Lời giải chi tiết:

Tương tự \({{HA} \over {HB}} = {{AC} \over {AB}} = {3 \over 2} \Rightarrow HB = {2 \over 3}HA = {2 \over 3}.6 = 4\,\,\left( {cm} \right)\)

Do đó: \(BC = HB + HC = 4 + 9 = 13\,\,\left( {cm} \right)\)

Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

\(A{B^2} = BC.BH \Rightarrow AB = \sqrt {BC.BH}  = \sqrt {13.4}  = 2\sqrt {13} \,\,\left( {cm} \right)\)

Tương tự ta có: \(AC = \sqrt {BC.CH}  = \sqrt {13.9}  = 3\sqrt {13} \,\,\left( {cm} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông: \({h^2} = b'.c'.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = BH.CH\\ \Rightarrow AH = \sqrt {BH.CH}  = \sqrt {9.25}  = \sqrt {225} \\ \Rightarrow AH = 15cm\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

-  Áp dụng định lí Pi-ta-go để tìm độ dài cạnh \(AC\).

- Áp dụng định lí: Trong một tam giác vuông, tích độ dài hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {15^2} - {9^2} = 144 \Rightarrow AC = 12cm\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH:\) 

\(AB.AC = AH.BC \Rightarrow 9.12 = AH.15 \Rightarrow AH = 7,2cm\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Tam giác vuông cân có hai cạnh  góc vuông bằng nhau.

+ Tính chất đường trung tuyến.

+ Định lý py-ta-go trong tam giác.

Lời giải chi tiết:

+ Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên \(AC = AB = 2a\)

+ \(BM\) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B, do đó: M là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow AM = MC = \frac{{AC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\)

+ Áp dụng định lý py-ta-go cho \(\Delta ABM\) vuông tại A:

\(\begin{array}{l}B{M^2} = A{B^2} + A{M^2} = 4{a^2} + {a^2} = 5{a^2}\\ \Rightarrow BM = a\sqrt 5 \end{array}\)

Vậy: \(AC = 2a;\,AM = a,\,BM = a\sqrt 5 .\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(A{H^2} = BH.HC\)  để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HC = 3HB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = BH.HC \Leftrightarrow 12 = BH.3BH \Leftrightarrow B{H^2} = 4 \Leftrightarrow BH = 2\,\,cm.\\ \Rightarrow HC = 3.HB = 3.2 = 6.\\ \Rightarrow BC = HB + HC = 2 + 6 = 8\,\,cm.\end{array}\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông. Tính BH

+ Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác. Tính BC

+ Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC. Tính AC.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác \(ABH\) vuông tại H. Ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Rightarrow B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {10^2} - {6^2} = 100 - 36 = 64\\ \Rightarrow B{H^2} = {8^2}\\ \Rightarrow BH = 8\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\) có AH là đường cao

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\\ \Rightarrow BC = \frac{{A{B^2}}}{{BH}} = \frac{{{{10}^2}}}{8} = \frac{{100}}{8} = 12,5\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 12,{5^2} - {10^2} = 56,25\\ \Rightarrow AC = 7,5\,\,\,\,\left( {cm} \right).\end{array}\)

Vậy: \(AC = 7,5\,\left( {cm} \right);\,\,\,\,BC = 12,5\,\left( {cm} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(BH\).

+) Tính \(HM = BM - BH\).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC:\,\,BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,\,\left( {cm} \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC:\,\,A{B^2} = BC.BH \Rightarrow BH = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{9}{5}\,\,\left( {cm} \right)\).

\(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow BM = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2}\,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy \( \Rightarrow HM = BM - BH = \frac{7}{{10}}\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{{25}}{{144}}\\ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{144}}{{25}} \Rightarrow AH = \frac{{12}}{5}\,\,cm.\end{array}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và giả thiết bài toán để tính các cạnh HB, HC từ đó suy ra độ dài cạnh BC.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH để tính độ dài cạnh AB, AC.

Khi đó chu vi tam giác ABC là: \(AB + AC + BC.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow HC = 4HB\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH\)\( \Leftrightarrow {4^2} = 4B{H^2} \Leftrightarrow BH = 2\,\,\,\left( {cm} \right)\)\( \Rightarrow CH = 8\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(BC = BH + HC = 2 + 8 = 10\,\,\,\left( {cm} \right)\,\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow A{B^2} = 2.10\)\( \Leftrightarrow AB = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow 20 + A{C^2} = 100 \Leftrightarrow A{C^2} = 80\)\( \Rightarrow AC = \sqrt {80}  = 4\sqrt 5 \,\,cm.\)

Vậy chu vi tam giác\(ABC\) là: \(4\sqrt 5  + 2\sqrt 5  + 10 = 6\sqrt 5  + 10\,\,cm.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Giả sử tam giác đã cho là \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  có \(AB < AC,\,\,\,BC = 5,\,\,\,AH = 2.\)

Đặt \(BH = x\,\,\,\left( {0 < x < 2,5} \right).\)

Khi đó áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lý Pitago để tính \(x\) và từ đó suy ra độ dài các cạnh của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Giả sử tam giác đã cho là \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)  có \(AB < AC,\,\,\,BC = 5,\,\,\,AH = 2.\)

Đặt \(BH = x\,\,\,\left( {0 < x < 2,5} \right) \Rightarrow HC = 5 - x.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{H^2} = BH.CH \Leftrightarrow {2^2} = x\left( {5 - x} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A{B^2} = BC.BH = 5.1 = 5 \Leftrightarrow AB = \sqrt 5 .\)

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác đã cho có độ dài là \(\sqrt 5 .\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago cho tam giác ABC vuông tại A để tính độ dài cạnh BC.

Theo đề bài ta có AM, AN lần lượt là các đường phân giác trong và ngoài của góc B.

Khi đó áp dụng tính chất tia phân giác của một góc ta có: \(\frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{AN}}{{NC}} = \frac{{AB}}{{BC}}.\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow BC = 10\left( {cm} \right)\)

Vì \(BM\) là tia phân giác trong của góc \(B \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{AB}}{{BC}}\) (Tính chất đường phân giác)

\( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MC + MA}} = \frac{{AB}}{{BC + AB}} \Rightarrow \frac{{MA}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{BC + AB}}\)\( \Rightarrow \frac{{MA}}{8} = \frac{6}{{10 + 6}} \Rightarrow MA = 3cm\)

Vì \(BM;BN\) là tia phân giác trong và ngoài của góc \(B \Rightarrow \angle NBM = {90^0}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABM\) vuông tại \(B\) có đường cao \(BA\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = AM.AN\)\( \Leftrightarrow {6^2} = 3.AN \Leftrightarrow AN = 12\left( {cm} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pi-ta-go, hệ thức lượng trong tam giác vuông tương ứng để tính độ dài các cạnh.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(M\) là trung điểm \(AB\)

\( \Rightarrow HM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\)

\( \Rightarrow HM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow AB = 2HM = 2.15 = 30\,\,\left( {cm} \right)\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có: \(N\) là trung điểm \(AC\)

\( \Rightarrow HN\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\)

\( \Rightarrow HN = \frac{1}{2}AC \Leftrightarrow AC = 2HN = 2.20 = 40\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2500 \Rightarrow BC = 50\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {30^2} = 50.BH \Leftrightarrow BH = 18\,\,\left( {cm} \right)\)

Ta có: \(HC = BC - BH = 50 - 18 = 32\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.50 = 30.40 \Leftrightarrow AH = 24\,\,\left( {cm} \right)\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tính diện tích hình thang có hai đường chéo vuông góc.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ADB\) vuông tại \(A\) có:

\(AH\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(BD\)

\( \Rightarrow H{A^2} = HB.HD = 8.18 \Rightarrow HA = 12\left( {cm} \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét \(\Delta ADC\) vuông tại \(D\) có:

\(DH\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(AC\)

\( \Rightarrow H{D^2} = HA.HC \Rightarrow {18^2} = 12HC\)\( \Rightarrow HC = 27\left( {cm} \right)\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có: \(AC = AH + HC = 12 + 27 = 39\,\,cm.\)

            \(BD = BH + HD = 8 + 18 = 26\,\,cm.\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{AC.BD}}{2} = \frac{{26.39}}{2} = 507\,\,c{m^2}.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago, hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác và tính chất tam giác cân.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(BH = x\,\,\,\,\left( {x > 0,\,\,\,cm} \right)\)

Ta có:  \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = \frac{1}{2}CK.AB\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow AH.BC = CK.AB\\ \Leftrightarrow 7,5.2x = 12.AB \Leftrightarrow AB = \frac{5}{4}x\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\) \( \Leftrightarrow \frac{{25}}{{16}}{x^2} = {x^2} + 7,{5^2} \Leftrightarrow \frac{9}{{16}}{x^2} = 7,{5^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 100 \Rightarrow x = 10\)\( \Rightarrow AB = \frac{5}{4}.10 = 12,5\,\,cm\)

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC = 2BH = 20cm\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh \(BD = 2AH\)

Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại \(A \Rightarrow AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

\( \Rightarrow H\)trung điểm \(BC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right)\\BD \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AH//BD\)

Xét \(\Delta CBD\) có:

\(H\) trung điểm \(BC\)(cmt)

\(AH//BD\)(cmt)

 là đường trung bình của \(\Delta ABD\)(định lý đảo)

\( \Rightarrow AH = \frac{1}{2}BD\left( {tc} \right) \Leftrightarrow BD = 2AH\) (đpcm)

b) Chứng minh \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}\)

Xét \(\Delta CBD\) vuông tại \(B\) có:

\(BK\) là đường cao ứng với cạnh huyền \(DC\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{B{D^2}}}\)(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Mà \(BD = 2AH\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{4A{H^2}}}\)(đpcm)

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pitago và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH,\) theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{5^2}}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\) cm

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), theo định lý Pytago ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {\left( {\dfrac{{25}}{3}} \right)^2} - {5^2} = \dfrac{{400}}{9}\\ \Rightarrow AC = \dfrac{{20}}{3}cm\end{array}\)

Vậy \(BC = \dfrac{{25}}{3}cm,AC = \dfrac{{20}}{3}cm.\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lý Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng số đo độ dài \(h;b + c;a + h\) là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) \( \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AD\) ta có:

\( \Rightarrow AD.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow bc = ah\)

Ta có: \({h^2} + {\left( {b + c} \right)^2} = {h^2} + {b^2} + 2bc + {c^2}\)

Mà \({b^2} + {c^2} = {a^2};bc = ah\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow {h^2} + {\left( {b + c} \right)^2} = {h^2} + {a^2} + 2ah = {\left( {a + h} \right)^2}\)

Vậy số đo độ dài \(h;b + c;a + h\) là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (Định lý Pitago đảo).

b. Gọi \(E;F\) lần lượt là hình chiếu của \(D\) lên \(AB;AC\) . Chứng minh \(EA.EB + FA.FC = DB.DC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) có đường cao \(ED\) ta có:  \(EA.EB = E{D^2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) có đường cao \(DF\) ta có: \(FA.FC = F{D^2}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AD\) ta có: \(DB.DC = A{D^2}\)

Xét tứ giác \(AFDE\)có \(\angle A = \angle F = \angle E = {90^0}\)

\( \Rightarrow AFDE\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \angle D = {90^0}\) và \(AD = EF\) (tính chất hình chữ nhật)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta EDF\) vuông tại \(D\) có: \(D{E^2} + D{F^2} = E{F^2}\)

Mà \(EA.EB = D{E^2}\); \(FA.FC = D{F^2}\)

\( \Rightarrow EA.EB + FA.FC = E{F^2}\)

Mà \(AD = EF\)\( \Rightarrow EA.EB + FA.FC = A{D^2}\)

Mặt khác \(DB.DC = A{D^2}\)

\( \Rightarrow EA.EB + FA.FC = DB.DC\,\,\,\left( {\,dpcm} \right)\)

c) Chứng minh hệ thức trên đúng với mọi vị trí của \(D\) bất kì trên cạnh \(BC\)

Với mọi vị trí của \(D\) bất kì trên cạnh \(BC\)thì tứ giác\(AFDE\) luôn  là hình chữ nhật \( \Rightarrow \hat D = {90^0}\)và \(AD = EF\)

Vì vậy hệ thức trên luôn đúng.

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tính chất bắc cầu.

Lời giải chi tiết:

a) \(AB.AD = AC.AE\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có đường cao \(DH\) ta có:  \(AB.AD = A{H^2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HE\) ta có:  \(AE.AC = A{H^2}\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow \)\(AB.AD = AC.AE\,\,\,\left( { = A{H^2}} \right).\)

b) \(\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}BH.BC = A{B^2}\\CH.BC = A{C^2}\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}A{B^2}.CH = BH.BC.CH\\A{C^2}.BH = CH.BC.BH\end{array} \right\} \Rightarrow A{B^2}.CH = A{C^2}.BH\)\( \Rightarrow \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{{BH}}{{CH}}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\)