30 bài tập tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc bằng

  • A \(k = 12\)
  • B \(k = 8\)
  • C \(k = 4\)
  • D \(k =  - 12\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) có hệ số góc \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc \(k = f'\left( 2 \right) = {3.2^2} = 12\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} - 1\,\,\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)biết tiếp tuyến đi qua \(A\left( {2;3} \right)\)

  • A \(y = \dfrac{{15}}{8}x - \dfrac{{3}}{{4}}\)
  • B \(y = \dfrac{{15}}{8}x - \dfrac{{3}}{{4}}\), \(y = 12x - 21\).

     

  • C \(y = 12x - 7\).

     

  • D \(y = 12x - 27\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {2;3} \right)\)nên thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tìm \({x_0}\).

+  Thay ngược lại \({x_0}\) tìm phương trình tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Ta có:\(k = f'\left( {{x_0}} \right) = 6x_0^2 - 6{x_0}\)

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = \left( {6x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + 2x_0^3 - 3x_0^2 - 1\,\,\left( \Delta  \right)\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {2;3} \right)\)nên:

\(\begin{array}{l}3 = \left( {6x_0^2 - 6{x_0}} \right)\left( {2 - {x_0}} \right) + 2x_0^3 - 3x_0^2 - 1\\ \Leftrightarrow 12x_0^2 - 6x_0^3 - 12{x_0} + 6x_0^2 + 2x_0^3 - 3x_0^2 - 4 = 0\\ \Leftrightarrow  - 4x_0^3 + 15x_0^2 - 12{x_0} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - \dfrac{1}{4}\\{x_0} = 2\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \({x_0} =  - \dfrac{1}{4}\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = \dfrac{{15}}{8}\left( {x + \dfrac{1}{4}} \right) - \dfrac{{39}}{{32}}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{15}}{8}x - \dfrac{{3}}{{4}}\).

+ Với \({x_0} =  2\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = 12\left( {x - 2} \right) + 3\)\( \Leftrightarrow y = 12x - 21\).

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y = \dfrac{{15}}{8}x- \dfrac{{3}}{{4}}\), \(y = 12x - 21\).

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho hàm số\(y = f\left( x \right) = \dfrac{{x + 2}}{{2 - x}}\,\,\left( C \right)\). Từ điểm \(A\left( {3;4} \right)\) có thể kẻ được tất cả bao nhiêu tiếp tuyến đến đường cong \(\left( C \right)\).

  • A \(3\)
  • B \(2\)
  • C \(1\)
  • D \(4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {3;4} \right)\)nên thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tìm \({x_0}\).

+  Thay ngược lại \({x_0}\) tìm phương trình tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết:

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Ta có:\(k = f'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{4}{{{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2}}}\)

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = \dfrac{4}{{{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2 - {x_0}}}\,\,\left( \Delta  \right)\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {3;4} \right)\)nên:

\(\begin{array}{l}4 = \dfrac{4}{{{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {3 - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2 - {x_0}}}\\ \Leftrightarrow 4{\left( {2 - {x_0}} \right)^2} = 4\left( {3 - {x_0}} \right) + \left( {{x_0} + 2} \right)\left( {2 - {x_0}} \right)\\ \Leftrightarrow 4x_0^2 - 16{x_0} + 16 = 12 - 4{x_0} + 4 - x_0^2\\ \Leftrightarrow 5x_0^2 - 12{x_0} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \dfrac{{12}}{5}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

+ Với \({x_0} = 0\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = 1.\left( {x - 0} \right) + 1\)\( \Leftrightarrow y = x + 1\).

+ Với \({x_0} = \dfrac{{12}}{5}\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = 25\left( {x - \dfrac{{12}}{5}} \right) - 11\)\( \Leftrightarrow y = 25x - 71\).

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y = x + 1\), \(y = 25x - 71\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho hàm số\(y = f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{4}{x^4} + 2{x^2} - 1\,\,\left( C \right)\). Từ điểm \(A\left( {0; - 1} \right)\) có thể kẻ được tất cả bao nhiêu tiếp tuyến đến đường cong \(\left( C \right)\).

  • A \(3\)
  • B \(4\)
  • C \(2\)
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\)nên thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình tìm \({x_0}\).

+  Thay ngược lại \({x_0}\) tìm phương trình tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết:

+ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là tiếp điểm và \(\Delta \)là tiếp tuyến tại \(M\).

+ Ta có:\(k = f'\left( {{x_0}} \right) =  - x_0^3 + 4{x_0}\)

+ Phương trình tiếp tuyến tại\(M\)có dạng:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\) \( \Leftrightarrow y = \left( { - x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 - 1\,\,\left( \Delta  \right)\)

+  Do \(\Delta \)đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\)nên:

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 1 = \left( { - x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( { - {x_0}} \right) - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 - 1\\ \Leftrightarrow x_0^4 - 4x_0^2 - \dfrac{1}{4}x_0^4 + 2x_0^2 = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{4}x_0^4 - 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\\{x_0} =  - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \({x_0} = 0\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y =  - 1\).

+ Với \({x_0} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}\left( {x - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) + \dfrac{{23}}{9}\)\( \Leftrightarrow y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x - \dfrac{{41}}{9}\).

+ Với \({x_0} =  - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}\) thì \(\left( \Delta  \right):\,\,y =  - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}\left( {x - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right) + \dfrac{{23}}{9}\)\( \Leftrightarrow y =  - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x + \dfrac{{55}}{9}\).

Vậy có ba tiếp tuyến thỏa mãn là: \(y =  - 1\), \(y = \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x - \dfrac{{41}}{9}\), \(y =  - \dfrac{{8\sqrt 6 }}{9}x + \dfrac{{55}}{9}\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 2x - 3\) tại điểm \(A\left( {1;0} \right)\) có hệ số góc bằng

  • A \( - 1\).       
  • B \(5\)
  • C \( - 5\)
  • D \( 1\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y = {x^3} + 2x - 3 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 2\)

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;0} \right)\) là: \(k = y'\left( 1 \right) = 5.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \sqrt {2x + 1} \) tại điểm có hoành độ \(x = 0\).

  • A \(y = x + 1\)
  • B \(y = x\)
  • C \(y = x - 1\)
  • D \(y = 2x + 1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\): \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left[ { - \dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' = \dfrac{2}{{2\sqrt {2x + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}\)\( \Rightarrow y'\left( 0 \right) = 1\) và \(y\left( 0 \right) = 1\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là: \(y = 1\left( {x - 0} \right) + 1 \Leftrightarrow y = x + 1\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {m;0} \right)\) sao cho từ \(M\) vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

  • A \(m \in \left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\)
  • B \(m \in \left( { - 1; - \dfrac{1}{2}} \right)\)
  • C \(m \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\)
  • D \(m \in \left( { - \dfrac{1}{2};0} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\): \(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}.\)

- Cho \(M\left( {m;0} \right)\) thuộc tiếp tuyến trên, lập phương trình ẩn \({x_0}\) (tham số \(m\)).

- Tìm điều kiện để phương trình ẩn \({x_0}\) có 3 nghiệm phân biệt, áp dụng định lí Vi-ét.

- Sử dụng điều kiện 2 đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích hệ số góc của chúng bằng \( - 1\), giải phương trình tìm \(m\) và đối chiếu điều kiện.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\). Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(y = \left( {3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2\).

Tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {m;0} \right)\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,0 = \left( {3x_0^2 + 6{x_0}} \right)\left( {m - {x_0}} \right) + x_0^3 + 3x_0^2\\ \Leftrightarrow 0 = 2x_0^3 + 3x_0^2 - 3mx_0^2 - 6m{x_0}\\ \Leftrightarrow {x_0}\left( {2x_0^2 + 3{x_0} - 3m{x_0} - 6m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\2x_0^2 + 3\left( {1 - m} \right){x_0} - 6m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Để từ \(M\) kẻ được 3 tiếp tuyến đến \(\left( C \right)\) thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(0\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 9{\left( {1 - m} \right)^2} + 48m > 0\\ - 6m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} + 30m + 9 > 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >  - \dfrac{1}{3}\\m <  - 3\end{array} \right.\\m \ne 0\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{3m - 3}}{2}\\{x_1}{x_2} =  - 3m\end{array} \right.\).

Hệ số góc của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}{k_0} = y'\left( 0 \right) = 0\\{k_1} = y'\left( {{x_1}} \right) = 3x_1^2 + 6{x_1}\\{k_2} = y'\left( {{x_2}} \right) = 3x_2^2 + 6{x_2}\end{array} \right.\).

Vì từ từ \(M\) vẽ được ba tiếp tuyến đến đồ thị \(\left( C \right)\), trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau nên ta có:

\(\begin{array}{l}{k_1}{k_2} =  - 1 \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 + 6{x_1}} \right)\left( {3x_2^2 + 6{x_2}} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 18{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 36{x_1}{x_2} =  - 1\\ \Leftrightarrow 9.{\left( { - 3m} \right)^2} + 18\left( { - 3m} \right).\dfrac{{3m - 3}}{2} + 36\left( { - 3m} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 81{m^2} - 81{m^2} + 81m - 108m =  - 1\\ \Leftrightarrow  - 27m =  - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{{27}}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\,\,\left( C \right)\) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( - 1\).

  • A \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,y =  - x + 1,\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,y =  - x - 1\)
  • B \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,y =  - x + 1,\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,y =  - x - 2\)
  • C \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,y =  - x - 1,\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,y =  - x - 3\)
  • D \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,y =  - x + 3,\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,y =  - x - 1\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm và \(\Delta \) là tiếp tuyến tại \(M\).

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

\(\begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{{x_0} - 1}}}}{{x - {x_0}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x_0} - 1 - x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)\left( {x - {x_0}} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\end{array}\).

Vậy từ giả thiết ta suy ra \( - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} =  - 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {2;1} \right)\\{M_2}\left( {0; - 1} \right)\end{array} \right.\) .

+ Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_1}\left( {2;1} \right)\) có dạng:  \(y =  - 1.\left( {x - 2} \right) + 1 \Leftrightarrow y =  - x + 3\).

+ Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_2}\left( {0; - 1} \right)\) có dạng:  \(y =  - 1.\left( {x - 0} \right) - 1 \Leftrightarrow y =  - x - 1\).

Kết luận: \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,y =  - x + 3,\,\,\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,y =  - x - 1\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\,\,\,\left( C \right)\) tại điểm có tung độ \({y_0} =  - 2\).

  • A \(y=9x+7\), \( y = x + 2\)
  • B \(y=-9x+7\), \(y = x - 2\)
  • C \(y=9x-7\), \(y = - 1\)
  • D \(y=9x+7\), \(y = - 2\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm và \(\Delta \) là tiếp tuyến tại \(M\).

Với \({y_0} =  - 2 \Leftrightarrow x_0^3 - 3x_0^2 + 2 =  - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{x_0} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( { - 1; - 2} \right)\\{M_2}\left( {2; - 2} \right)\end{array} \right.\).

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \({M_1}\) là \({k_1} = f'\left( { - 1} \right)\).

\(\begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2 - \left( { - 2} \right)}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} {\left( {x - 2} \right)^2} = 9\end{array}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_1}\left( { - 1; - 2} \right)\) có dạng: \(y = 9.\left( {x + 1} \right) - 2 \Leftrightarrow y = 9x+7\).

Kết luận: \(\left( {{\Delta _1}} \right):\,\,y = x - 1\).

+ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \({M_2}\) là \({k_2} = f'\left( 2 \right)\).

\(\begin{array}{l}f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 2 - \left( { - 2} \right)}}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\end{array}\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \({M_2}\left( {2; - 2} \right)\) có dạng: \(y = 0.\left( {x + 1} \right) - 2 \Leftrightarrow y =  - 2\).

Kết luận: \(\left( {{\Delta _2}} \right):\,\,y =  - 2\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} + 2x\,\,\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\).

  • A \(y = 4x + 1\)
  • B \(y = 4x - 1\)
  • C \(y = 4x - 2\)
  • D \(y = 4x + 2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = {x_0}\) có dạng: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\) là tiếp điểm và \(\Delta \) là tiếp tuyến tại \(M\).

Với \({x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 3 \Rightarrow M\left( {1;3} \right)\).

Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M\) là \(k = f'\left( 1 \right)\).

\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 3} \right) = 4\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {1;3} \right)\) có dạng: \(y = 4\left( {x - 1} \right) + 3 \Leftrightarrow y = 4x - 1\).

Kết luận: \(\left( \Delta  \right):\,\,y = 4x - 1\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Tiếp tuyến của đồ thị  hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) có phương trình là

  • A \(y = 9x + 4\).
  • B \(y = 9x - 5.\)
  • C \(y = 4x + 13\).
  • D \(y = 4x + 5\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x\) \( \Rightarrow y'\left( 1 \right) = {3.1^2} + 6.1 = 9\), \(y\left( 1 \right) = {1^3} + {3.1^2} = 4\).

Vậy tiếp tuyến của đồ thị  hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) có phương trình là

\(y = 9\left( {x - 1} \right) + 4\)\( \Leftrightarrow y = 9x - 5\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

  • A \(y =  - 3x  + 3\)
  • B \(y = 3x + 3\)
  • C \(y =  - 3x - 3\)
  • D \(y = 3x - 3\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x\)\( \Rightarrow y'\left( 1 \right) =  - 3\) và \(y\left( 1 \right) = 0\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng \(1\) là:

\(y =  - 3\left( {x - 1} \right) + 0\) \( \Leftrightarrow y =  - 3x + 3\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 2}}{{x - 1}}\) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(d:y = -x + 25.\)

  • A \(y =  - x - 6\).
  • B \(y =  - x + 2\).
  • C \(y =  - x - 4\).
  • D Không tồn tại.

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = a'x + b'\) song song khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\).

    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).

\(y = \dfrac{{3x - 2}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là: \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\).

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y =  - x + 25\) nên

\( - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} =  - 1\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 1\\{x_0} - 1 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 0\end{array} \right.\)

Với \({x_0} = 2\) ta có \({y_0} = 4\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\) là:

\(y =  - 1\left( {x - 2} \right) + 4 \Leftrightarrow y =  - x + 6\).

Với \({x_0} = 0\) ta có \({y_0} = 2\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) là:

\(y =  - 1\left( {x - 0} \right) + 2 \Leftrightarrow y =  - x + 2\).

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(y =  - x + 6\) và \(y =  - x + 2\).

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Đâu là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)?

  • A \(y - {y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
  • B \(y = f\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
  • C \(y + {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\)
  • D

    \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\). Khi đó tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có hệ số góc là:

  • A \(f'\left( {{x_0}} \right).\)
  • B \(f'\left( x \right).\)
  • C \(f'\left( {x - {x_0}} \right).\)
  • D \(f'\left( {x + {x_0}} \right).\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\). Khi đó tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có hệ số góc là \(f'\left( {{x_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\). Khi đó tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) có hệ số góc là \(f'\left( {{x_0}} \right).\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 2x + \dfrac{1}{3}\). Tìm điểm \(M\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) có hệ số góc nhỏ nhất.

  • A \(M\left( {2; - 1} \right)\)
  • B \(M\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)\)
  • C \(M\left( { - 1; - 4} \right)\)
  • D \(M\left( {1;\dfrac{2}{3}} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Hệ số góc của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\).

+) Đưa về dạng \(k = {g^2}\left( x \right) + C\,\,\left( {C = const} \right)\) và đánh giá.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = {x^2} - 4x + 2\).

Gọi hoành độ của điểm \(M\) là \({x_0} \Rightarrow \) Hệ số góc của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = x_0^2 - 4{x_0} + 2 = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} - 2 \ge  - 2\).

Do đó \({k_{\min }} =  - 2 \Leftrightarrow {x_0} - 2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = 2\).

Ta có \(f\left( 2 \right) =  - 1 \Rightarrow M\left( {2; - 1} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Cho hàm số \(y = {x^2} - 4x + 3\). Nếu tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M song song với đường thẳng \( - 8x + y - 2017 = 0\) thì hoành độ \({x_0}\) của điểm M là:

  • A \({x_0} =  - 1\)
  • B \({x_0} = 5\)
  • C \({x_0} = 12\)
  • D \({x_0} = 6\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(y = ax + b\) ta giải phương trình \(y'\left( {{x_0}} \right) = a\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 2x - 4\)

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ \({x_0}\) là: \(y'\left( {{x_0}} \right) = 2{x_0} - 4\)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \( - 8x + y - 2017 = 0 \Leftrightarrow y = 8x + 2017\)

\( \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 8 \Leftrightarrow 2{x_0} - 4 = 8 \Leftrightarrow {x_0} = 6\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x.\) Có tất cả bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - \,1;0} \right)\)?

  • A 1
  • B 2
  • C 3
  • D 4

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm thuộc đồ thị hàm số. Cho điểm thuộc tiếp tuyến để xác định giá trị của tham số m

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {m;y\left( m \right)} \right)\) thuộc \(\left( C \right) \Rightarrow \,\,y'\left( m \right) = 3{m^2} - 6m + 2\) và \(y\left( m \right) = {m^3} - 3{m^2} + 2m.\)

Suy ra phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là \(y - {m^3} + 3{m^2} - 2m = \left( {3{m^2} - 6m + 2} \right)\left( {x - m} \right).\)

Vì tiếp tuyến \(d\) đi qua \(A\left( { - \,1;0} \right)\) suy ra \( - \,{m^3} + 3{m^2} - 2m = \left( {3{m^2} - 6m + 2} \right)\left( { - \,1 - m} \right) \Leftrightarrow {m^3} - 3m + 1 = 0.\)

Giải phương trình, tìm được 3 nghiệm \(m\buildrel {} \over \longrightarrow \) Có tất cả 3 tiếp tuyến cần tìm.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + m\) (m là tham số) tại điểm có hoành độ \({x_0} =  - 1\) là đường thẳng có phương trình:

  • A \(x = m - 1\)
  • B \(y = 0\)
  • C \(y = m - 1\)
  • D \(y = m - 3\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) có phương trình \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = 4{x^3} - 4x \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) =  - 4 + 4 = 0\)

Tại \({x_0} =  - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = 1 - 2 + m = m - 1\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {-1;m-1} \right)\) là: \(y = 0.\left( {x + 1} \right) + m - 1 = m - 1\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {{x + 1} \over {x - 1}}\) tại điểm \(A\left( {2;3} \right)\) là:

  • A \(y = 2x - 1\)
  • B \(y = {1 \over 2}x + 4\)
  • C \(y =  - 2x + 1\)
  • D \(y =  - 2x + 7\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) có phương trình \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = {{x - 1 - x - 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =  - {2 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 2 \right) =  - 2\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {2;3} \right)\) là: \(y =  - 2\left( {x - 2} \right) + 3 =  - 2x + 7\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Nếu đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x\,\,\left( C \right)\) có tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y = 3x - 10\) thì số tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng đó là:

  • A 3
  • B 0
  • C 2
  • D 1

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) song song với đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = a\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 3 = 3 \Leftrightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \) Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(y = 3x - 10\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x\) tại điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) có hệ số góc k là:

  • A \(k =  - 1\)
  • B \(k =  1\)
  • C \(k =  - 7\)
  • D \(k =  - 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \({x_0}\) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 2x - 3 \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 2.1 - 3 =  - 1\)

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 3x\) tại điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) có hệ số góc \(k =  - 1\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,y = {{x + 1} \over {x - 2}}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\). Khi đường thẳng cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song với nhau thì m sẽ thuộc khoảng nào sau đây ?

  • A \(\left( { - 4; - 2} \right)\)
  • B \(\left( { - 2;0} \right)\)
  • C \(\left( {0;2} \right)\)
  • D \(\left( {2;4} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

Sử dụng định lí Vi-et suy ra tổng các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại A và B song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\eqalign{  & {{x + 1} \over {x - 2}} = x + m\,\,\left( {x \ne 2} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + mx - 2x - 2m  \cr   &  \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\,\,\left( * \right) \cr} \)

Đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,y = {{x + 1} \over {x - 2}}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\
4 + 2m - 6 - 2m - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 13 > 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\\
- 3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in R\)

Giả sử phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_A};{x_B}\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)\), theo định lí Vi-et ta có : \({x_A} + {x_B} = 3 - m\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại A và B song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)

Ta có : \(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\(\eqalign{  & y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_A} - 2} \right)}^2}}} = {{ - 3} \over {{{\left( {{x_B} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x_A} - 2 = 2 - {x_B} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 4  \cr   &  \Leftrightarrow 3 - m = 4 \Leftrightarrow m =  - 1 \in \left( { - 2;0} \right) \cr} \)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị hàm số \(y = {x^4} + x\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d:\,\,x + 5y = 0\) có phương trình là:

  • A \(y = 5x - 3\)
  • B \(y = 3x - 5\)
  • C  \(y = 2x - 3\)
  • D \(y = x + 4\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến \(\left( \Delta  \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\).

\(\Delta  \bot d \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right).{{ - 1} \over 5} =  - 1\).

Lời giải chi tiết:

\(d:\,\,x + 5y = 0 \Leftrightarrow y =  - {1 \over 5}x\)

Ta có: \(y = 4{x^3} + 1 \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:  \(y = \left( {4x_0^3 + 1} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + {x_0}\,\,\left( \Delta  \right)\)

\(\Delta  \bot d \Rightarrow \left( {4x_0^3 + 1} \right).{{ - 1} \over 5} =  - 1 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 1 = 5 \Leftrightarrow 4x_0^3 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 1\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:  \(y = 5\left( {x - 1} \right) + 2 = 5x - 3\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) song song với \(d:\,y = 9x\) có phương trình là:

  • A \(y = 9x + 40\)
  • B \(y = 9x - 40\)
  • C \(y = 9x + 32\)
  • D \(y = 9x - 32\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\left( d \right)\)

\(\left( d \right)//\left( {y = 9x} \right) \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 9\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = 3{x^2} - 12x + 9\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là \(y = \left( {3x_0^2 - 12{x_0} + 9} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^3 - 6x_0^2 + 9{x_0}\,\,\left( d \right)\)

\(d//\left( {y = 9x} \right) \Leftrightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = 9 \Rightarrow 3x_0^2 - 12{x_0} + 9 = 9 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  {x_0} = 0 \hfill \cr   {x_0} = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với \({x_0} = 4 \Rightarrow \left( d \right):\,y = 9\left( {x - 4} \right) + 4 = 9x - 32\)

Với \({x_0} = 0 \Rightarrow \left( d \right):\,\,y = 9\left( {x - 0} \right) + 0 = 9x\,\,\left( {ktm} \right)\)

Chọn D.  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2}\) tại điểm có tung độ bằng 5 có phương trình là?

  • A \(y = 12x - 7\)
  • B \(y =  - 12x - 7\)
  • C \(y = 12x + 17\)
  • D \(y =  - 12x + 17\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ bằng 5.

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_o};{y_0}} \right)\) là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & y = 5 \Leftrightarrow 2{x^3} + 3{x^2} = 5 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \left( C \right) \cap Oy = M\left( {1;5} \right)  \cr   & y' = 6{x^2} + 6x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 12 \cr} \)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {1;5} \right)\) là: \(y = 12\left( {x - 1} \right) + 5 = 12x - 7\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc \(k = ?\)

  • A \(k =  - 1\)
  • B \(k =  - 3\)
  • C \(k = 3\)
  • D \(k = 5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ bằng \({x_0}\) có hệ số góc \(k = f'\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow k = y'\left( 2 \right) =  - 3\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hàm số \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của d?

  • A \(3\sqrt 3 \)
  • B \(2\sqrt 2 \)
  • C \(\sqrt 6 \)        
  • D \(\sqrt 3 \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

Tính khoảng cách từ điểm A đến d.

Tìm GTLN của khoảng cách d.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:

\(\eqalign{  & y = {{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}}  \cr   &  \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + {{3{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}} = 0\,\,\,\left( \Delta  \right)  \cr   &  \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = {{\left| {{{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + {{3{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}}} \right|} \over {\sqrt {{9 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left| {{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|} \over {\sqrt {{9 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }}  \cr   & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{{{\left| {6{x_0} - 6} \right|} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \over {{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} } \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} = {{6\left| {{x_0} - 1} \right|} \over {\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} = 6\sqrt {{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}}  \cr} \)

Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {{t \over {{t^2} + 9}}} \)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t \over {{t^2} + 9}}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Có \(f'\left( t \right) = {{{t^2} + 9 - t.2t} \over {{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = {{ - {t^2} + 9} \over {{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

\(f\left( 3 \right) = {3 \over {18}} = {1 \over 6} \Rightarrow d = \sqrt 6  \Rightarrow {d_{max}} = \sqrt 6 \)

Chọn C.  

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) và B là giao điểm thứ hai của d với \(\left( C \right)\). Tính diện tích tam giác OAB ?

  • A 12
  • B 6
  • C 18
  • D 24

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm tọa độ điểm B.

Tính diện tích tam giác OAB: \({S_{\Delta OAB}} = {1 \over 2}d\left( {O;d} \right).AB\)

Lời giải chi tiết:

\(y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 9\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) là

\(y = 9\left( {x - 1} \right) + 5 = 9x - 4 \Leftrightarrow 9x - y - 4 = 0\,\,\left( d \right)\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} + 3{x^2} + 1 = 9x - 4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  x =  - 5 \Rightarrow y =  - 49 \hfill \cr   x = 1 \Rightarrow y = 5 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow B\left( { - 5; - 49} \right)\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 49 - 5} \right)}^2}}  = 6\sqrt {82}   \cr   & d\left( {O;AB} \right) = d\left( {O;d} \right) = {{\left| { - 4} \right|} \over {\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} = {4 \over {\sqrt {82} }}  \cr   &  \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = {1 \over 2}d\left( {O;d} \right).AB = {1 \over 2}.{4 \over {\sqrt {82} }}.6\sqrt {82}  = 12 \cr} \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2 là:

  • A \(\left( {{1 \over 4};{{ - 4} \over 3}} \right)\)
  • B \(\left( { - {1 \over 4}; - {4 \over 5}} \right)\)
  • C \(\left( {{3 \over 4}; - 4} \right)\)
  • D \(\left( { - {3 \over 4}; - {4 \over 7}} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\) có dạng \(M\left( {a;{1 \over {a - 1}}} \right)\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M.

Tìm giao điểm A, B của tiếp tuyến với các trục tọa độ. Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {a;{1 \over {a - 1}}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\).

Ta có: \(y' = {{ - 1} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( a \right) = {{ - 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M là: \(y = {{ - 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + {1 \over {a - 1}}\,\,\left( d \right)\)

\(\eqalign{  & A = \left( d \right) \cap Ox \Rightarrow 0 = {{ - 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) + {1 \over {a - 1}}  \cr   &  \Leftrightarrow {1 \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {x - a} \right) = {1 \over {a - 1}}  \cr   &  \Leftrightarrow x - a = a - 1 \Rightarrow x = 2a - 1 \Rightarrow A\left( {2a - 1;0} \right) \Rightarrow OA = \left| {2a - 1} \right|  \cr   & B = \left( d \right) \cap Oy \Rightarrow y = {{ - 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}\left( {0 - a} \right) + {1 \over {a - 1}}  \cr   &  \Leftrightarrow y = {a \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {a - 1}} = {{a + a - 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = {{2a - 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow B\left( {0;{{2a - 1} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}} \right) \Rightarrow OB = {{\left| {2a - 1} \right|} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}  \cr   &  \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = {1 \over 2}OA.OB = {1 \over 2}.\left| {2a - 1} \right|.{{\left| {2a - 1} \right|} \over {{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} \over {2{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = 2  \cr   &  \Leftrightarrow 4{a^2} - 4a + 1 = 4{a^2} - 8a + 4  \cr   &  \Leftrightarrow 4a = 3 \Leftrightarrow a = {3 \over 4} \Rightarrow M\left( {{3 \over 4}; - 4} \right) \cr} \)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.