Phương pháp giải:

- Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \(AHB\) tính \(BH\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) tính \(BC\): \(A{B^2} = BH.BC\).

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ như sau:

Theo bài ra ta có:  \(AD = 10m,\,\,\,CD = 1,5m\), góc “nâng” \(\angle BCH = {31^0}\) (với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) lên \(AB\)).

Vì \(ADCH\) là hình chữ nhật nên \(CH = AD = 10m\), \(AH = CD = 1,5m\).

Xét tam giác vuông \(BCH\) có: \(BH = CH.\tan {31^0} = 10.\tan {31^0}\,\,\left( m \right)\).

Vậy chiều cao cột cờ là \(AB = AH + BH = 1,5 + 10.tan{31^0} \approx 7,5\,\,\left( m \right)\).

Chọn C.

Lời giải chi tiết:

Đặt:  BC = x (m)

\(AC = AB + BC = 500 + {x^{}}\left( m \right)\)

Xét tam giác vuông ACD, ta có:

\(\tan CAD = \dfrac{{CD}}{{AC}} \Rightarrow CD = AC.\tan CAD \Leftrightarrow CD = \left( {500 + x} \right).tan{34^0}\)   (1)

Xét tam giác vuông BCD, ta có:

\(\tan CBD = \dfrac{{CD}}{{BC}} \Rightarrow CD = BC.\tan CBD \Leftrightarrow CD = x.tan{38^0}\)     (2)

Từ (1) và (2)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \left( {500 + x} \right).tan{34^0} = x.t{\rm{an3}}{8^0}\\
\Leftrightarrow 500.\tan {34^0} + x.tan{34^0} = x.\tan {38^0}\\
\Leftrightarrow x.\tan {38^0} - x.tan{34^0} = 500.\tan {34^0}\\
\Leftrightarrow x.\left( {tan{{38}^0} - tan{{34}^0}} \right) = 500.\tan {34^0}\\
\Leftrightarrow x = \dfrac{{500.\tan {{34}^0}}}{{tan{{38}^0} - tan{{34}^0}}} = 3158,5m
\end{array}\)

Chiều cao của ngọn núi là: \(CD = 3158,5.\tan {38^0} = 2467,{7^{}}\left( m \right)\)

Vậy: Chiều cao của ngọn núi là 2467,7 mét.

Lời giải chi tiết:

1.1a)

Đặt tên vị trí các điểm A, B, C như trong hình vẽ, trong đó:

AB = 8,3cm, BC = 5,7cm .                                                                

Đường đi của chùm tia tới khối u tương ứng với độ dài của đoạn AC trên hình, góc tạo bởi chùm tia với mặt da là góc BAC.

Xét tam giác vuông ABC, ta có:

\(\tan BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{5,7}{8,3}\Rightarrow \angle BAC\approx 34,{{5}^{0}}\)

 Vậy góc tạo bởi chùm tia với mặt da gần bằng 34,5⁰

1.1b)

·        Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC, ta có:

\(AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{8,{{3}^{2}}+5,{{7}^{2}}}=\sqrt{101,38}\approx 10,1cm\)

 Vậy  Chùm tia phải đi một đoạn dài gần bằng 10,1cm để đến được khối u.

 2.        Vẽ lại hình minh họa và đặt tên các vị trí tương ứng như trong hình vẽ. Trong đó, AC’ = m là chiều cao cây cột điện, AC = 3m là khoảng từ ngọn cây cột điện chạm đất đến gốc cây, BC là cây cột điện bị gãy

AB là khoảng cách từ điểm gãy của cây cột điện đến gốc cây. Đặt AB = x (m), x > 0.

\(\Rightarrow BC'=BC=9-x\)  (m)

Áp dụng định lý Pitago vào trong tam giác vuông ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {3^2} = {\left( {9 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + 9 = 81 - 18x + {x^2}\\ \Leftrightarrow 18x = 72\\ \Leftrightarrow x = {4^{}}\left( {t/m} \right)\end{array}\)

 Vậy điểm gãy ngang của cây cột điện cách gốc bằng 4 mét.

Lời giải chi tiết:

Gọi x là chiều cao của cầu thang Xét hệ tọa độ Oxy như hình vẽ với

(0; 0); A (-4;0); B (0;x)

Hệ số góc của cầu thang là:

\(a=\operatorname{tanOAB}=\frac{OB}{OA}=\frac{x}{4}\)

Theo quy chuẩn thì:

 \(a\le \frac{1}{12}\Leftrightarrow \frac{x}{4}\le \frac{1}{12}\Leftrightarrow x\le \frac{1}{3}\left( m \right)\)

Vậy chiều cao tối đa của cầu thang là \(\frac{1}{3}\)mét.

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức sin và cosin để tính các đại lượng đề bài yêu cầu

Lời giải chi tiết:

Coi mặt biển là một mặt phẳng, theo đề bài ta có hình vẽ minh họa:

Trong hình vẽ ta có:

+)  Đoạn AC là quãng đường tàu di chuyển trong quá trình lặn,

+)  Đoạn BC là độ sâu mà tàu lặn được.

+) Đoạn AB là khoảng cách theo phương ngang tính từ vị trí xuất phát tới vị trí của tàu sau khi lặn.

+)  \(\alpha \) là góc tạo bởi quãng đường tàu chuyển động và mặt biển.

Xét tam giác vuông ABC vuông tại B có:

+) \(\sin \alpha  = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow BC = AC.\sin \alpha  = 300.\sin {21^o} \approx 107\left( m \right)\)

+) \(\cos \alpha  = \frac{{AB}}{{AC}} \Rightarrow AB = AC.\cos \alpha  = 300.cos{21^o} = 280\left( m \right)\)

Vậy tàu lặn xuống độ sâu 107 (m) và khoảng cách theo phương ngang từ vị trí ban đầu tới vị trí sau khi lặn là 280 (m).

Chọn C.

Phương pháp giải:

Chiếc thang tạo với tường nhà một tam giác vuông với cạnh huyền chính là độ dài của thang. Áp dụng công thức sin vào tam giác vuông để tính độ dài cái thang

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ minh họa:

Như vậy độ dài cạnh BC chính là chiều dài của chiếc thang.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

\(\sin \alpha  = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{AB}}{{\sin \alpha }} = \frac{3}{{\sin {{70}^o}}} = 3,19m\)

Vậy chiều dài của chiếc thang cần làm là \(3,19m\).

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức lượng giác của một góc trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}}.\)

+) Tính số tầng của tòa nhà = chiều cao của tòa nhà : chiều cao mỗi tầng.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(h\) là chiều cao của tòa nhà cần tìm, \(\alpha \) là góc tia nắng mặt trời tạo với mặt đất lúc ấy.

Khi đó ta có: \(\tan \alpha  = \frac{7}{4} = \frac{h}{{80}}\)

Suy ra: \(h = 140m\)

Vậy tòa nhà đó có: \(140:2 = 70\) (tầng)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Gọi CD vuông góc với AB với CD là chiều cao của ngọn núi. Áp dụng hệ thức lượng giác trong tam giác và dữ kiện đề bài cho để lập phương trình, tìm được độ cao ngọn núi.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ minh họa

Xét tam giác vuông ADC vuông tại C có: \(\tan \left( {\angle DAC} \right) = \frac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{DC}}{{\tan \left( {\angle DAC} \right)}}\).

Xét tam giác vuông BDC vuông tại C có: \(\tan \left( {\angle DBC} \right) = \frac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{DC}}{{\tan \left( {\angle DBC} \right)}}\).

Có:

\(AC - BC = AB = 500\left( m \right) \Rightarrow \frac{{DC}}{{\tan \left( {\angle DAC} \right)}} - \frac{{DC}}{{\tan \left( {\angle DBC} \right)}} = 500\)

\( \Rightarrow DC.\left( {\frac{1}{{\tan {{34}^o}}} - \frac{1}{{\tan {{38}^o}}}} \right) = 500 \Rightarrow DC = \frac{{500}}{{\frac{1}{{\tan {{34}^o}}} - \frac{1}{{\tan {{38}^o}}}}} = 2468\left( m \right)\)

Vậy độ cao của ngọn núi là \(2468m\) 

Chọn D

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(AD = h\) là chiều cao của quả đồi.

Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) ta có : \(\tan {30^0} = \frac{h}{{CD}} \Rightarrow h = CD.\tan {30^0} = \frac{{CD}}{{\sqrt 3 }}.\)

Xét \(\Delta ABE\) vuông tại \(E\) ta có : \(\tan {60^0} = \frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{h + DE}}{{CD}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow CD.\tan {60^0} = h + BC \Leftrightarrow CD.\sqrt 3  = \frac{{CD}}{{\sqrt 3 }} + 100\\ \Leftrightarrow 3CD = CD + 100\sqrt 3  \Leftrightarrow CD = 50\sqrt 3 \,\,m.\\ \Rightarrow h = \frac{{CD}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{50\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 50\,\,m.\end{array}\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Sử dụng các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow AC = AB = 173,2\,\,\left( m \right)\).

Do từ C bạn An đi bộ đến trường theo đường CD mất thời gian gấp đôi khi từ từ A đến trường theo đường AB nên quãng đường CD gấp đôi quãng đường AD \( \Rightarrow CD = 2AD\).

Xét tam giác vuông \(ACD\) có: \(\sin \angle ACD = \frac{{AD}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle ACD = {30^0}\).

\( \Rightarrow CD = \frac{{AC}}{{\cos {{30}^0}}} = \frac{{173,2}}{{\cos {{30}^0}}} \approx 200\,\,\left( m \right)\)

Chọn C.

Phương pháp giải:

Sử dụng giá trị lượng giác của một góc nhọn trong tam giác vuông để giải tam giác.

Lời giải chi tiết:

Chiều cao của cây là : \(h = 1,7 + 20.\tan 35^\circ  \approx 15,7m\).

Chọn B.

Phương pháp giải:

Góc nâng của máy bay là góc tạo bởi hướng chuyển động bay lên của may bay với phương nằm ngang của mặt đất. Từ đó áp dụng công thức sin để tính đoạn đường mà máy bay cần bay để đạt độ cao 250m.

Lời giải chi tiết:

Ta có hình vẽ minh họa.

Độ dài đoạn AC chính là quãng đường máy bay cần đi để đạt độ cao 250m.

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

\(\sin \left( {\angle CAB} \right) = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{BC}}{{\sin \left( {\angle CAB} \right)}} = \frac{h}{{\sin {{23}^o}}} = \frac{{250}}{{\sin {{23}^o}}} \approx 640\left( m \right)\)

Vậy máy bay cần bay quãng đường 640 (m) để đạt được độ cao 250 (m).

Chọn A.

Lời giải chi tiết:

Do cung AB quá nhỏ (3,1m) nên ta có thể xem như là một đoạn thẳng.

trong tam giác vuông ABC, ta có:

\(\tan \widehat {ACB}  = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{3,1}}{{25}} = 0,124 \Rightarrow \widehat {ACB}  \approx 7,{069^0}\)

CB // SO

Suy ra: \(\widehat {ACB} = \widehat {AOS} \approx 7,{069^0}\) (hai góc so le trong)

Độ dài cung AS = 800km ứng với góc 7,069⁰ ở tâm

Chu vi Trái Đất P ứng với góc 360⁰

Suy ra, chu vi của Trái Đất là:

                  \(P = \dfrac{{360.800}}{{7,069}} \approx {40741^{}}\left( {km} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để làm bài.

Lời giải chi tiết:

Đặt các điểm \(D,\,\,E\) như hình vẽ.

Xét \(\Delta CDE\) vuông tại \(E\) ta có:

\(CE = DE.\tan {55^0} = 6.\tan {55^0} \approx 8,57\,m.\)

\( \Rightarrow \) Chiều cao của cây là: \(BC = CE + BE = 8,57 + 1,6 = 10,17\,\,m.\)

Chọn  D.

Phương pháp giải:

Từ \(C,\) dựng đường vuông góc với \(AB,\) cắt \(AB\) tại \(D.\)

Khi đó ta có: \(CD\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong

\(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \angle A = \frac{{CD}}{{CA}} \Rightarrow CD = CA.\sin \angle A\\\cos \angle A = \frac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AD = CA.\cos \angle A\\ \Rightarrow BD = AB - AD.\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta BCD\) để tính \(BC.\)

Lời giải chi tiết:

Từ \(C,\) dựng đường vuông góc với \(AB,\) cắt \(AB\) tại \(D.\)

Khi đó ta có: \(CD\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong

\(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \angle A = \frac{{CD}}{{CA}} \Rightarrow CD = CA.\sin \angle A\\ \Rightarrow CD = 185.\sin {53^0}.\\\cos \angle A = \frac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow AD = CA.\cos \angle A\\ \Rightarrow AD = 185.\cos {53^0}.\\ \Rightarrow BD = AB - AD = 234 - 185.\cos {53^0}.\end{array}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta BCD\) để tính \(BC.\)

\(\begin{array}{l}B{C^2} = B{D^2} + C{D^2} = {\left( {234 - 185.\cos {{53}^0}} \right)^2} + {\left( {185.\sin {{53}^0}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {234^2} - 2.234.185\cos {53^0} + {\left( {185.\cos {{53}^0}} \right)^2} + {\left( {185.\sin {{53}^0}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {234^2} - 2.234.185\cos {53^0} + {185^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} \approx 36875,86\\ \Rightarrow BC \approx 192\,m.\end{array}\)

Chọn C.