20 bài tập trắc nghiệm cung lượng giác và góc lượng giác mức độ vận dụng

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Biết \(\cos \alpha  =  - \dfrac{{12}}{{13}}\) và \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) . Giá trị của \({\text{sin}}\alpha \) và \({\text{tan}}\alpha \) là

  • A \(\dfrac{{ - 5}}{{13}};{\text{ }}\dfrac{2}{3}\)
  • B \(\dfrac{2}{3};\dfrac{{ - 5}}{{12}}\)
  • C \(\dfrac{{ - 5}}{{13}};{\text{ }}\dfrac{5}{{12}}\)
  • D \(\dfrac{5}{{13}};{\text{ }}\dfrac{{ - 5}}{{12}}\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

Ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\left( {\dfrac{{ - 12}}{{13}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{169}} \Rightarrow {\text{ }}\sin \alpha  =  \pm \dfrac{5}{{13}}\)

Vì \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\sin \alpha  > 0 \Rightarrow {\text{sin}}\alpha  = \dfrac{5}{{13}} \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{{\text{cos}}\alpha }} = \dfrac{{ - 5}}{{12}}\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Giá trị của biểu thức \(P = m\sin {0^0} + {\text{ ncos}}{{\text{0}}^0}{\text{  +  p}}\sin {90^0}\) bằng:

  • A \(n-p\)
  • B \(m + p\)
  • C \(m-p\)
  • D \(n + p\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(P = m\sin {0^0} + {\rm{ }}n\cos {0^0}{\rm{ }} + {\rm{ }}p\sin {90^0} = {\rm{ }}m.0{\rm{ }} + {\rm{ }}n.1{\rm{ }} + {\rm{ }}p.1{\rm{ }} = n{\rm{ }} + {\rm{ }}p\)

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Giá trị của biểu thức \(Q = m\cos {90^0} + {\text{ }}n\sin {90^0}{\text{ }} + {\text{ }}p\sin {180^0}\) bằng:

  • A \(m\) 
  • B \(n\)
  • C \(p\)
  • D \(m + n\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(Q = m\cos {90^0} + {\text{ }}n\sin {90^0}{\text{ }} + {\text{ }}p\sin {180^0} = m.0 + n.1 + p.0 = n\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Giá trị của biểu thức \(S = 3 - {\text{si}}{{\text{n}}^2}{\text{9}}{0^0} + {\text{ 2co}}{{\text{s}}^2}{\text{6}}{{\text{0}}^0}{\text{  -  3ta}}{{\text{n}}^2}{45^0}\) bằng:

  • A \(\dfrac{1}{2}\)
  • B \(\dfrac{{ - 1}}{2}\)
  • C \(1\) 
  • D \(3\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(S = 3 - {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} - 3{\tan ^2}{45^0} = 3 - {1^2} + 2.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} - {3.1^2} = \dfrac{{ - 1}}{2}\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Để tính \(cos{120^0}\) , một học sinh làm như sau:

\((I)\sin {120^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow (II){\cos ^2}{120^0} = 1 - {\sin ^2}{120^0} \Rightarrow (III){\cos ^2}{120^0} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow (IV)\cos {120^0} = \dfrac{1}{2}\)

Lập luận trên sai từ bước nào?

  • A (I)
  • B (II)
  • C (III)
  • D (IV)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\(\sin {120^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {\cos ^2}{120^0} = 1 - {\sin ^2}{120^0} \Rightarrow {\cos ^2}{120^0} = \dfrac{1}{4}\)

Vì \({90^0} < {120^0} < {180^0} \Rightarrow \cos {120^0} < 0 \Rightarrow \cos {120^0} = \dfrac{{ - 1}}{2}\). Sai ở bước (IV).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:

  • A \({\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 1 + 2\sin x\cos x\)
  • B \({\left( {\sin x-\cos x} \right)^2} = 1-2\sin x\cos x\)
  • C \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1-2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)
  • D \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1-{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết:

\({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = {({\sin ^2}x + {\cos ^2}x)^3} - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Có bao nhiêu điểm \(M\) trên đường tròn định hướng gốc A thỏa mãn điều kiện sau:

Sđ cung \(AM = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3},\,\,\,k \in \mathbb{Z}\)

  • A \(6\)  
  • B \(4\)
  • C \(3\)
  • D \(8\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Số điểm \(M\) trên đường tròn định hướng bằng số giá trị của k thỏa mãn \(0 \le \) sđ cung \(AM\)  \( \le 2\pi \) 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(0 \le \,sd\,\,cung\,\,AM \le 2\pi  \Leftrightarrow 0 \le \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3} \le 2\pi  \Leftrightarrow  - \frac{\pi }{6} \le \frac{{k2\pi }}{3} \le \frac{{11\pi }}{6}\)

\( \Leftrightarrow  - \frac{1}{6} \le \frac{{2k}}{3} \le \frac{{11}}{6} \Leftrightarrow  - \frac{3}{{12}} \le k \le \frac{{11}}{4}\)  mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;\,1;\,2} \right\}.\) 

Vậy có 3 điểm \(M\)  thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trên đường tròn lượng giác gốc \(A\), số đo của cung lượng giác nào sau đây có các điểm biểu diễn là cả bốn điểm \(A,{\rm{ }}A',{\rm{ }}B,{\rm{ }}B'\) như hình bên ?

  • A \(\frac{{k\pi }}{4},{\rm{ }}k \in Z\).
  • B \(\frac{{k\pi }}{2},{\rm{ }}k \in Z\).
  • C \(\frac{\pi }{2} + k\pi ,{\rm{ }}k \in Z\).          
  • D \(k\pi ,{\rm{ }}k \in Z\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Xác định điểm cuối và chu kỳ của cung lượng giác đó.

Lời giải chi tiết:

Ta có điểm đầu là A \(\left( {{0^o}} \right)\) và cứ \({90^o} = \frac{\pi }{2}\) là góc đó lại quét đến điểm B, A’ ,B’.

\( \Rightarrow \) Số đo của cung lượng giác đó là \(\frac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Một cung tròn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo radian của cung tròn đó là:

  • A 1
  • B 2
  • C 3
  • D 4

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính độ dài cung \(\alpha \) của đường tròn bán kính R là \(l = \alpha R\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(l = \alpha R \Rightarrow 2R = \alpha R \Rightarrow \alpha  = 2\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trên đường tròn có bán kính R, cung tròn có độ dài bằng \(\dfrac{1}{6}\) độ dài nửa đường tròn thì có số đo (tính bằng radian) là :

  • A \(\dfrac{\pi }{2}\)
  • B \(\dfrac{\pi }{3}\)
  • C \(\dfrac{\pi }{4}\)
  • D \(\dfrac{\pi }{6}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính độ dài cung \(\alpha \) của đường tròn bán kính R là \(l = \alpha R\).

Lời giải chi tiết:

Độ dài nửa đường tròn bán kính R là \(\pi R\).

Do đó độ dài cung đã cho là \(l = \dfrac{1}{6}\pi R\).

Ta có \(l = \alpha \pi  \Rightarrow \dfrac{1}{6}\pi R = \alpha R \Rightarrow \alpha  = \dfrac{\pi }{6}\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho góc \(\alpha  = \dfrac{{11\pi }}{5} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) để \(\alpha  \in \left( { - 18; - 12} \right)\) thì giá trị của k bằng bao nhiêu ?

  • A -8
  • B -7
  • C -6
  • D -5

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\alpha  \in \left( { - 18; - 12} \right) \Rightarrow  - 18 < \alpha  <  - 12\), tìm các giá trị nguyên của k thỏa mãn.

Lời giải chi tiết:

Theo bài ra ta có: \(\alpha  = \dfrac{{11\pi }}{5} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\), \(\alpha  \in \left( { - 18; - 12} \right)\)

\( \Rightarrow  - 18 < \dfrac{{11\pi }}{5} + k\pi  <  - 12 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 18 - \dfrac{{11\pi }}{5}}}{\pi } < k < \dfrac{{ - 12 - \dfrac{{11\pi }}{5}}}{\pi } \Leftrightarrow  - 7,93 < k <  - 6,01\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k =  - 7 \Rightarrow \alpha  = \dfrac{{11\pi }}{5} - 7\pi  =  - \dfrac{{24\pi }}{5}\).

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cung lượng giác \(\alpha  = k\pi \) được biểu diễn bởi điểm nào trên đường tròn lượng giác.

  • A Điểm B và điểm B’
  • B Điểm O
  • C Điểm A và điểm A’
  • D Các điểm A, A’, B, B’

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\dfrac{{2\pi }}{\pi } = 2 \Rightarrow \alpha  = k\pi \) được biểu diễn bởi 2 điểm trên đường tròn lượng giác.

Cho \(k = 0 \Rightarrow \alpha  = 0,\,\,k = 1 \Rightarrow \alpha  = \pi \).

Vậy cung lượng giác \(\alpha  = k\pi \) được biểu diễn bởi điểm A và A’ trên đường tròn lượng giác.

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Bánh xe máy có đường kính (kể cả lốp) 55cm. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng ?

  • A 8,04 vòng
  • B 8,03 vòng
  • C 8,02 vòng
  • D 8,01 vòng

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Số vòng = Quãng đường đi được : Chu vi

Lời giải chi tiết:

Quãng đường xe đi được trong 1 giây = \(\dfrac{1}{{3600}}\) giờ là: \(50.\dfrac{1}{{3600}} = \dfrac{1}{{72}}\,\,\left( {km} \right) = \dfrac{{12500}}{9}\,\,\left( {cm} \right)\).

Chu vi của bánh xe là \(C = 2\pi .R = 2\pi .\dfrac{{55}}{2} = 55\pi \,\,\left( {cm} \right)\).

Vậy số vòng bánh xe quay được trong 1 giây là \(n = \dfrac{{\dfrac{{12500}}{9}}}{{55\pi }} \approx 8,04\) (vòng)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trên đường tròn định hướng, cho bốn cung có số đo lần lượt là \(\alpha  = \dfrac{{ - 5\pi }}{6},\,\,\beta  = \dfrac{\pi }{3},\,\,\gamma  = \dfrac{{25\pi }}{3},\) \(\delta  = \dfrac{{19\pi }}{6}\). Khi đó các cung có điểm đầu và điểm cuối trung nhau là:

  • A \(\alpha ,\,\,\beta ,\,\,\gamma \)
  • B \(\alpha \) và \(\delta \), \(\beta \) và \(\gamma \)
  • C \(\beta ,\,\,\gamma \)
  • D

    \(\alpha \) và \(\beta \), \(\gamma \) và \(\delta \)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Hai cung có số đo lần lượt là \(\alpha ,\,\,\beta \)có điểm đầu và điểm cuối trung nhau khi chúng sai khác nhau nguyên lần \(2\pi \).

Lời giải chi tiết:

Xét hiệu

\(\begin{array}{l}\alpha  - \beta  = \dfrac{{ - 5\pi }}{6} - \dfrac{\pi }{3} =  - \dfrac{{7\pi }}{6}\\\alpha  - \gamma  = \dfrac{{ - 5\pi }}{6} - \dfrac{{25\pi }}{3} =  - \dfrac{{55\pi }}{6}\\\alpha  - \delta  = \dfrac{{ - 5\pi }}{6} - \dfrac{{19\pi }}{6} =  - 4\pi \\\beta  - \gamma  = \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{25\pi }}{3} =  - 8\pi  =  - 4\left( {2\pi } \right)\\\beta  - \delta  = \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{19\pi }}{6} =  - \dfrac{{17\pi }}{6}\\\gamma  - \delta  = \dfrac{{25\pi }}{3} - \dfrac{{19\pi }}{6} = \dfrac{{31\pi }}{6}\end{array}\)

Vậy \(\alpha \) và \(\delta \), \(\beta \) và \(\gamma \) có điểm đầu và điểm cuối trung nhau.

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Biết góc lượng giác \(\left( {Ox;Oy} \right)\) có một số đo là \(\dfrac{{3\pi }}{2} + 2017\pi \). Khi đó giá trị tổng quát của góc lượng giác \(\left( {Ox;Oy} \right)\) là:

  • A \(\dfrac{{3\pi }}{2} + k2\pi \)
  • B \(\dfrac{{3\pi }}{2} + k\pi \)
  • C \(\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \)
  • D \(\dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Giá trị tổng quát của một góc lượng giác được viết ở dạng \(\alpha  + k2\pi \) trong đó \(0 \le \alpha  \le 2\pi \).

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{3\pi }}{2} + 2017\pi  = \dfrac{\pi }{2} + \pi  + 2017\pi  = \dfrac{\pi }{2} + 1009\left( {2\pi } \right)\).

Vậy giá trị tổng quát của góc lượng giác \(\left( {Ox;Oy} \right)\) là: \(\dfrac{\pi }{2} + k2\pi \).

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Cho hình vuông ABCD. Gọi L, M, N, P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB, BC, CD, DA. Cung có điểm đầu là điểm A và có số đo \(\alpha  =  - \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \). Điểm cuối của \(\alpha \) ở đâu :

  • A N
  • B P
  • C M
  • D L

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Khi quay điểm A một góc \( - \dfrac{{3\pi }}{4}\)theo chiều âm của đường tròn định hướng, ta được góc \(\widehat {AON}\).

Vậy điểm cuối của \(\alpha \) trùng với điểm N.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Một bánh xe có 72 răng, số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:

  • A \({30^0}\)
  • B \({40^0}\)
  • C \({50^0}\)
  • D \({60^0}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính độ dài cung \(\alpha \) của đường tròn bán kính R là \(l = \alpha R\).

Lời giải chi tiết:

Bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng tức là quay được một cung tròn có độ dài \(l = \dfrac{{10}}{{72}}.2\pi R = \dfrac{5}{{18}}\pi R\).

Mà \(l = \alpha R \Rightarrow \alpha R = \dfrac{5}{{18}}\pi R \Rightarrow \alpha  = \dfrac{5}{{18}}\pi  = {50^0}\).

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trên đường tròn lượng giác có điểm gốc là A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo là 750. Gọi N là điểm đối xứng M qua gốc tọa độ O, thì số đo của góc lượng giác AN bằng:

  • A \( - {105^0}\) hoặc \({255^0}\)
  • B \({255^0}\)
  • C \( - {105^0} + k{360^0}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
  • D \( - {105^0}\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Tính số đo góc AON

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {AON} = {180^0}\) (kề bù) \( \Rightarrow \widehat {AON} = {180^0} - {75^0} = {105^0}\).

Vậy số đo của góc lượng giác AN bằng \( - {105^0}\).

Chọn D

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Cho \(\sin \alpha  = \frac{5}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi .\) Tính giá trị biểu thức \(A = 3\cos \alpha  + 2\sin \alpha .\)

  • A \(1\)
  • B \(-1\)
  • C \(-2\)
  • D \(0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) ta có: \(\sin \alpha  > 0,\,\,\,\cos \alpha  < 0.\)

Lời giải chi tiết:

Với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì \(\cos \alpha  < 0.\)

Ta có: \(\left| {\cos \alpha } \right| = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{5}{{13}}} \right)}^2}}  = \frac{{12}}{{13}},\) mà \(\cos \alpha  < 0\) nên \(\cos \alpha  =  - \frac{{12}}{{13}}.\)

\( \Rightarrow A = 3\cos \alpha  + 2\sin \alpha  = 3.\left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right) + 2.\frac{5}{{13}} =  - 2.\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Tính \(B = \frac{{1 + 5\sin \alpha \cos \alpha }}{{3 - 2{{\cos }^2}\alpha }},\) biết \(\tan \alpha  = 2.\)

  • A \(\frac{{15}}{{13}}\)                        
  • B \(\frac{{13}}{{14}}\)            
  • C \(\frac{{ - 15}}{{13}}\)                     
  • D \(1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho \({\cos ^2}\alpha \) rồi tính giá trị của biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}B = \frac{{1 + 5\sin \alpha \cos \alpha }}{{3 - 2{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 5.\frac{{\sin \alpha .\cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{3.\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 2.\frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{1 + {{\tan }^2}\alpha  + 5\tan \alpha }}{{3\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right) - 2}} = \frac{{1 + {2^2} + 5.2}}{{3\left( {1 + {2^2}} \right) - 2}} = \frac{{15}}{{13}}.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.