15 bài tập tổng hợp về Đại lượng tỉ lệ nghịch

Làm đề thi

Câu hỏi 1 :

Công thức nào sau đây cho ta quan hệ tỉ lệ nghịch giữa \(x\) và \(y?\)

  • A \(5y = 3x.\)                   
  • B \(y =  - 2x.\)                       
  • C \(xy = 2019\)                                
  • D \(x + y = 2020.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Nhẩm lại khái niệm hai đại lượng tỉ lệ nghịch đã học : Hai đại lượng tỉ lệ nghịch  \(x\)  và \(y\) liên hệ với nhau bởi công thức \(y = \frac{a}{x}\)  hay\(xy = a\)  (với \(a\)  là một số khác \(0\)) thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\).

Lời giải chi tiết:

Đáp án A. \(5y = 3x \Rightarrow y = \frac{{3x}}{5}\) hay đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với đại lượng \(x.\)

Đáp án B. \(y\) và \(x\) là hai đại lượng tỉ lệ thuận với hệ số tỉ lệ là \( - 2\) 

Đáp án C. \(y\) và \(x\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ là \(2019\).

Đáp án D. \(y\) và \(x\) không tỉ lệ thuận cũng không tỉ lệ nghịch.

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 2 :

Khi có \(y = \frac{a}{x}\) ta nói:

  • A \(y\) tỉ lệ với \(x\)                 
  • B \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\)
  • C \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) 
  • D \(x\) tỉ lệ thuận  với \(y\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng định nghĩa tỉ lệ nghịch.

Lời giải chi tiết:

Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y = \frac{a}{x}\) thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\)  theo hệ số tỉ lệ \(a.\) 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 3 :

Cho \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch và \(y = \frac{a}{x}\). Gọi \({x_1};{x_2};{x_3};...\) là các giá trị của \(x\) và \({y_1};{y_2};{y_3};...\) là các giá trị tương ứng của \(y\). Ta có

  • A \({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = \frac{1}{a}\)          
  • B \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}} = a\)            
  • C \({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\)    
  • D \(\frac{{{x_1}}}{{{y_1}}} = \frac{{{x_2}}}{{{y_2}}} = a\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tỉ lệ nghịch.

Lời giải chi tiết:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a\)  thì:

\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\)

\(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \frac{{{y_2}}}{{{y_1}}};\frac{{{x_1}}}{{{x_3}}} = \frac{{{y_3}}}{{{y_1}}};...\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 4 :

Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, \(x =  - \frac{1}{2}\) thì \(y = 4\). Hỏi x = 2 thì y bằng bao nhiêu?

  • A – 2       
  • B 2
  • C – 1       
  • D 1

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Tìm hệ số tỉ lệ của x và y từ giá trị x và y đã cho, từ đó tìm giá trị của y theo giá trị của x tiếp theo.

Lời giải chi tiết:

y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a (a là hằng số khác 0), khi đó: a = x.y = \(\left( { - \frac{1}{2}} \right).4 =  - 2\)

Vậy khi  x = 2 thì y = \(\frac{a}{x} = \frac{{ - 2}}{2} =  - 1\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho biết \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\) và khi \(x =  - 2\) thì \(y = 4\). Giá trị của \(a\) bằng bao nhiêu?            

  • A \( - 2\)                                         
  • B \( - 8\)                                      
  • C \( - 6\)                                       
  • D \( - 4\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y = \frac{a}{x}\) hay \(xy = a\) (\(a\) là một hằng số khác 0)

thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a.\)

*Chú ý: Khi \(y\) thỉ lệ nghịch với \(x\) thì  \(x\) cũng tỉ lệ nghịch với \(y\) và ta nói hai đại lượng đó tỉ lệ nghịch với nhau.

Lời giải chi tiết:

Vì \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(a\) và khi và khi \(x =  - 2\) thì \(y = 4\). Ta có: \(y = \frac{a}{x} \Rightarrow a = y.x = 4.\left( { - 2} \right) =  - 8\)

Vậy \(a =  - 8\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho biết \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Khi \(x = 7\) thì \(y = 4\). Tìm \(y\) khi \(x = 5.\)

  • A \(y = 5,6\)             
  • B \(y = 6,5\)                        
  • C \(y = \frac{3}{{28}}\)    
  • D \(y = \frac{{20}}{7}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất tỉ lệ nghịch:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a\)  thì: \({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có \(7.4 = 5.y \Rightarrow y = \frac{{28}}{5} = 5,6.\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Khi \(x =  - \frac{1}{2}\) thì \(y = 8\). Khi đó hệ số tỉ lệ \(a\) và công thức biểu diễn \(y\) theo \(x\) là:

  • A \(a =  - 4;\,y =  - 4x\)   
  • B \(a =  - 4;\,y = \frac{{ - 4}}{x}\)       
  • C \(a =  - 16;\,y = \frac{{ - 16}}{x}\)            
  • D \(a = 8;\,y = 8x\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Nếu hai đại lượng y và x tỉ lệ nghịch với nhau theo hệ số tỉ lệ \(a\)  thì:

\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2} = {x_3}{y_3} = ... = a\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và \(x =  - \frac{1}{2}\) thì \(y = 8\)

Nên hệ số tỉ lệ là \(a = x.y = \left( { - \frac{1}{2}} \right).8 =  - 4\)

Công thức biểu diễn \(y\) theo \(x\) là \(y = \frac{{ - 4}}{x}\)

Vậy \(a =  - 4;y = \frac{{ - 4}}{x}.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Biết 78 công nhân hoàn thành một công việc trong 56 ngày. Hỏi phải tăng thêm bao nhiêu công nhân nữa để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày (năng suất mỗi công nhân là như nhau).

  • A 26 công nhân.
  • B 25 công nhân.
  • C 24 công nhân.
  • D 23 công nhân.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xác định hai đại lượng ở đề bài là tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch từ đó dựa vào lý thuyết để lập phương trình tính.

 

Lời giải chi tiết:

Gọi số công nhân để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày là x (công nhân) (\(x \in {N^*},x > 78\))

Vì số ngày và số công nhân là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\(78.56 = x.42 \Leftrightarrow x = \frac{{78.56}}{{42}} = 104\) (công nhân)

Số công nhân phải tăng thêm để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày là: \(104 - 78 = 26\) (công nhân)

Vậy phải tăng thêm 26 công nhân để hoàn thành công việc đó trong 42 ngày.

Chọn đáp án A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Một lốc sữa Milo có 4 hộp sữa, một thùng sữa có 12 lốc sữa. Mẹ đưa tiền cho Minh đi siêu thị đủ để mua 1 thùng sữa. Nhưng khi đến nơi siêu thị có chương trình giảm giá 25% trên mỗi hộp sữa vào “giờ vàng”. Hỏi với số tiền mang theo thì Minh có thể mua nhiều hơn bao nhiêu hộp sữa so với dự tính ban đầu?.

  • A \(16\)
  • B \(26\)
  • C \(18\)
  • D \(28\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn, biểu diễn các yếu tố chưa biết và đã biết theo ẩn. Viết mối quan hệ giữa chúng.

Lời giải chi tiết:

Một thùng sữa có 48 hộp sữa. Gọi giá ban đầu của mỗi hộp sữa là \(x\left( {\,x \in {N^*}} \right)\)

Khi đó, giá của mỗi hộp sữa sau khi giảm 25% vào giờ vàng là: \(75\% .x\)

Vì giá tiền của mỗi hộp sữa và số hộp sữa mua được là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\(48x = 75\% x.k\) (k là số hộp sữa mua được sau giảm giá)

\( \Rightarrow k = \frac{{48x}}{{75\% x}} = 64\) (hộp sữa)

Số hộp sữa mà Minh có thể mua nhiều hơn so với ban đầu là: \(64 - 48 = 16\) (hộp sữa)

Vậy với số tiền ban đầu, Minh có thể mua nhiều hơn 16 hộp sữa so với dự tính ban đầu.

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Một tổ đóng tàu của nhà máy A có 20 công nhân (với năng suất làm việc như nhau) cùng đóng mới một chiếc tàu trong 60 ngày. Do tính chất công việc nên nhà máy đã chuyển 8 công nhân sang khâu khác làm việc. Hỏi số công nhân còn lại sẽ cùng nhau đóng xong chiếc tàu trên trong bao nhiêu ngày?

  • A \(90\) ngày
  • B \(100\) ngày
  • C \(110\) ngày
  • D \(120\) ngày

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn, biểu diễn các yếu tố chưa biết và đã biết theo ẩn. Viết mối quan hệ giữa chúng.

Lời giải chi tiết:

Số công nhân còn lại sau khi đã chuyển 8 công nhân sang khâu khác làm việc là:

\(20 - 8 = 12\) (công nhân)

Gọi \(x\) là số ngày để 12 công nhân (số công nhân còn lại) đóng xong chiếc tàu trên.

Vì cùng đóng một chiếc tàu và năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau nên số công nhân và số ngày đóng xong chiếc tàu là hai đại lượng tỉ lệ nghịch: \(20.60 = 12x\)

\( \Rightarrow x = \frac{{20.60}}{{12}} = \frac{{1200}}{{12}} = 100\) (ngày)

Vậy cần 100 ngày để số công nhân còn lại đóng xong chiếc tàu trên.

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Với cùng số tiền để mua 51 mét vải loại I có thể mua được bao nhiêu mét vải loại II, biết giá tiền 1m vải loại II chỉ bằng 85% giá tiền 1m vải loại I. 

  • A \(55m\)
  • B \(60m\)
  • C \(65m\)
  • D \(80m\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Đặt ẩn và đặt điều kiện cho ẩn, biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn. Viết mối liên hệ giữa đại lượng chưa biết và đại lượng đã biết để tìm ra ẩn.

Lời giải chi tiết:

Gọi giá tiền của 1m vải loại I là \(x\left( {x > 0} \right)\)

Khi đó, giá tiền của 1m vải loại II là \(85\% .x\)

Với cùng số tiền, giá tiền 1m vải và số mét vải mua được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có:

\(51x = 85\% x.k\) (với k là số mét vải loại II mua được)

\( \Rightarrow k = \frac{{51x}}{{85\%.x }} = 60\left( m \right)\)

Vậy với cùng số tiền để mua 51 mét vải loại I có thể mua được 60 mét vải loại II.

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho biết 30 công nhân xây xong một ngôi nhà hết 90 ngày. Hỏi 15 công nhân xây ngôi nhà đó hết bao nhiêu ngày? (giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau). 

  • A 190 ngày.
  • B 182 ngày.
  • C 180 ngày.
  • D 170 ngày.

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

* Lưu ý: về chọn ẩn và điều kiện thích hợp của ẩn

- Thông thường thì bài toán hỏi về đại lượng gì thì chọn ẩn là đại lượng đó.

- Về điều kiện thích hợp của ẩn:

+ Nếu \(x\)  biểu thị một chữ số thì \(0 < x < 9\)

+ Nếu \(x\)  biểu thị tuổi, sản phẩm, người thì \(x\)  nguyên dương.

+ Nếu \(x\)  biểu thị vận tốc của chuyển động thì \(x > 0\).

Lời giải chi tiết:

Gọi thời gian 15 công nhân xây xong ngôi nhà là x (ngày) với \(x\) nguyên dương.

Vì số công nhân làm và thời gian hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có:

\(15.x = 30.90 \Rightarrow x = \frac{{30.90}}{{15}} = 180\) (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian 15 công nhân xây xong ngôi nhà là 180 ngày.

Chọn C

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Cho biết hai đại lượng \(x\)\(y\) tỉ lệ nghịch với nhau khi và chỉ khi \(x = 3\) thì \(y = \frac{7}{3}\)

Câu 1: Tìm hệ số tỉ lệ nghịch của \(y\) đối với \(x\) và biểu diễn \(y\) theo \(x\) .

  • A \(a=5\)
  • B \(a=7\)
  • C \(a=3\)
  • D \(a=-2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+ Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y = \frac{a}{x}\) hay \(xy = a\) (với \(a\)  là hằng số khác \(0\)) thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\)  theo hệ số tỉ lệ \(a.\) 

+ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi: \(xy = a\) với \(a\)là hằng số khác 0.

Từ đó ta có thể xác định hệ số tỉ lệ \(a.\)

+ Dùng công thức \(y = \frac{a}{x}\) hoặc \(x = \frac{a}{y}\)  để tìm các giá trị tương ứng của \(x\) và \(y.\)

Lời giải chi tiết:

Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên \( \Rightarrow y = \frac{a}{x}\,\,\) với a là hằng số khác 0.

Khi \(x = 3\) thì \(y = \frac{7}{3}\) \( \Rightarrow a = xy = 3.\frac{7}{3} = 7\)

Chọn B

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tính giá trị của \(y\) khi \(x = 14;\,x = \frac{{ - 1}}{3}.\) Giá trị của y lần lượt là: 

  • A \(\frac{1}{2} ; - 21\)
  • B \(\frac{1}{4} ; - 20\)
  • C \(\frac{-1}{5} ; 21\)
  • D \(\frac{1}{2} ; 11\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

+ Nếu đại lượng \(y\) liên hệ với đại lượng \(x\) theo công thức \(y = \frac{a}{x}\) hay \(xy = a\) (với \(a\)  là hằng số khác \(0\)) thì ta nói \(y\) tỉ lệ nghịch với \(x\)  theo hệ số tỉ lệ \(a.\) 

+ Tích hai giá trị tương ứng của chúng luôn luôn không đổi: \(xy = a\) với \(a\)là hằng số khác 0.

Từ đó ta có thể xác định hệ số tỉ lệ \(a.\)

+ Dùng công thức \(y = \frac{a}{x}\) hoặc \(x = \frac{a}{y}\)  để tìm các giá trị tương ứng của \(x\) và \(y.\)

Lời giải chi tiết:

Khi \(x = 14 \Rightarrow y = \frac{a}{x} = \frac{7}{{14}} = \frac{1}{2}\)

Khi \(x = \frac{{ - 1}}{3} \Rightarrow y = \frac{a}{x} = \frac{7}{{\frac{{ - 1}}{3}}} =  - 21\)

Chọn A

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch \(x\) và \(y\); \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai giá trị của \(x\); \({y_1}\) và \({y_2}\) là hai giá trị tương ứng của \(y\). Biết \({x_1} = 4,{x_2} = 3\) và \({y_1} + {y_2} = 14\). Khi đó \({y_2} = ?\)

  • A \({y_2} = 5\)           
  • B \({y_2} = 7\)          
  • C \({y_2} = 6\)          
  • D \({y_2} = 8\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Từ tính chất tỉ lệ nghịch ta suy ra tỉ lệ thức.

+Áp dụng  tính chất dãy tỉ số bằng nhau để hoàn thành.

Lời giải chi tiết:

Vì  \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch  nên\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}\) mà \({x_1} = 4,{x_2} = 3\) và \({y_1} + {y_2} = 14\)

Do đó \(4{y_1} = 3{y_2} \Rightarrow \frac{{{y_1}}}{3} = \frac{{{y_2}}}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được: \(\frac{{{y_1}}}{3} = \frac{{{y_2}}}{4} = \frac{{{y_1} + {y_2}}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2\)

Do đó \(\frac{{{y_1}}}{3} = 2 \Rightarrow {y_1} = 6\); \(\frac{{{y_2}}}{4} = 2 \Rightarrow {y_2} = 8\)

Vậy \({y_2} = 8.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Cho hai đại lượng tỉ lệ nghịch \(x\) và \(y\); \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai giá trị của \(x\); \({y_1}\) và \({y_2}\) là hai giá trị tương ứng của \(y\). Biết \({x_2} =  - 4,{y_1} =  - 10\)và \(3{x_1} - 2{y_2} = 32\). Tính \({x_1}\) và \({y_2}.\)

  • A \({x_1} = 16;{y_2} = 40\)                        
  • B \({x_1} =  - 40;{y_2} =  - 16\)   
  • C \({x_1} = 16;{y_2} =  - 40\)        
  • D \({x_1} =  - 16;{y_2} =  - 40\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

+ Từ tính chất tỉ lệ nghịch ta suy ra tỉ lệ thức.

+Áp dụng  tính chất dãy tỉ số bằng nhau để hoàn thành.

Lời giải chi tiết:

Vì  \(x\) và \(y\) là hai đại lượng tỉ lệ nghịch  nên\({x_1}{y_1} = {x_2}{y_2}\) mà \({x_2} =  - 4,{y_1} =  - 10\)và \(3{x_1} - 2{y_2} = 32\)

Nên ta có \({x_1}.\left( { - 10} \right) = \left( { - 4} \right).{y_2}\) \( \Rightarrow \frac{{{x_1}}}{{ - 4}} = \frac{{{y_2}}}{{ - 10}} = \frac{{3{x_1} - 2{y_2}}}{{3.\left( { - 4} \right) - 2.\left( { - 10} \right)}}\) \( = \frac{{32}}{8} = 4\)

Do đó \(\frac{{{x_1}}}{{ - 4}} = 4 \Rightarrow {x_1} =  - 16\)  và \(\frac{{{y_2}}}{{ - 10}} = 4 \Rightarrow {y_2} =  - 40\)

Vậy \({x_1} =  - 16;{y_2} =  - 40.\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Xem thêm

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi với đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Sử, Sinh cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.



Gửi bài