'' \\  y'=-2-y'' \\ \end{align} \right.\,\,\,\left( 2 \right)\) , thay vào (1) ta có: \(\left\{ \begin{align}  x=-4+x'' \\  y=4+y'' \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( -4+x'';4+y'' \right)\)

Do điểm \(M\in \left( P \right)\Rightarrow \) Thay tọa độ điểm M vào phương trình parabol (P) ta có:

\(\begin{align}  4+y''={{\left( -4+x'' \right)}^{2}}\Leftrightarrow 4+y''=x'{{'}^{2}}-8x''+16 \\  \Leftrightarrow y''=x'{{'}^{2}}-8x''+12 \\ \end{align}\)

\(\begin{align}  \left( P \right)\,\xrightarrow{{{Đ}_{A}}}\,\left( P' \right)\,\xrightarrow{{{Đ}_{B}}}\,\left( P'' \right) \\  M\,\,\xrightarrow{{{Đ}_{A}}}\,\,\,M'\xrightarrow{{{Đ}_{B}}}\,M'' \\ \end{align}\)

Do đó \(M''\in \left( P'' \right)\) , vậy phương trình (P’’) có dạng \(y={{x}^{2}}-8x+12\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho tam giác ABC và đường tròn tâm O. Trên đoạn AB, lấy điểm E sao cho BE = 2AE, F là trung điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF. Với mỗi điểm P trên (O) ta dựng điểm Q sao cho \(\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ}\). Khi đó tập hợp điểm Q khi P thay đổi là:

  • A  đường tròn tâm O’ ảnh của đường tròn (O) qua ĐI.
  • B đường tròn tâm O’ ảnh của đường tròn (O) qua ĐE.
  • C  đường tròn tâm O’ ảnh của đường tròn (O) qua ĐF.
  • D  đường tròn tâm O’ ảnh của đường tròn (O) qua ĐB.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Gọi K là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\), chứng minh \(K\equiv I\)

Từ giả thiết ban đầu, sử dụng công thức 3 điểm, chứng minh I là trung điểm của PQ, suy ra quỹ tích điểm Q khi P di động.

Lời giải chi tiết:

Gọi K là điểm xác định bởi \(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}\)

Khi đó  \(\overrightarrow{KA}+2\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AB} \right)+3\left( \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AC} \right)=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 6\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\begin{align}  \Rightarrow\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AI}\Rightarrow K\equiv I \\  \Rightarrow\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0} \\\end{align}\)

Từ giả thiết ta có

\(\begin{align}  \overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=6\overrightarrow{IQ} \\  \Leftrightarrow \overrightarrow{PI}+\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{PI}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{PI}+3\overrightarrow{IC}=6\overrightarrow{IQ} \\  \Leftrightarrow 6\overrightarrow{PI}+\underbrace{\left( \overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC} \right)}_{\overrightarrow{0}}=6\overrightarrow{IQ} \\  \Leftrightarrow \overrightarrow{PI}=\overrightarrow{IQ} \\ \end{align}\)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của PQ \(\Rightarrow \) Đ\(_{I}\left( P \right)=Q\Rightarrow \) Khi P di động trên (O) thì Q di động trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm I.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm \(A\left( { - 1;2} \right),\,B\left( {3;4} \right),\,C\left( {4; - 3} \right)\). Phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right)\) biến tam giác \(ABC\) thành tam giác\(A'B'C'\). Tìm tọa độ điểm \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\).

  • A  \(G'\left( {3;0} \right)\).                                
  • B \(G'\left( {0;4} \right)\).                                 
  • C \(G'\left( {4;5} \right)\).                                 
  • D  \(G'\left( {0;3} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phép đối xứng tâm I biến trọng tâm tam giác \(ABC\) thành trọng tâm tam giác\(A'B'C'\).

 

Lời giải chi tiết:

\(A\left( { - 1;2} \right),\,B\left( {3;4} \right),\,C\left( {4; - 3} \right) \Rightarrow \)Trọng tâm tam giác \(ABC\) là: \(G\left( {2;1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 + x' = 2.1\\1 + y' = 2.2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = 0\\y' = 3\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow G'\left( {0;3} \right)\)

Chọn: D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng\(d:\,\,x - 2y + 2 = 0\) và \(d':\,\,x - 2y - 8 = 0\). Tìm phép đối xứng tâm biến \(d\) thành \(d'\).

  • A \(\left( {0;\dfrac{3}{2}} \right)\)
  • B \(\left( {\dfrac{3}{2};0} \right)\)
  • C \(\left( {0; - \dfrac{3}{2}} \right)\)
  • D \(\left( { - \dfrac{3}{2};0} \right)\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

Lấy \(A\left( {0;1} \right) \in d\), \(B\left( {0; - 4} \right) \in d'\).

Vậy trung điểm \(I\) của đoạn \(AB\) là tâm đối xứng biến \(d\) thành \(d'\)\( \Rightarrow I\left( {\dfrac{{0 + 0}}{2};\dfrac{{1 + \left( { - 4} \right)}}{2}} \right) \Leftrightarrow I\left( {0;\dfrac{{ - 3}}{2}} \right)\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(I\left( {1;2} \right)\) và điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\).Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 6 = 0\). Hãy xác định tọa độ của \(M'\)  và \(\left( {C'} \right)\) theo thứ tự là ảnh của \(M\)và \(\left( C \right)\)  qua phép đối xứng qua tâm \(I\).

  • A \(M'\left( {4;1} \right),\,\,\left( {C'} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 6 = 0\)
  • B \(M'\left( {4;1} \right),\,\,\left( {C'} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 6 = 0\)
  • C \(M'\left( { - 4;1} \right),\,\,\left( {C'} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 6 = 0\)
  • D \(M'\left( {4; - 1} \right),\,\,\left( {C'} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 6x - 2y + 6 = 0\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 2.1 - x = 2 - x\\y' = 2.2 - y = 4 - y\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - x'\\y = 4 - y'\end{array} \right.\).

\(M' = {D_I}\left( M \right)\)\( \Rightarrow M':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x' = 2 - \left( { - 2} \right) = 4\\y' = 4 - 3 = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M'\left( {4;1} \right)\).

\(\left( {C'} \right) = {D_I}\left( C \right)\)\( \Rightarrow {\left( {2 - x'} \right)^2} + {\left( {4 - y'} \right)^2} + 2\left( {2 - x'} \right) - 6\left( {4 - y'} \right) + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} - 6x' - 2y' + 6 = 0\).

Vậy \(\left( {C'} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - 2y + 6 = 0\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(A\left( { - 1;3} \right)\) và đường thẳng \(d:x - 2y + 3 = 0\) . Tìm ảnh của \(A\) và \(d\) qua phép đối xứng tâm \(O.\)

  • A \(A'\left( {1; - 3} \right),\,\,d':\,\,x - 2y - 3 = 0\)
  • B \(A'\left( {1; - 3} \right),\,\,d':\,\,x + 2y - 3 = 0\)
  • C \(A'\left( {1;3} \right),\,\,d':\,\,x - 2y - 3 = 0\)
  • D \(A'\left( { - 1;3} \right),\,\,d':\,\,x - 2y - 3 = 0\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} =  - {x_A} = 1\\{y_{A'}} =  - {y_A} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1; - 3} \right)\).

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x'\\y =  - y'\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow  - x' + 2y' + 3 = 0 \Leftrightarrow x' - 2y' - 3 = 0\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d':\,\,x - 2y - 3 = 0\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho hình bình hành \(ABCD\) . Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng kẻ qua \(O\) và vuông góc với \(AB\) , cắt \(AB\) ở \(E\) và cắt \(CD\) ở \(F\) . Hãy chỉ ra trên hình các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm \(O\) .

Lời giải chi tiết:

Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(AB\) \( \Rightarrow EF \bot AB\)

Mà \(AB\parallel CD\) (tính chất hình bình hành) \( \Rightarrow EF \bot CD\)

Các cặp điểm trên hình vẽ đối xứng với nhau qua tâm \(O\) là:

      +) \(A\) đối xứng với \(C\) qua \(O\).

      +) \(B\) đối xứng với \(D\) qua \(O\).

            +) \(C\) đối xứng với \(F\) qua \(O\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Cho tứ giác \(ABCE\). Dựng ảnh của tam giác \(ABC\) qua phép đối xứng tâm \(E\)?

Lời giải chi tiết:

Ảnh của tam giác \(ABC\) qua phép đối xứng tâm \(E\) là tam giác \(A'B'C'\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho đường thẳng \(d:x - y + 4 = 0\). Hỏi đường thẳng nào trong các đường thẳng sau có ảnh là \(d\) trong phép đối xứng tâm \(I\left( {4;1} \right)\)?

  • A

    \(x - y + 2 = 0\)

     
  • B

    \(x - y - 10 = 0\)

     
  • C \(x - y - 8 = 0\)
  • D \(x - y + 6 = 0\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Phép đối xứng biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó

+ Gọi đường thẳng \(d'\) có ảnh là \(d \Rightarrow d'\parallel d\).

\( \Rightarrow d'\) có dạng: \(x - y + c = 0\)

+ Chọn điểm \(A\left( {0;4} \right) \in d\).

+ Phép đối xứng tâm \(I\) biến điểm \(A\) thuộc \(d\) thành \(A'\) thuộc \(d'\) \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A}\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 8\\{y_{A'}} =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {8; - 2} \right)\).

Vì \(A' \in d'\), thay điểm \(A'\) vào \(d'\) ta có: \(8 - \left( { - 2} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 10\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d':\,\,x - y - 10 = 0\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho đường thẳng \(d:x = 2\) Hỏi đường thẳng nào trong các đường thẳng sau là ảnh của d trong phép đối xứng tâm \(O\left( {0;0} \right)\)?

  • A \(y = 2\)
  • B \(y = 2\)
  • C \(x = 2\)
  • D \(x =  - 2\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Từ hình vẽ ta thấy ảnh của \(d\) trong phép đối xứng tâm \(O\left( {0;0} \right)\) là đường thẳng \(d':x =  - 2\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Số chữ cái có tâm đối xứng trong tên trường “ TRÍ ĐỨC” là :

  • A 0
  • B 1
  • C 2
  • D 3

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

“TRÍ ĐỨC” có chữ I có tâm đối xứng.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.