Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Sử dụng tính chất tam giác vuông cân và tia phân giác.

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \( \Rightarrow \angle B = \angle C = {45^0}\)

Vì \(BD\) là tia phân giác \(B\)

\( \Rightarrow \angle ABD = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle B = \frac{{{{45}^0}}}{2} = 22,{5^0}\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) ta có

\(AD = AB.\tan \angle ABD = a.\tan 22,{5^0}\)

Ta có: \(AD + DC = AC\)\( \Rightarrow DC = AC - AD = a - a\tan 22,{5^0}\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Tính chất tam giác cân.

Sử dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(BC = AH = a.\)

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân nên \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

\( \Rightarrow H\) là trung điểm \(BC\) \( \Rightarrow HB = HC = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:  \(tan\angle B = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{a}{{\frac{a}{2}}} = 2\) \( \Rightarrow \angle B \approx {63^0}26'\)

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân\( \Rightarrow \angle C = \angle B \approx {63^0}26'\)

Ta có \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\) (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C \approx {180^0} - {2.63^0}26' \approx {53^0}8'\)

Chọn D.

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABD vuông tại D, ta có:

\(\tan BAD=\operatorname{t}\text{an}{{50}^{0}}=\frac{BD}{AD}=\frac{BC+CD}{AD}=\frac{4+CD}{AD}\Rightarrow AD=\frac{4+CD}{\tan {{50}^{0}}}\)  (1)

Xét tam giác ACD vuông tại D, ta có:

\(\tan CAD=\operatorname{t}\text{an 4}{{0}^{0}}=\frac{CD}{AD}\Rightarrow AD=\frac{CD}{\tan {{40}^{0}}}\)   (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \frac{4+CD}{\tan {{50}^{0}}}=\frac{CD}{\tan {{40}^{0}}}\Leftrightarrow \tan {{40}^{0}}.\left( 4+CD \right)=\tan {{50}^{0}}.CD\Leftrightarrow CD=\frac{4.\tan {{40}^{0}}}{\tan {{50}^{0}}-\tan {{40}^{0}}}=9,518m\) Tứ giác ADHF là hình chữ nhật (vì \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{D}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{H}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{F}}\,={{90}^{0}}\)) \(\Rightarrow AF=DH=7m\) Vậy chiều cao CH của tòa nhà là: \(CH=CD+DH=9,518+7=16,518m\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức lượng giác để tính các cạnh.

Lời giải chi tiết:

\(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) có:

\(\cos C = \frac{{CH}}{{AC}}\,\,\, \Rightarrow AC = \frac{{CH}}{{\cos C}} = \frac{a}{{\cos {{60}^0}}} = \frac{a}{{\frac{1}{2}}} = 2a\)

\(\Delta ABC\) có \(AB = AC.\tan C = 2a.\tan {60^0} = 2\sqrt 3 a\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Hệ số góc là tan của góc tạo bởi cầu thang với mặt phẳng nằm ngang. Áp dụng công thức tan trong tam giác vuông để tính chiều cao cầu thang

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ minh họa:

Gọi \(h\) là chiều cao tối đa của cầu thang. \(AB = 4\left( m \right)\) là độ dài đáy.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B có: \(\tan \left( {\angle BAC} \right) = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{h}{4}\)

Mà có hệ số góc là tan của góc tạo bởi cầu thang với mặt phẳng nằm ngang chính là \(\tan \left( {\angle BAC} \right)\)

\( \Rightarrow h = 4.\tan \left( {\angle BAC} \right) = 4.\frac{1}{{12}} = \frac{1}{3}\left( m \right)\)

Vậy chiều cao tối đa của thang là \(h = \frac{1}{3}\left( m \right)\).

Chọn  B

Phương pháp giải:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và công thức tỉ số lượng giác để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Pitago trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} = {3^2} + {4^2} = {5^2} \Rightarrow BC = 5\,\,cm.\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{3.4}}{5} = 2,4cm.\) 

Ta có: \(\cos \angle ACB = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{4}{5}.\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng tính chất hình chữ nhật.

Công thức tính diện tích hình thang vuông: \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2}.\)

Lời giải chi tiết:

Kẻ \(BE \bot DC,\,\,\,E \in CD.\)

Xét tứ giác \(ABED\)có \(\angle A = \angle D = \angle E = {90^0}\)

\( \Rightarrow ABED\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = ED = 2\\AD = BE = 1,2\end{array} \right.\)

Xét \(\Delta BCE\) vuông tại \(E\) ta có: \(EC = BE.cot\angle C = 1,2.cot{50^0}\)

\( \Rightarrow DC = DE + EC = 2 + 1,2.\cot {50^0}\)

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right)AD}}{2}\)\( = \frac{{\left( {2 + 2 + 1,2.\cot {{50}^0}} \right).1,2}}{2} \approx 3\,\,\,\,\left( {dvdt} \right).\)

Chọn B.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Công thức tính diện tich tam giác.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) có: \(sinB = \frac{{AH}}{{AB}}\)

\( \Leftrightarrow sinB = \frac{{AH}}{c} \Leftrightarrow AH = csinB\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{1}{2}ac\sin B\) (đpcm).

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Từ tỉ số lượng giác suy ra số đo góc

Sử dụng hệ thức lượng trong ta giác vuông: \(A{B^2} = BH.BC\); \(A{C^2} = CH.BC\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(BC = BH + CH = 9 + 16 = 25\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow A{B^2} = 9.25 \Rightarrow AB = 15\)

\(A{C^2} = CH.BC\)\( \Leftrightarrow A{C^2} = 16.25 \Rightarrow AC = 20\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có

\(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{25}} = \frac{4}{5} \Rightarrow \angle B \approx {53^0}8'\)

\(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{15}}{{25}} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle C \approx {36^0}52'\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng tính chất tam giác cân.

Sử dụng định lý tổng ba góc trong một tam giác.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A\)\( \Rightarrow \angle C = \angle B = {65^0}\)

Ta có \(\angle A + \angle B + \angle C = {180^0}\)(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \angle A = {180^0} - 2\angle C = {180^0} - {2.65^0} = {50^0}\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\sin A = \frac{{CH}}{{AC}}\) \( \Leftrightarrow \sin {50^0} = \frac{{3,6}}{{AC}}\)\( \Rightarrow AC = \frac{{3,6}}{{\sin {{50}^0}}} \approx 4,7\)

Vì \(\Delta ABC\) là tam giác cân tại \(A\)\( \Rightarrow AC = AB \approx 4,7\)

Xét \(\Delta BCH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(\sin B = \frac{{CH}}{{BC}} \Leftrightarrow \sin {65^0} = \frac{{3,6}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{3,6}}{{\sin {{65}^0}}} \approx 3,97\)

Chọn D.

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(sinB = \frac{{AH}}{{AB}} \Leftrightarrow sinB = \frac{{AH}}{c}\)\( \Leftrightarrow AH = csinB\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{AH.BC}}{2} = \frac{1}{2}ac\sin B\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}ab\sin C\\{S_{ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B\) (đpcm).

Phương pháp giải:

a) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(AH.BC = AB.AC\)

b) Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A{B^2} = BH.BC\)

Lời giải chi tiết:

a) \(AH = a\sin B.\sin C\)        

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\begin{array}{l}AB = BC.\sin C = a\sin C\\AC = BC.\sin B = a\sin B\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH.BC = AB.AC\)\( \Leftrightarrow AH.a = a\sin B.a\sin C\)\( \Leftrightarrow AH = a\sin B.\sin C\) (đpcm).

b) \(BH = a{\cos ^2}B\) 

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AB = BC.\cos B = a\cos B\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\( \Rightarrow A{B^2} = BH.BC\)\( \Leftrightarrow {\left( {a\cos B} \right)^2} = BH.a\)\( \Leftrightarrow BH = a{\cos ^2}B\) (đpcm)