30 bài tập đạo hàm cấp cao

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Cho \(f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 5,\) tính \(f''\left( 1 \right).\)

  • A \(f''\left( 1 \right) =  - 3.\)
  • B \(f''\left( 1 \right) = 2.\)
  • C \(f''\left( 1 \right) = 4.\) 
  • D \(f''\left( 1 \right) =  - 1.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm cơ bản để tính.

Lời giải chi tiết:

Ta có  \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x,\,\,f''\left( x \right) = 6x - 4 \Rightarrow f''\left( 1 \right) = 2.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

 Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\), giá trị của \(f''\left( 1 \right)\) bằng: 

  • A 6
  • B 8
  • C 3
  • D 2

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f(x), sử dụng bảng đạo hàm cơ bản.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align} & f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\Rightarrow f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2\Rightarrow f''\left( x \right)=6x \\ & \Rightarrow f''\left( 1 \right)=6 \\ \end{align}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Hàm số \(y=\frac{x}{x-2}\) có đạo hàm cấp hai là:

  • A  \(y''=0\)                      
  • B  \(y''=\frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}\)              
  • C \(y''=-\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\)              
  • D  \(y''=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp 1, sau đó tính đạo hàm cấp 2.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1.\left( x-2 \right)-x.1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=\frac{-2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}} \\   y''=\frac{\left( -2 \right)'{{\left( x-2 \right)}^{2}}-\left( -2 \right).\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)'}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4\left( x-2 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{4}}}=\frac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{3}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Hàm số \(y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}\) có đạo hàm cấp ba là:

  • A \(y'''=12x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)                                    
  • B \(y'''=24x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)            
  • C \(y'''=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right)\)                                  
  • D  \(y'''=-12x\left( {{x}^{2}}+1 \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cách 1: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp tính lần lượt đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba.

Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức \({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) trước khi tính đạo hàm.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(\begin{align}  y'=3{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)'=6x{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}} \\   y''=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+6x.2\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x \\   \,\,\,\,\,\,=6{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}+24{{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right) \\   y'''=12\left( {{x}^{2}}+1 \right).2x+24.2x.\left( {{x}^{2}}+1 \right)+24{{x}^{2}}.2x \\   \,\,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48x\left( {{x}^{2}}+1 \right)+48{{x}^{3}} \\   \,\,\,\,\,\,=24x\left( {{x}^{2}}+1+2\left( {{x}^{2}}+1 \right)+2{{x}^{2}} \right)=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\)

Cách 2:

 \(\begin{align}   y={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{3}}={{x}^{6}}+3{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}+1 \\  y'=6{{x}^{5}}+12{{x}^{3}}+6x \\   y''=30{{x}^{4}}+36{{x}^{2}}+6 \\   y'''=120{{x}^{3}}+72x=24x\left( 5{{x}^{2}}+3 \right) \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Hàm số \(y=\sqrt{2x+5}\) có đạo hàm cấp hai bằng:

  • A  \(y''=\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}}\)                                
  • B  \(y''=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\)                       
  • C  \(y''=-\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}}\)                              
  • D  \(y''=-\frac{1}{\sqrt{2x+5}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp \(\left( \sqrt{u} \right)'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\,\,\left( {{u}^{n}} \right)'=n.{{u}^{n-1}}.u'\), và sử dụng công thức lũy thừa \(\sqrt[m]{{{x}^{n}}}={{x}^{\frac{n}{m}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{\left( 2x+5 \right)'}{2\sqrt{2x+5}}=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}={{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}}} \\   y''=-\frac{1}{2}.{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{1}{2}-1}}.\left( 2x+5 \right)' \\   \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{2}{{\left( 2x+5 \right)}^{-\frac{3}{2}}}.2 \\   \,\,\,\,\,\,=-\frac{1}{{{\left( 2x+5 \right)}^{\frac{3}{2}}}}=-\frac{1}{\left( 2x+5 \right)\sqrt{2x+5}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=\tan x\) bằng:

  • A  \(y''=-\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\)                    
  • B  \(y''=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\)                 
  • C  \(y''=-\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}\)                
  • D \(y''=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và công thức tính đạo hàm của hàm số hợp \(\left( \frac{1}{u} \right)'=\frac{-u'}{{{u}^{2}}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{-\left( {{\cos }^{2}}x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{\left( 2x+5 \right)}^{5}}\). Có đạo hàm cấp 3 bằng:

  • A  \(f'''\left( x \right)=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\)                          
  • B  \(f'''\left( x \right)=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\)
  • C \(f'''\left( x \right)=-480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\)                                    
  • D  \(f'''\left( x \right)=-80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n{{u}^{n-1}}.u’\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   f'\left( x \right)=5{{\left( 2x+5 \right)}^{4}}\left( 2x+5 \right)'=10{{\left( 2x+5 \right)}^{4}} \\   f''\left( x \right)=40{{\left( 2x+5 \right)}^{3}}\left( 2x+5 \right)'=80{{\left( 2x+5 \right)}^{3}} \\   f'''\left( x \right)=240{{\left( 2x+5 \right)}^{2}}\left( 2x+5 \right)'=480{{\left( 2x+5 \right)}^{2}} \\ \end{align}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Giả sử \(h\left( x \right)=5{{\left( x+1 \right)}^{3}}+4\left( x+1 \right)\). Tập nghiệm của phương trình \(h''\left( x \right)=0\) là:

  • A  \(\left[ -1;2 \right]\)                            
  • B  \(\left( -\infty ;0 \right]\)                                
  • C  \(\left\{ -1 \right\}\)                           
  • D  \(\varnothing \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số và giải phương trình \(h''\left( x \right)=0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   h'\left( x \right)=15{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4 \\   h''\left( x \right)=30\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow x=-1 \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Xét \(y=f\left( x \right)=\cos \left( 2x-\frac{\pi }{3} \right)\). Phương trình \({{f}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=-8\) có nghiệm \(x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right]\) là:

 

  • A \(x=\frac{\pi }{2}\)                
  • B  \(x=0\) hoặc \(x=\frac{\pi }{6}\)                   

     

     

  • C \(x=0\) hoặc \(x=\frac{\pi }{3}\)                    
  • D \(x=0\) hoặc \(x=\frac{\pi }{2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số đã cho. Sử dụng công thức tính đạo hàm

\(\left( \sin u \right)'=u'.\cos u;\,\,\left( \cos u \right)'=-u'.\sin u\)

+) Giải phương trình lượng giác.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - 2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f''\left( x \right) =  - 4\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\f'''\left( x \right) = 8\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = 16\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\\{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) =  - 8 \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} =  - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\\x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)=-\frac{1}{x}\). Xét hai mệnh đề:

(I): \(y''=f''\left( x \right)=\frac{2}{{{x}^{3}}}\)                  (II): \(y'''=f'''\left( x \right)=-\frac{6}{{{x}^{4}}}\)

Mệnh đề nào đúng?

  • A  Chỉ (I)                       
  • B  Chỉ (II) đúng             
  • C  Cả hai đều đúng                    
  • D  Cả hai đều sai.

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp hai và đạo hàm cấp ba của hàm số ban đầu, sử dụng công thức \(\left( \frac{1}{u} \right)'=-\frac{u'}{{{u}^{2}}}\), đối chiếu với hai mệnh đề của đề bài cho, xét tính đúng sai của các mệnh đề.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'=\frac{1}{{{x}^{2}}} \\   y''=-\frac{\left( {{x}^{2}} \right)'}{{{x}^{4}}}=-\frac{2x}{{{x}^{4}}}=-\frac{2}{{{x}^{3}}} \\   y'''=-2.\frac{-\left( {{x}^{3}} \right)'}{{{x}^{6}}}=\frac{2.3{{x}^{2}}}{{{x}^{6}}}=\frac{6}{{{x}^{4}}} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho hàm số \(y=\sin 2x\). Hãy chọn câu đúng?

  • A  \(4y-y''=0\)                 
  • B  \(4y+y''=0\)                
  • C  \(y=y'\tan 2x\)                        
  • D  \({{y}^{2}}={{\left( y' \right)}^{2}}=4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính các đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm số, sau đó thử từng đáp án để chọn được đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

\(y'=2\cos 2x;\,\,y''=-4\sin 2x=-4y\Leftrightarrow 4y+y''=0\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Hàm số \(y=x\sqrt{{{x}^{2}}+1}\) có đạo hàm cấp hai bằng:

  • A  \(y''=-\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)                          
  • B \(y''=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)
  • C  \(y''=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)                           
  • D  \(y''=-\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, đạo hàm của 1 thương. Lưu ý các hàm số hợp.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}y'=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+x.\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{2}}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\   y''=\frac{4x\sqrt{{{x}^{2}}+1}-\left( 2{{x}^{2}}+1 \right).\frac{2x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{\frac{4x\left( {{x}^{2}}+1 \right)-x\left( 2{{x}^{2}}+1 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}{{{x}^{2}}+1}=\frac{4{{x}^{3}}+4x-2{{x}^{3}}-x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}}=\frac{2{{x}^{3}}+3x}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Nếu \(f''\left( x \right)=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x}\), thì f(x) bằng:

  • A  \(\frac{1}{\cos x}\)                           

     

  • B \(-\frac{1}{\cos x}\)                          
  • C  \(\cot x\)                                 
  • D  \(\tan x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Thử từng đáp án.

Lời giải chi tiết:

Đáp án A:

\(\begin{align}   y=\frac{1}{\cos x} \\   y'=\frac{-\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\left( {{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}}=\frac{{{\cos }^{3}}x+2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án B:

\(\begin{align}   y=-\frac{1}{\cos x} \\   y'=\frac{\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{2}}x}=-\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=-\frac{\cos x.{{\cos }^{2}}x-\sin x.2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{-{{\cos }^{3}}x-2{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=-\frac{{{\cos }^{2}}x+2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{4}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án C:

\(\begin{align}   y=\cot x \\   y'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x} \\   y'=\frac{2\sin x\left( \sin x \right)'}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\sin }^{4}}x}=\frac{2\cos x}{{{\sin }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Đáp án D:

\(\begin{align}   y=\tan x \\   y'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x} \\   y''=\frac{-2\cos x\left( \cos x \right)'}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x\cos x}{{{\cos }^{4}}x}=\frac{2\sin x}{{{\cos }^{3}}x} \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Với \(f\left( x \right)={{\sin }^{3}}x+{{x}^{2}}\) thì \(f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\) bằng:

  • A 0
  • B 1
  • C -2
  • D 5

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp hai của hàm số trên, sau đó thay \(x=-\frac{\pi }{2}\) và tính \(f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   f'\left( x \right)=3{{\sin }^{2}}x\left( \sin x \right)'+2x=3{{\sin }^{2}}x\cos x+2x \\   f''\left( x \right)=3.\left( {{\sin }^{2}}x \right)'.\cos x+3{{\sin }^{2}}x.\left( \cos x \right)'+2 \\   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x\left( \sin x \right)'\cos x-3{{\sin }^{2}}x.\sin x+2 \\   \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=6\sin x{{\cos }^{2}}x-3{{\sin }^{3}}x+2 \\   f''\left( -\frac{\pi }{2} \right)=6\sin \left( -\frac{\pi }{2} \right){{\cos }^{2}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)-3{{\sin }^{3}}\left( -\frac{\pi }{2} \right)+2=3+2=5. \\ \end{align}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hàm số \(y=\sin x\). Chọn câu sai ?

  • A  \(y'=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\)                                            
  • B \(y''=\sin \left( x+\pi  \right)\)              
  • C  \(y'''=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)\)                                         
  • D  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=\sin \left( 2\pi -x \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm cấp một, hai, ba, biến đổi các công thức lượng giác và suy ra đáp án sai.

Lời giải chi tiết:

\(y'=\cos x=\sin \left( x+\frac{\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\(y''=-\sin x=\sin \left( x+\pi  \right)\Rightarrow \) Đáp án B đúng.

\(y'''=-\cos x=\sin \left( x+\frac{3\pi }{2} \right)\Rightarrow \) Đáp án C đúng.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hàm số \(y=\cos x\). Khi đó \({{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)\) bằng:

  • A \(-\cos x\)                                
  • B \(\sin x\)                                  
  • C  \(-\sin x\)                                
  • D  \(\cos x\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm các cấp của hàm số ban đầu và suy ra quy luật của các đạo hàm cấp cao, sau đó suy ra \({{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y'\left( x \right)=-\sin x \\   y''\left( x \right)=-\cos x \\   y'''\left( x \right)=\sin x \\   {{y}^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)=\cos x=y \\   {{y}^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)=-\sin x=y' \\   {{y}^{\left( 6 \right)}}\left( x \right)=-\cos x=y'' \\   {{y}^{\left( 7 \right)}}\left( x \right)=\sin x=y''' \\   .... \\ \end{align}\)

Ta có: \(2018=504.4+2\Rightarrow {{y}^{\left( 2018 \right)}}\left( x \right)=y''\left( x \right)=-\cos x\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Đạo hàm cấp 4 của hàm số \(y=\sin 5x.\sin 3x\) là :

  • A  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x\)                          
  • B  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=2048\cos 8x-8\cos 2x\)
  • C  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=1024\cos 16x+4\cos 4x\)                         
  • D  \({{y}^{\left( 4 \right)}}=2048\cos 8x-4\cos 4x\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng \(\sin a\sin b=-\frac{1}{2}\left( \cos \left( a+b \right)-\cos \left( a-b \right) \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{align}   y=\sin 5x.\sin 3x=-\frac{1}{2}\left( \cos 8x-\cos 2x \right) \\   \Rightarrow y'=-\frac{1}{2}\left( -8\sin 8x+2\sin 2x \right)=4\sin 8x-\sin 2x \\   \,\,\,\,\,\,y''=32\cos 8x-2\cos 2x \\   \,\,\,\,\,\,y'''=-256\sin 8x+4\sin 2x \\   \,\,\,\,\,\,{{y}^{\left( 4 \right)}}=-2048\cos 8x+8\cos 2x \\ \end{align}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1\) trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc chuyển động khi t = 2 là:

  • A  \(12\,m/{{s}^{2}}\)                          
  • B  \(8\,m/{{s}^{2}}\)                            
  • C  \(7\,m/{{s}^{2}}\)                            
  • D  \(6\,m/{{s}^{2}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(a=s''\), tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(s={{t}^{3}}-2{{t}^{2}}+4t+1\), sau đó tính \(a\left( 2 \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có :

\(\begin{align}   a=v'=\left( s' \right)'=s'' \\   s'=3{{t}^{2}}-4t+4 \\   s''=6t-4=a \\   a\left( 2 \right)=6.2-4=8\,\,\left( m/{{s}^{2}} \right) \\ \end{align}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

 Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}.\) Tìm \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right).\)

  • A   \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}\) 
  • B \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}\)
  • C   \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}\)                                
  • D  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Tính các đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba và suy ra quy luật.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=\frac{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+1}{-\left( x-1 \right)}=-x-1-\frac{1}{x-1}\)

\(\begin{align}  & f'\left( x \right)=-1+\frac{1!}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}};f''\left( x \right)=-\frac{2!}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}},{{f}^{\left( 3 \right)}}=\frac{3!}{{{\left( x-1 \right)}^{4}}};.... \\  & \Rightarrow {{f}^{\left( 30 \right)}}=-\frac{30!}{{{\left( x-1 \right)}^{31}}}=\frac{30!}{{{\left( 1-x \right)}^{31}}} \\ \end{align}\)

Đáp án B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt{2x-1}\) Tính \(f'''\left( 1 \right)\)

  • A \(3\)                          
  • B    \(-3\)                        
  • C    \(\frac{3}{2}\)                                    
  • D \(0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+) Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau đó thay \(x=1\) vào để tính \(f'''\left( 1 \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\Rightarrow f''\left( x \right)=\frac{-\left( \sqrt{2x-1} \right)'}{2x-1}=-\frac{1}{\sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}}\)

\(\Rightarrow f'''\left( x \right)=\frac{\left( \sqrt{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}} \right)'}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{3\sqrt{2x-1}}{{{\left( 2x-1 \right)}^{3}}}\Rightarrow f\left( 1 \right)=3\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}}\). Đạo hàm cấp 2018 của hàm số \(f\left( x \right)\) là:

  • A  \({f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{2018!{x^{2018}}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2018}}}}\)           
  • B  \({f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\)
  • C  \({f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) =  - \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\)      
  • D  \({f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{2018!{x^{2018}}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\left( {\dfrac{1}{u}} \right)' = \dfrac{{u'}}{u}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{1 - x}} = \dfrac{{{x^2} - 1 + 1}}{{1 - x}} =  - x - 1 + \dfrac{1}{{1 - x}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 1 + \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,f''\left( x \right) = \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\\\,\,\,\,\,f'''\left( x \right) = \dfrac{{2.3{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^6}}} = \dfrac{{2.3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\.......\\ \Rightarrow {f^{\left( {2018} \right)}}\left( x \right) = \dfrac{{ - 2.3...2018}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} =  - \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^{2019}}}} = \dfrac{{2018!}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^{2019}}}}\end{array}\)

Chọn B.

 

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s = {t^3} - 3{t^2}\) (\(t\) tính bằng giây, \(s\) tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A Gia tốc của chuyển động khi \(t = 3s\) là \(v = 24m/s\)  
  • B Gia tốc của chuyển động khi \(t = 4s\) là \(a = 9m/{s^2}\) 
  • C Gia tốc của chuyển động khi \(t = 3s\) là \(v = 12m/s\)
  • D Gia tốc của chuyển động khi \(t = 4s\) là \(a = 18m/{s^2}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

 Sử dụng mối quan hệ: \(a\left( t \right) = v'\left( t \right) = s''\left( t \right)\) để tính gia tốc \(a\) tại thời điểm \(t\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t;\,\,\,a\left( t \right) = s''\left( t \right) = 6t - 6\)

Do đó tại \(t = 3s\) thì \(a = 12m/{s^2}\) (loại A, C)

Tại \(t = 4s\) thì \(a = 18m/{s^2}\) (loại B)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin x\) là:

  • A \(\cos x\)
  • B \( - \cos x\)
  • C \(\sin x\)
  • D \( - \sin x\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: \(\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,y'' = \left( {\cos x} \right)' =  - \sin x\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A \(y'' - y = 0.\)
  • B \(2y'' - 3y = 0.\)
  • C \(2y'' + y = 0.\)
  • D \(y'' + y = 0.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Rút gọn biểu thức. Tính \(y''\) và kiểm tra từng đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x}}{{1 - \sin x\cos x}} = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}}\\ = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right)}}{{1 - \sin x\cos x}} = \sin x + \cos x\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \cos x - \sin x,\,\,y'' =  - \sin x - \cos x =  - y\\ \Rightarrow y'' + y = 0\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Hàm số nào sau đây thỏa mãn đẳng thức \(xy - 2y' + xy'' =  - 2\cos x\).

  • A \(y = x\cos x\)                     
  • B \(y = 2x\sin x\)                       
  • C \(y = x\sin x\)                         
  • D \(y = 2x\cos x\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tính \(y',\,\,y''\) của các hàm số ở từng đáp án sau đó thay vào đẳng thức đề bài cho xem có thỏa mãn hay không?

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \cos x - x\sin x,\,\,y'' =  - \sin x - \left( {\sin x + x\cos x} \right) =  - 2\sin x - x\cos x\\ \Rightarrow xy - 2y' + xy'' = {x^2}\cos x - 2\cos x + 2x\sin x - 2x\sin x - {x^2}\cos x =  - 2\cos x\end{array}\)

Vậy đáp án A đúng.

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - \dfrac{1}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}\) và \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 1\). Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}}\)

  • A \(3\)                                      
  • B \(\dfrac{5}{3}\)                      
  • C \(\dfrac{{10}}{3}\)                  
  • D \(5\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+) Tính \(f'\left( x \right),\,\,f''\left( x \right) \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right),\,\,g'\left( x \right) \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right)\)

+) Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - x \Rightarrow f''\left( x \right) = 6x - 1 \Rightarrow f''\left( {\sin 5x} \right) = 6\sin 5x - 1\\g'\left( x \right) = 2x - 3 \Rightarrow g'\left( {\sin 3x} \right) = 2\sin 3x - 3\end{array}\)

Ta có \(\dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \dfrac{{6\sin 5x - 1 + 1}}{{2\sin 3x + 3 - 3}} = \dfrac{{6\sin 5x}}{{2\sin 3x}} = 3\dfrac{{\sin 5x}}{{\sin 3x}}\)

 \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\sin 5x}}{{\sin 3x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}.5}}{{\dfrac{{\sin 3x}}{{3x}}.3}} = 5\).

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) =  - \dfrac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} - 3x\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) mà \(f''\left( {{x_0}} \right) = 6\) .

  • A \(y=- 8x + \dfrac{8}{3}\)
  • B \(y=- 8x - \dfrac{8}{3}\)
  • C \(y=8x - \dfrac{8}{3}\)
  • D \(y= 8x + \dfrac{8}{3}\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - {x^2} + 4x - 3 \Rightarrow f''\left( x \right) =  - 2x + 4\)

\(f''\left( {{x_0}} \right) = 6 \Leftrightarrow  - 2{x_0} + 4 = 6 \Leftrightarrow {x_0} =  - 1\)

Ta có \(f'\left( { - 1} \right) =  - 8,\,\,f\left( 1 \right) = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \({x_0} =  - 1\) là \(y =  - 8\left( {x + 1} \right) + \dfrac{{16}}{3} =  - 8x - \dfrac{8}{3}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\). Tính \(y''\left( 0 \right)\).

  • A \( - 2\)
  • B \( - 4\)
  • C \(2\)
  • D \(4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của thương: \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \dfrac{{x + 1 - x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{{ - 2.2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^4}}} = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} \Rightarrow y''\left( 0 \right) =  - 4\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Cho hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{-x+1}.\) Tìm \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right):\)

  • A  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}.\)                                                    
  • B  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}.\)
  • C  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-30}}.\)                                                   
  • D  \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=-30!{{\left( 1-x \right)}^{-31}}.\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

 Ta có \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}}{1-x}=\frac{{{x}^{2}}-1+1}{1-x}=-\,1-x+\frac{1}{1-x}\Rightarrow \,\,{f}'\left( x \right)=-\,1+\frac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}=-\,1+{{\left( 1-x \right)}^{-\,2}}.\)

Suy ra \({f}''\left( x \right)=\,2.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}=2!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,3}}\Rightarrow \,\,{f}'''\left( x \right)=2.3.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}=3!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,4}}.\)

Vậy \({{f}^{\left( 30 \right)}}\left( x \right)=30!.{{\left( 1-x \right)}^{-\,31}}.\) Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Hàm số nào dưới đây có đạo hàm cấp 2 là \(6x\).

  • A \(y = 2{x^3}\)
  • B \(y = {x^2}\)
  • C \(y = {x^3}\)
  • D \(y = 3{x^2}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm cơ bản \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án A: \(y' = 2.3{x^2} = 6x \Rightarrow y'' = 6\).

Xét đáp án B: \(y' = 2x \Rightarrow y'' = 2\).

Xét đáp án C: \(y' = 3{x^2} \Rightarrow y'' = 3.2x = 6x\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.