Phương pháp giải:

 Áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh, xác định tia đối của tia Az và At, từ đó xác định góc đối đỉnh với \(\widehat{zAt}\)

Lời giải chi tiết:

 Vì hai đường thẳng zz’ và tt’ cắt nhau tại A nên Az’ là tia đối của tia Az, At’ là tia đối của tia At.

Vậy góc đối đỉnh với \(\widehat{zAt}\) là \(\widehat{z'At'}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Vẽ \(\widehat{x'By'}\) là góc đối đỉnh với \(\widehat{xBy}\). Khi đó:

\(\widehat{x'By'}=\widehat{xBy}={{60}^{o}}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh, xác định tia đối của tia Az và At, từ đó xác định góc đối đỉnh với \(\widehat {zAt}\).

Lời giải chi tiết:

Vì hai đường thẳng \(zz'\)  và \(tt'\)  cắt nhau tại \(A\)  nên \(Az'\)  là tia đối của tia \(Az,At'\) là tia đối của tia \(At.\) Vậy góc đối đỉnh với \(\widehat {zAt'}\) là \(\widehat {z'At}\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Vẽ \(\widehat {x'By'}\) là góc đối đỉnh với \(\widehat {xBy}\). Khi đó:

\(\widehat {x'By'} = \widehat {xBy} = {60^o}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Chọn D.

Phương pháp giải:

 Áp dụng tính chất hai góc kề bù, xác định các tia đối từ đó xác định góc đối đỉnh. Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh để tính góc C’BA’.

Lời giải chi tiết:

Vì góc ABC’ kề bù với góc ABC nên BC’ là tia đối của tia BC.

Vì góc C’BA’ kề bù với góc ABC’ nên BA’ là tia đối của tia BA

Do đó, góc C’BA’ và góc ABC đối đỉnh

\(\Rightarrow \widehat{C'BA'}=\widehat{ABC}={{56}^{o}}\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, hai góc kề bù để tính các góc còn lại.

Lời giải chi tiết:

\({{\widehat{O}}_{2}}={{\widehat{O}}_{1}}={{165}^{o}}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Góc O­­₁ và góc O₄ là hai góc kề bù

\(\begin{align}  & \Rightarrow {{\widehat{O}}_{1}}+{{\widehat{O}}_{4}}={{180}^{o}} \\  & \Rightarrow {{\widehat{O}}_{4}}={{180}^{o}}-{{\widehat{O}}_{1}} \\  & \Rightarrow {{\widehat{O}}_{4}}={{180}^{o}}-{{165}^{o}}={{15}^{o}}. \\ \end{align}\)

\({{\widehat{O}}_{3}}={{\widehat{O}}_{4}}={{15}^{o}}\,\) (hai góc đối đỉnh)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Vẽ hình. Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, tính chất hai góc kề bù để tính các góc còn lại.

Lời giải chi tiết:

c)     Hai góc có số đo bằng 35^o là : \(\widehat{xAy}\,\,;\,\,\widehat{x'Ay'}\)

d)     Hai góc có số đo bằng 145^o là : \(\widehat{xAy'}\,\,;\,\,\widehat{x'Ay}\)

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về tính chất của  2 góc đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

2 góc đối đỉnh bằng nhau. Suy ra, góc đối đỉnh với góc xOy bằng số đo góc xOy và bằng 47⁰.

Chọn B.

Phương pháp giải:

- Vẽ hình.

- Vận dụng định lý : Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(Ox\) là tia đối của \(Ox'\); \(Oy\) là tia đối của \(Oy'\) (do cách vẽ)

Vậy \(\widehat {xOy'}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc đối đỉnh

\( \Rightarrow \widehat {xOy'} = \widehat {x'Oy} = 50^\circ .\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

+ Sử dụng: Tổng hai góc kề bù bằng \(180^\circ .\)

Lời giải chi tiết:

Vì hai đường thẳng \(xx'\)  và \(yy'\)  cắt nhau tại \(O\)  nên \(Ox'\)  là tia đối của tia \(Ox;Oy'\) là tia đối của tia \(Oy.\)

Suy ra \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy'}\) ; \(\widehat {x'Oy}\) và \(\widehat {xOy'}\) là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}\)

Lại có \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc ở vị trí kề bù nên \(\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 45^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 45^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 135^\circ \)

Vậy \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'} = 135^\circ .\)

Suy ra A, B, C đúng, D sai.

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng: Tổng hai góc kề bù bằng \(180^\circ .\)

+ Sử dụng tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\widehat {zOt} + \widehat {tOz'} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {zOt} + 4.\widehat {zOt} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 5.\widehat {zOt} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {zOt} = 36^\circ \)

Vì  \(\widehat {tOz}\) và \(\widehat {t'Oz'}\)  là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {zOt} = \widehat {z'Ot'} = 36^\circ .\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai góc kề bù, xác định các tia đối từ đó xác định góc đối đỉnh. Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh để tính góc \(C'BA'.\)

Lời giải chi tiết:

Vì góc \(ABC'\)  kề bù với góc \(ABC\)  nên \(BC'\)  là tia đối của tia \(BC.\)

Vì góc \(C'BA'\)  kề bù với góc \(ABC'\)  nên \(BA'\)  là tia đối của tia \(BA.\)

Do đó, góc \(C'BA'\)  và góc \(ABC\)  đối đỉnh.

\( \Rightarrow \widehat {C'BA'} = \widehat {ABC} = {56^o}\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, hai góc kề bù để tính các góc còn lại.

Lời giải chi tiết:

\({\widehat O_2} = {\widehat O_1} = {165^o}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Góc \({O_1}\)  và góc \({O_4}\) là hai góc kề bù

\( \Rightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_4} = {180^o}\)

\( \Rightarrow {\widehat O_4} = {180^o} - {\widehat O_1}\)

\( \Rightarrow {\widehat O_4} = {180^o} - {165^o} = {15^o}\)

\({\widehat O_3} = {\widehat O_4} = {15^o}\,\) (hai góc đối đỉnh)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, tính chất hai góc kề bù để tính các góc còn lại.

Lời giải chi tiết:

Vì hai đường thẳng \(xx'\)  và \(yy'\)  cắt nhau tại \(O\)  nên \(Ox'\)  là tia đối của tia \(Ox;Oy'\) là tia đối của tia \(Oy.\)

Suy ra \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy'}\) ; \(\widehat {x'Oy}\) và \(\widehat {xOy'}\) là hai cặp góc đối đỉnh.

Do đó \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 35^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'}\)

Lại có \(\widehat {xOy}\) và \(\widehat {x'Oy}\) là hai góc ở vị trí kề bù nên \(\widehat {xOy} + \widehat {x'Oy} = 180^\circ \) \( \Rightarrow 35^\circ  + \widehat {x'Oy} = 180^\circ  \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 180^\circ  - 35^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {x'Oy} = 145^\circ \)

Vậy \(\widehat {x'Oy'} = \widehat {xOy} = 45^\circ \) và \(\widehat {x'Oy} = \widehat {xOy'} = 145^\circ .\)

Hai góc có số đo bằng \({145^o}\)  là : \(\widehat {xOy'}\,\,;\,\,\widehat {x'Oy}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc. Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh để tính số đo góc yOt’.

Lời giải chi tiết:

Vì Ot là tia phân giác của góc xOx’nên

\(\widehat{xOt}=\widehat{tOx'}=\frac{1}{2}\widehat{xOx'}=\frac{1}{2}{{.70}^{o}}={{35}^{o}}\)

Vì Oy là tia đối của Ox, Ot’ là tia đối của Ot

\(\Rightarrow \widehat{yOt'}=\widehat{xOt}={{35}^{o}}\) (tính chất hai góc đối đỉnh).

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh. Thay vào biểu thức đã cho, tính góc NAP.

Lời giải chi tiết:

Vì AM là tia đối của AN, AQ là tia đối của AP

\(\Rightarrow \widehat{MAQ}=\widehat{NAP}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Ta có :

 \(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\widehat{MAQ}+\widehat{NAP}={{250}^{o}} \\  & \Rightarrow \widehat{NAP}+\widehat{NAP}={{250}^{o}} \\ & \Leftrightarrow 2\widehat{NAP}={{250}^{o}} \\ & \Leftrightarrow \widehat{NAP}={{125}^{o}} \\ \end{align}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

a) Áp dụng tính chất 2 góc đối đỉnh, tính chất 2 góc kề bù. Tính các góc còn lại.

b) Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc để tính 2 góc MOt, POt. Xác định tia đối, áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh, tính 2 góc NOt’, QOt’. Từ đó chứng minh Ot’ là tia phân giác của góc NOQ.

c) Áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh, kể tên các góc đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

a)     \(\widehat{NOQ}=\widehat{MOP}={{80}^{o}}\) (tính chất hai góc đối đỉnh)

Vì góc MOP và PON là hai góc kề bù nên :

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\widehat{MOP}+\widehat{PON}={{180}^{o}} \\  & \Rightarrow {{80}^{o}}+\widehat{PON}={{180}^{o}} \\  & \Rightarrow \widehat{PON}={{180}^{o}}-{{80}^{o}}={{100}^{o}} \\ \end{align}\)

\(\widehat{MOQ}=\widehat{PON}={{100}^{o}}\) (tính chất hai góc đối đỉnh).

b)     Vì Ot là tia phân giác của góc MOP nên \(\widehat{MOt}=\widehat{tOP}=\frac{1}{2}\widehat{MOP}=\frac{1}{2}{{.80}^{o}}={{40}^{o}}.\)

Vì Ot’ là tia đối của tia Ot, do đó :

\(\widehat{NOt'}=\widehat{MOt}={{40}^{o}}\,\,\,\) (hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{t'OQ}=\widehat{tOP}={{40}^{o}}\,\,\,\,\) (hai góc đối đỉnh)

\(\Rightarrow \widehat{NOt'}=\widehat{t'OQ}\)  

Mặt khác tia Ot’ nằm trong góc NOQ.

Vậy Ot’ là tia phân giác của góc NOQ.

c)     Các cặp góc đối đỉnh mà mỗi góc đều là góc nhọn là :

Góc MOP và góc NOQ, góc MOt và góc NOt’, góc POt và góc t’OQ.

Chọn A

Phương pháp giải:

 a) Xác định các tia đối, áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh.

b) Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính góc AOE. Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính tổng hai góc, chứng minh góc kề bù, từ đó xác định tia đối, hai góc đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

a)     Hai góc AOC và BOD có: OA và OB là hai tia đối nhau, OD và OC không phải là hai tia đối nhau.

Vậy hai góc đó không phải là hai góc đối đỉnh.

b)     Vì BOD và DOA là hai góc kề bù nên:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\widehat{BOD}+\widehat{DOA}={{180}^{O}} \\  & \Rightarrow {{50}^{O}}+\widehat{DOA}={{180}^{O}} \\  & \Rightarrow \widehat{DOA}={{180}^{O}}-{{50}^{O}}={{130}^{O}} \\ \end{align}\)

Tia OA là tia phân giác góc COE nên \(\widehat{AOE}=\widehat{AOC}={{50}^{O}}\).

Tia OD và tia OE thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia OA

nên tia OA nằm giữa hai tia OD và OE, ta có:

\(\widehat{DOA}+\widehat{AOE}={{130}^{0}}+{{50}^{0}}={{180}^{0}}\)

Suy ra OD và OE là hai tia đối nhau.

Hai góc BOD và AOE có hai cặp cạnh OB và OA, OD và OE là hai tia đối nhau nên là hai góc đối đỉnh.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tia phân giác của một góC. Áp dụng tính chất hai góc đối đỉnh để tính số đo góc \(yOt'.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(Ot\)  là tia phân giác của góc \(xOx'\) nên

\(\widehat {xOt} = \widehat {tOx'} = \frac{1}{2}\widehat {xOx'} = \frac{1}{2}{.70^o} = {35^o}\)

Vì \(Oy\)  là tia đối của \(Ox,Ot'\) là tia đối của \(Ot\)

\( \Rightarrow \widehat {yOt'} = \widehat {xOt} = {35^o}\) (tính chất hai góc đối đỉnh).

Chọn A.

Phương pháp giải:

+ Xác định các tia đối, áp dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh.

+ Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính góc \(AOE.\) Áp dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính tổng hai góc, chứng minh góc kề bù, từ đó xác định tia đối, hai góc đối đỉnh.

Lời giải chi tiết:

+ Hai góc \(AOC\)  và \(BOD\) có: \(OA\) và \(OB\)  là hai tia đối nhau, \(OD\)  và \(OC\) không phải là hai tia đối nhau.

Vậy hai góc đó không phải là hai góc đối đỉnh.

+ Vì góc \(BOD\) và \(DOA\)  là hai góc kề bù nên:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\widehat {BOD} + \widehat {DOA} = {180^O}\\ \Rightarrow {50^O} + \widehat {DOA} = {180^O}\\ \Rightarrow \widehat {DOA} = {180^O} - {50^O} = {130^O}\end{array}\)

Tia \(OA\)  là tia phân giác góc \(COE\) nên \(\widehat {AOE} = \widehat {AOC} = {50^O}\).

Tia \(OD\) và tia \(OE\)  thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia \(OA\) nên tia \(OA\)  nằm giữa hai tia \(OD\) và \(OE,\)  ta có:

\(\widehat {DOA} + \widehat {AOE} = {130^0} + {50^0} = {180^0}\)

Suy ra \(OD\) và \(OE\) là hai tia đối nhau.

Hai góc \(BOD\) và \(AOE\) có hai cặp cạnh \(OB\) và \(OA,OD\) và \(OE\)  là hai tia đối nhau nên là hai góc đối đỉnh.

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Chứng minh \(OB\) và \(OE\) là hai tia đối nhau.

+ Từ đó suy ra cặp góc đối đỉnh theo định nghĩa.

Lời giải chi tiết:

Vì \(OC\) và \(OD\) là hai tia đối nhau nên \(\widehat {COE}\) và \(\widehat {DOE}\)  là hai góc kề bù. Khi đó \(\widehat {COE} + \widehat {DOE} = 180^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {COE} = 180^\circ  - 25^\circ  = 155^\circ \)

Vì \(OC\) là tia phân giác của góc \(BOA\) nên \(\widehat {COB} = \frac{{\widehat {AOB}}}{2} = \frac{{50^\circ }}{2} = 25^\circ \)

Nhận thấy \(\widehat {BOC} + \widehat {COE} = 25^\circ  + 155^\circ  = 180^\circ \) nên \(OB\) và \(OE\) là hai tia đối nhau.

Suy ra \(\widehat {BOC}\) và \(\widehat {DOE}\) là hai góc đối đỉnh.

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Sủ dụng tính chất tia phân giác tính các góc \(\widehat {AOM};\widehat {COM}\)

+ Sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh để suy ra hai góc \(\widehat {BON}\) và \(\widehat {DON}.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại \(O\) nên \(OA\) và \(OB\) là hai tia đối nhau, \(OC\) và \(OD\) là hai tia đối nhau.

Vì \(OM\) là tia phân giác \(\widehat {COA}\) nên \(\widehat {AOM} = \widehat {COM} = \frac{{\widehat {COA}}}{2} = \frac{{60}}{2} = 30^\circ \)

Mà \(ON\) và \(OM\) là hai tia đối nhau nên \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BON}\) là hai góc đối đỉnh; \(\widehat {COM}\) và \(\widehat {DON}\) là hai góc đối đỉnh

Suy ra \(\widehat {AOM} = \widehat {BON} = 30^\circ ;\widehat {COM} = \widehat {DON} = 30^\circ \) hay \(\widehat {BON} = \widehat {DON} = 30^\circ .\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

+ Sử dụng: Tổng hai góc kề bù bằng \(180^\circ .\)

+ Sử dụng tính chất: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

Lời giải chi tiết:

Vì \(\widehat {AOD}\) và \(\widehat {AOC}\) là hai góc kề bù nên \(\widehat {AOD} + \widehat {AOC} = 180^\circ \) mà \(\widehat {AOC} - \widehat {AOD} = 50^\circ \)

Nên \(\widehat {AOC} = \frac{{180^\circ  + 50^\circ }}{2} = 115^\circ \) và \(\widehat {AOD} = 180^\circ  - \widehat {AOC} = 65^\circ \)

Mà \(\widehat {AOD}\) và \(\widehat {BOC}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 65^\circ .\)

Lại có \(\widehat {BOD}\) và \(\widehat {AOC}\) là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 115^\circ .\)

Vậy \(\widehat {BOD} = \widehat {AOC} = 115^\circ ;\,\widehat {BOC} = \widehat {AOD} = 65^\circ .\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tia phân giác của góc, cộng góc tính góc xOy để chứng minh Ox là tia đối cuả tia Oy. Từ đó chứng minh góc xOD đối đỉnh với góc COy.

Lời giải chi tiết:

Vì OA là tia phân giác của góc xOC nên \(\widehat{xOA}=\widehat{AOC}\)

Vì OB là tia phân giác của góc yOC nên \(\widehat{COB}=\widehat{BOy}\)

Vì OC nằm giữa tia OA và OB nên:

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\widehat{AOC}+\widehat{COB}={{90}^{0}} \\  & \Rightarrow \widehat{xOA}+\widehat{BOy}={{90}^{0}} \\ \end{align}\)

Ta có:  \(\widehat{xOy}=\widehat{xOA}+\widehat{AOB}+\widehat{BOy}=\widehat{AOB}+\left( \widehat{xOA}+\widehat{BOy} \right)={{90}^{0}}+{{90}^{0}}={{180}^{0}}\)

Do đó, Ox là tia đối của  tia Oy.

Mà OC là tia đối của tia OD.

Vậy góc xOD và góc COy là hai góc đối đỉnh.