Đề kiểm tra giữa kì 2 Toán 10 - đề số 4 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1. Trong các véc tơ sau véc tơ nào không là pháp tuyến của đường thẳng có phương trình \(3x - 3y + 4 = 0\)?

A. \(\left( {1;\,\,1} \right)\)       B. \(\left( {3;\,\, - 3} \right)\)                              

C. \(\left( { - 2;\,\,2} \right)\)         D. \(\left( {6;\,\, - 6} \right)\)

Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có tọa độ các đỉnh là \(A\left( {2;\,\,1} \right)\), \(B\left( { - 1;\,\,2} \right)\), \(C\left( {3;\,\, - 4} \right)\). Phương trình nào sau đây là phương trình đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) vẽ từ \(A\)?

A.  \(x - 2y = 0\)                     

B. \(x + 2y - 2 = 0\)                

C. \(2x - y - 1 = 0\)

D. \(2x - y - 3 = 0\)

Câu 3. Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào trong các điểm sau?

A. \(\left( {1;\,\,1} \right)\)   B. \(\left( {4;\,\,2} \right)\)                                

C. \(\left( {0;\,\,0} \right)\)     D. \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\)

Câu 4. Xét góc lượng giác \(\left( {OM,\,\,OA} \right) = \alpha \), trong đó \(M\) là điểm không thuộc các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) và thuộc góc phần tư thứ hai của hệ trục độ \(Oxy\). Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. \(\sin \alpha  < 0,\,\,\cos \alpha  > 0\)                                                       

B. \(\sin \alpha  > 0,\,\,\cos \alpha  > 0\)                                           

C. \(\sin \alpha  < 0,\,\,\cos \alpha  < 0\)                                                       

D. \(\sin \alpha  > 0,\,\,\cos \alpha  < 0\)

Câu 5. Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _1}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) trong đó \(a_1^2 + b_1^2 \ne 0,\,\,a_2^2 + b_2^2 \ne 0\). Khẳng định nào sau đây sai?

A. Véc-tơ pháp tuyến của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) không cùng phương với nhau thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau                      

B. Tích vô hướng hai véc tơ pháp tuyến \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(0\) thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc                                              

C. Véc-tơ pháp tuyến của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cùng phương với nhau thì \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\)             

D. \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau khi véc tơ pháp tuyến của chúng cùng phương với nhau và \(M \in {\Delta _1} \Rightarrow M \in {\Delta _2}\)

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 5 = 0\). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(\left( C \right)\) cắt trục \(Oy\) tại một điểm phân biệt                                      

B. \(\left( C \right)\) có tâm \(A\left( {2;\,\,0} \right)\)                                  

C. \(\left( C \right)\) có bán kính \(R = 3\)                                        

D. \(\left( C \right)\) cắt trục \(Ox\) tại hai điểm phân biệt

Câu 7. Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 > x - 2\end{array} \right.\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left( {2;\,\, + \infty } \right)\)    B. \(S = \left( { - 3;\,\, + \infty } \right)\)                    C. \(S = \left( { - \infty ;\,\,3} \right)\)     D. \(S = \left( { - 3;\,\,2} \right)\)

Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\). Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \(\Delta \)?

A. \(N\left( {1;\,\, - 3} \right)\)      B. \(Q\left( {3;\,\,1} \right)\)                                   

C. \(M\left( { - 3;\,\,1} \right)\)       D. \(P\left( {1;\,\,3} \right)\)

Câu 9. Gọi \(D = \left[ {a;\,\,b} \right]\) là tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 } \). Khi đó \(M = a + {b^2}\) bằng

A. \( - 5\)         B. \(5\)         C. \(1\)        D. \(0\)

Câu 10. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c > 0\end{array} \right. \Rightarrow ac < bc\)                                                

B. \(c < a < b \Rightarrow ac < bc\)                                                

C. \(a < b \Rightarrow ac < bc\)                                                                  

D. \(a < b \Rightarrow ac > bc\)

Câu 11. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là \(A\). Điểm \(M\) thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác  có số đo \({75^0}\). Gọi \(N\) là điểm đối xứng với điểm \(M\) qua gốc tọa độ \(O\), mọi cung lượng giác có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(N\) có số đo bằng

A. \( - {105^0}\)  

B. \( - {105^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\)

C. \( - {105^0}\) hoặc \({255^0}\) 

D. \({255^0}\)

Câu 12. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho các đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,2x - 5y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\). Tính góc \(\varphi \) giữa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

A. \(\varphi  = {30^0}\)       B. \(\varphi  = {90^0}\) 

C. \(\varphi  = {60^0}\)        D. \(\varphi  = {45^0}\)

Câu 13. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :\,\,3x + 4y + 10 = 0\) và điểm \(M\left( {3;\,\, - 1} \right)\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \).

A. \(d = \dfrac{{15}}{{\sqrt 5 }}\)  B. \(d = 2\)  

C. \(d = 3\)        D. \(d = \dfrac{{13}}{5}\)

Câu 14. Cho góc lượng giác \(\alpha \) thỏa mãn \(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\cos \left( {\alpha  - \pi } \right) < 0\) 

B. \(\tan \left( {\alpha  + \pi } \right) > 0\) 

C. \(\cos \left( {\alpha  + \pi } \right) > 0\) 

D. \(\sin \left( {\alpha  + \pi } \right) < 0\)

Câu 15. Tập nghiệm \(S\) của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \le 0\\{x^2} - 1 \le 0\end{array} \right.\) là

A. \(S = \left\{ 1 \right\}\)     B. \(S = \left\{ {1;\,\,2} \right\}\) 

C. \(S = 1\)        D. \(S = \left[ { - 1;\,\,1} \right]\)

Câu 16. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương với nhau?

A. \(x - 2 \le 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0\) 

B. \(x - 2 \ge 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\)  

C. \(x - 2 < 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) > 0\) 

D. \(x - 2 < 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) < 0\)

Câu 17. Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 2} \right| \ge 3\) là

A. \(S = \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\)   B. \(S = \left( { - 2;\,\,1} \right)\)                           

C. \(S = \left[ { - 1;\,\,2} \right]\)    D. \(\left( { - \infty ;\,\, - 1} \right)\)

Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( { - 1;\,\, - 1} \right)\), \(B\left( {1;\,\,1} \right)\), \(C\left( {5;\,\, - 3} \right)\). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

A. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 100\)

B. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10\) 

C. \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\) 

D. \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \sqrt {10} \)

Câu 19. Tập xác định của bất phương trình \(\sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}  < x + 1\) là

A. \(D = \left( { - 1;\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\) 

B. \(D = \left( { - 1;\,\, + \infty } \right)\) 

C. \(D = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\) 

D. \(D = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\)

Câu 20. Tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {2x + 8} \right)\left( {1 - x} \right) > 0\) có dạng \(\left( {a;\,\,b} \right)\). Khi đó \(b - a\) bằng

A. \(6\)      B. \(9\)      C. \(5\)        D. \(3\)

Câu 21. Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha  = \dfrac{{12}}{{13}}\) và \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \). Tính \(\cos \alpha \).

A. \(\cos \alpha  = \dfrac{5}{{13}}\)     B. \(\cos \alpha  =  - \dfrac{1}{{13}}\) 

C. \(\cos \alpha  =  - \dfrac{5}{{13}}\)   D. \(\cos \alpha  = \dfrac{1}{{13}}\)

Câu 22. Cho đường thẳng \({d_1}:\,\,5x - 3y + 5 = 0\) và \({d_2}:\,\,3x + 5y - 2 = 0\). Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

A. \({d_1}\) song song \({d_2}\)

B. \({d_1}\) vuông góc \({d_2}\) 

C. \({d_1}\) không vuông góc với \({d_2}\) 

D. \({d_1}\) trùng \({d_2}\)

Câu 23. Bất phương trình \(mx > 3\) vô nghiệm khi

A. \(m < 0\)      B. \(m > 0\)

C. \(m = 0\)      D. \(m \ne 0\)

Câu 24. Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({x^2} - x - 12 \le 0\) là

A. \(8\)    B. \(9\)    C. \(10\)     D. \(11\)

Câu 25. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một đường tròn?

A. \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0\)

B. \({x^2} + {y^2} - 6y + 4 = 0\) 

C. \(2{x^2} + 2{y^2} - 8 = 0\)

D. \(2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 2y + 2 = 0\)

Câu 26. Bất phương trình \(\dfrac{3}{{2 - x}} < 1\) có tập nghiệm là

A. \(S = \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right] \cup \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\) 

B. \(S = \left( { - 1;\,\,2} \right)\)

C. \(S = \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\)            

D. \(S = \left[ { - 1;\,\,2} \right)\)

Câu 27. Tổng bình phương các nghiệm nguyên của bất phương trình \(\left| {2x - 3} \right| \le 1\) bằng

A. \(3\)     B. \(5\)     C. \(4\)      D. \(6\)

Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3;\,\, - 2} \right)\) có hệ số góc \(k =  - 2\).

A. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y =  - 2 + t\end{array} \right.\) 

B. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 2 - 2t\end{array} \right.\) 

C. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y =  - 2 + t\end{array} \right.\) 

D. \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 2 + 2t\end{array} \right.\)

Câu 29. Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - bx + 3\). Với giá trị nào của \(b\) thì \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm?

A. \(b \in \left( { - \infty ;\,\, - 2\sqrt[{}]{3}} \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ;\,\, + \infty } \right)\) 

B. \(b \in \left[ { - 2\sqrt 3 ;\,\,2\sqrt 3 } \right]\)

C. \(b \in \left( { - \infty ;\,\, - 2\sqrt[{}]{3}} \right) \cup \left( {2\sqrt 3 ;\,\, + \infty } \right)\) 

D. \(b \in \left( { - 2\sqrt 3 ;\,\,2\sqrt 3 } \right)\)

Câu 30. Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc \(A\), cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành tam giác đều?

A. \(\dfrac{{k\pi }}{2},\,\,k \in \mathbb{Z}\) 

B. \(k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\) 

C. \(\dfrac{{k\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\)

D. \(\dfrac{{k2\pi }}{3},\,\,k \in \mathbb{Z}\)

Câu 31. Cho biết \(\tan \alpha  = 2\). Tính giá trị \(P = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \) được:

A. \(P = \dfrac{3}{5}\)       B. \(P =  - \dfrac{4}{5}\) 

C. \(P = \dfrac{{ - 3}}{5}\)        D. \(P = \dfrac{4}{5}\)

Câu 32. Số giá trị nguyên của \(m\) nhỏ hơn \(2019\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x \ge {\left( {x + 1} \right)^2}\\x - m < 0\end{array} \right.\) có nghiệm là

A. \(2019\)        B. \(2017\)

C. \(2018\)         D. \(2016\)

Câu 33. Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\) là

A. \(\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.\)     B. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\)      D. \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \ge 0\end{array} \right.\)

Câu 34. Trong mặt phẳng hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho các đường thẳng song song \({\Delta _1}:\,\,3x + 2y - 3 = 0\) và \({\Delta _2}:\,\,3x + 2y + 2 = 0\). Tính khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng đó.

A. \(1\)        B. \(5\)

C. \(d = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}\)       D. \(d = \dfrac{{5\sqrt {13} }}{{13}}\)

Câu 35. Bất phương trình \(\sqrt x  + \sqrt {4 - x}  + 2\sqrt {4x - {x^2}}  \ge 2\) có tập nghiệm \(S = \left[ {a;\,\,b} \right],\,\,a < b\).

Tính \(P = {a^{2019}} + {b^{2019}}\).

A. \(1\)      B. \({2^{4038}}\)     C. \({2^{2019}}\)      D. \({4^{4038}}\)

Câu 36. Bất phương trình \(\sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3} \) có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. \(2\)    B. \(1\)      C. \(3\)       D. \(0\)

Câu 37. Đơn giản biểu thức \(P = \cos \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha  - \pi } \right),\,\,\alpha  \in \mathbb{R}\) ta được

A. \(P = \sin \alpha  - \cos \alpha \)   

B. \(P = 2\sin \alpha \)

C. \(P = \cos \alpha  + \sin \alpha \) 

D. \(P = 0\)

Câu 38. Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất phương trình \(\left( {3x - 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\) là

A. \(8\)        B. \( - 6\)         C. \( - 4\)        D. \( - 9\)

Câu 39. Giá trị lớn nhất \(M\) của biểu thức \(F\left( {x;\,\,y} \right) = x + 2y\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le y \le 4\\x \ge 0\\x - y - 1 \le 0\\x + 2y - 10 \le 0\end{array} \right.\) là

A. \(M = 10\)       B. \(M = 6\)

C. \(M = 12\)       D. \(M = 8\)

Câu 40. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\,3x - y - 1 = 0\) và \({d_2}:\,\,x + y - 2 = 0\). Đường tròn có tâm \(I\left( { - a;\,\,b} \right),\,\,a > 0\) thuộc đường thẳng \({d_1}\) tiếp xúc với đường thẳng \({d_2}\) và đi qua \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\). Khi đó, \(a\) thuộc khoảng

A. \(\left( { - 5;\,\, - 4} \right)\)    B. \(\left( {4;\,\,5} \right)\) 

C. \(\left( {3;\,\,4} \right)\)       D. \(\left( {2;\,\,3} \right)\)

Câu 41. Tính giá trị biểu thức \(P = \dfrac{{\left( {\cot {{44}^0} + \tan {{226}^0}} \right)\cos {{406}^0}}}{{\cos {{316}^0}}} - \cot {72^0}\cot {18^0}\).

A. \(P = 1\)        B. \(P = \dfrac{1}{2}\)   

C. \(P =  - \dfrac{1}{2}\)         D. \(P =  - 1\)

Câu 42. Giải bất phương trình \(2x\left( {x - 1} \right) + 1 > \sqrt {{x^2} - x + 1} \) được tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;\,\,a} \right) \cup \left( {b;\,\, + \infty } \right)\,\,\left( {a < b} \right)\). Tích \(P = ab\) bằng

A. \(0\)          B. \(2\)       C. \(1\)      D. \( - 1\)

Câu 43. Cho đường thẳng \(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\) và đường thẳng \(d:3x - y + 2 = 0\). Viết phương trình đường thẳng \(d'\) song song với đường thẳng \(d\) và chắn trên \(\left( C \right)\) một dây cung có độ dài lớn nhất.

A. \(3x - y + 5 = 0\)  

B. \(3x - y + 20 = 0\)   

C. \(3x - y + 13 = 0\)

D. \(3x - y - 5 = 0\)

Câu 44. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), đường thẳng đi qua \(A\left( {0;\,\,1} \right)\) tạo với đường thẳng \(d:3x - 2y - 5 = 0\) một góc bằng \({45^0}\) có hệ số góc \(k\) là

A. \(k =  - \dfrac{1}{5}\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}k =  - 5\\k = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\)  

C. \(\left[ \begin{array}{l}k = 5\\k =  - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\)

D. \(k = 5\)

Câu 45. Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + m\sin 2\alpha \), \(\left| m \right| < \dfrac{3}{2}\) bằng

A. \(\dfrac{{1 + 3{m^2}}}{9}\)       B. \(\dfrac{{1 - 3m}}{4}\) 

C.\(\dfrac{{{m^2} + 3}}{3}\)       D. \(\dfrac{{1 + 3m}}{4}\)

Câu 46. Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x + y = 1\). Giá trị nhỏ nhất của \(S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}\) là

A. \(5\)       B. \(9\)      C. \(4\)       D. \(2\)

Câu 47. Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({x^4} - 1 > {x^2} + 2x\) thỏa mãn điều kiện \(\left| x \right| \le 2019\) là

A. \(2019\)       B. \(4038\)  

C. \(4037\)        D. \(4036\)

Câu 48. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\). Biết rằng \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) và đường thẳng \(BN\) có phương trình \(2x + 9y - 34 = 0\). Khi đó, tọa độ \(B\left( {a;\,\,b} \right),\,\,\left( {a < 0} \right)\). Tính \({a^2} + {b^2}\).

A. \(25\)       B. \(13\)     C. \(17\)      D. \(5\)

Câu 49. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(mx + 4 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\) thỏa mãn \(\left| x \right| < 8\).

A. \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\,\,0} \right) \cup \left( {0;\,\,\dfrac{1}{2}} \right]\)

B. \(m \in \left( { - \infty ;\,\,\dfrac{1}{2}} \right]\)

C. \(m \in \left[ {\dfrac{1}{2};\,\, + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{1}{2}} \right]\)

Câu 50. Cho hai số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x{}^2 + {y^2} = x + y + xy\). Đặt \(S = x + y\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(S > 0\)     B. \(S < 0\)   C. \({S^2} > 16\)    D. \(0 \le S \le 4\)

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Nếu đường thẳng \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\) thì \(\vec n = \left( {a;\,\,b} \right)\) là VTPT của \(\Delta \).

Cách giải:

\(3x - 3y + 4 = 0\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {3;\,\, - 3} \right)\)\( = \left( {1; - 1} \right)\,\, = k\left( {1; - 1} \right)\)\(\left( {k \ne 0,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right)\)

+) Với \(k = 3\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {3;\,\, - 3} \right)\)\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

+) Với \(k =  - 2\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( { - 2;2} \right)\)\( \Rightarrow \) Đáp án C đúng.

+) Với \(k = 6\)\( \Rightarrow {\mathop{\rm VTPT}\nolimits} \,\,\vec n = \left( {6; - 6} \right)\)\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.  

Chọn A.

Câu 2 (TH) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Xác định tọa độ trung điểm của \(BC\) sau đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và \(M\).

Cách giải:

Gọi \(M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)\) là trung điểm của \(BC\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_C} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_C} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 1\\{y_M} =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {1;\,\, - 1} \right)\)

Ta có: \(A\left( {2;\,\,1} \right)\), \(M\left( {1;\,\, - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - 1;\,\, - 2} \right)\)\( \Rightarrow {\vec n_{AM}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\)

Phương trình đường trung tuyến của tam giác \(ABC\) vẽ từ \(A\) đi qua \(A\left( {2;\,\,1} \right)\) nhận \({\vec n_{AM}} = \left( {2;\,\, - 1} \right)\) là VTPT là :

\(2.\left( {x - 2} \right) - 1.\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - y - 3 = 0\)

Chọn D.

Câu 3 (NB) - Bất phương trình

Phương pháp:

Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình và kiểm tra xem điểm đó có thỏa mãn bất phương trình hay không?

Cách giải:

+) \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,1} \right)\) bất phương trình trở thành:

\( - 1 + 2 + 2\left( {1 - 2} \right) < 2\left( {1 - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 1 < 0\) (thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(\left( {1;\,\,1} \right)\).

+) \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {4;\,\,2} \right)\) bất phương trình trở thành:

\( - 4 + 2 + 2\left( {2 - 2} \right) < 2\left( {1 - 4} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 2 <  - 6\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng không chứa điểm \(\left( {4;\,\,2} \right)\).

+) \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {0;\,\,0} \right)\) bất phương trình trở thành:

\( - 0 + 2 + 2\left( {0 - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right).0\)\( \Leftrightarrow  - 2 < 0\)(thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(\left( {0;\,\,0} \right)\).

+) \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\, - 1} \right)\) bất phương trình trở thành:

\( - 1 + 2 + 2\left( { - 1 - 2} \right) < 2\left( {1 - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow  - 5 < 0\) (thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Miền nghiệm của bất phương trình \( - x + 2 + 2\left( {y - 2} \right) < 2\left( {1 - x} \right)\) là nửa mặt phẳng chứa điểm \(\left( {1;\,\, - 1} \right)\).

Chọn B.

Câu 4 (NB) - Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 đến 180 độ

Phương pháp:

Sử dụng bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác.

Cách giải:

Vì \(M\) là điểm không thuộc các trục tọa độ \(Ox,\,\,Oy\) và thuộc góc phần tư thứ hai của hệ trục độ \(Oxy\) nên \(\sin \alpha  > 0,\,\,\cos \alpha  < 0\).

Chọn D.

Câu 5 (TH) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Xác định VTPT của \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\). Sử dụng điều kiện hai véc-tơ cùng phương, đường thẳng song song, trùng nhau, vuông góc.

Cách giải:

\({\Delta _1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_1} = \left( {{a_1};\,\,{b_1}} \right)\)

\({\Delta _2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_2} = \left( {{a_2};\,\,{b_2}} \right)\)

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) không cùng phương \( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau \( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

*) \({\vec n_1}.{\vec n_2} = 0 \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc\( \Rightarrow \) Đáp án B đúng.

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) cùng phương thì \({\vec n_1} = k{\vec n_2}\left( {k \ne 0} \right)\)

+ Nếu \(k = 1\) thì \({\vec n_1} = {\vec n_2}\)\( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau.

+ Nếu \(k \ne 1\) thì \({\vec n_1} = k{\vec n_2}\)\( \Rightarrow {\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song.

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai (vì hai véc tơ cùng phương thì chúng có thể song song với nhau hoặc trùng nhau)

*) \({\vec n_1}\) và \({\vec n_2}\) cùng phương thì \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau hoặc song song với nhau. Kết hợp với điều kiện \(M \in {\Delta _1} \Rightarrow M \in {\Delta _2}\) suy ra \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trùng nhau. \( \Rightarrow \) Đáp án D đúng

Chọn C.

Câu 6 (TH) - Phương trình đường tròn

Phương pháp:

Xác định tâm và bán kính của đường tròn; Xác định giao điểm của đường tròn với \(Ox,\,\,Oy\).

Cách giải:

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 4x - 5 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + {y^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 9\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) được viết dưới dạng: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 9\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) có tâm \(A\left( {2;\,\,0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).

\( \Rightarrow \) Đáp án B và C đúng.

*) Nếu \(x = 0\), \(\left( C \right)\) trở thành:

\({\left( {0 - 2} \right)^2} + {y^2} = 9\)\( \Leftrightarrow {y^2} = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - \sqrt 5 \\y = \sqrt 5 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) cắt \(Oy\) tại hai điểm phân biệt \(\left( {0;\,\, - \sqrt 5 } \right)\) và \(\left( {0;\,\,\sqrt 5 } \right)\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A sai.

*) Nếu \(y = 0\), \(\left( C \right)\) trở thành:

\({\left( {x - 2} \right)^2} = 9\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3\\x - 2 =  - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \(\left( {5;\,\,0} \right)\) và \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Đáp án D đúng.

Chọn A.

Câu 7 (TH) - Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Phương pháp:

Giải hai bất phương trình rồi kết hợp tập nghiệm.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 > x - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\x + 3 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x >  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow  - 3 < x < 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 > x - 2\end{array} \right.\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - 3;\,\,2} \right)\).

Chọn D.

Câu 8 (TH) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Thay từng điểm vào phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) và xét xem diểm đó có thỏa mãn hay không.

Cách giải:

+) Thay \(x = 1;\,\,y =  - 3\) vào đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 =  - 1 + 2t\\ - 3 =  - 4 + t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\end{array} \right.\)(thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(N\left( {1;\,\, - 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

+) Thay \(x = 3;\,\,y = 1\) vào đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 =  - 1 + 2t\\1 =  - 4 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t = 5\end{array} \right.\) (không thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(Q\left( {3;\,\,1} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

+) Thay \(x =  - 3;\,\,y = 1\) vào đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3 =  - 1 + 2t\\1 =  - 4 + t\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 5\end{array} \right.\) (không thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(M\left( { - 3;\,\,1} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

+) Thay \(x = 1;\,\,y = 3\) vào đường thẳng \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\) ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 =  - 1 + 2t\\3 =  - 4 + t\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 7\end{array} \right.\)(không thỏa mãn)

\( \Rightarrow \) Điểm \(P\left( {1;\,\,3} \right)\) không thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - 4 + t\end{array} \right.\)

Chọn A.

Câu 9 (TH) - Hàm số

Phương pháp:

Hàm số \(y = \sqrt {f\left( x \right)} \) xác định khi và chỉ khi \(f\left( x \right) \ge 0\). Từ đó, tìm \(a\), \(b\) và tính giá trị của biểu thức \(M = a + {b^2}\)

Cách giải:

Hàm số \(y = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 } \) xác định khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5  \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {5 - \sqrt 5 } \right)x - 5\sqrt 5  \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - \sqrt 5 } \right) \le 0\\ \Leftrightarrow  - 5 \le x \le \sqrt 5 \end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^2} + \left( {15 - 7\sqrt 5 } \right)x + 25 - 10\sqrt 5 } \) là \(D = \left[ { - 5;\,\,\sqrt 5 } \right]\).

\( \Rightarrow a =  - 5;\,\,b = \sqrt 5 \)

\( \Rightarrow M = a + {b^2} = \)\(\left( { - 5} \right) + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 0\)

Chọn D.

Câu 10 (TH) - Bất đẳng thức

Phương pháp:

Sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

Cách giải:

+) Xét đáp án A

\(\left\{ \begin{array}{l}a < b\\c > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b < 0\\c > 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( {a - b} \right)c < 0\)\( \Rightarrow ac - bc < 0\)\( \Rightarrow ac < bc\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

+) Xét đáp án B

\(c < a < b\)

Giả sử \(c < 0 \Rightarrow ac > bc\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án B sai.

+) Xét đáp án C

\(a < b\)

Giả sử \(c < 0 \Rightarrow ac > bc\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án C sai.

+) Xét đáp án D

\(a < b\)

Giả sử \(c > 0 \Rightarrow ac < bc\) (trái với đề bài)

\( \Rightarrow \) Đáp án D sai.

Chọn A.

Câu 11 (TH) - Cung và góc lượng giác

Phương pháp:

Xác định vị trí các điểm \(M,\,\,N\) và xác định góc hình học \(\angle AOM,\,\,\angle MON\). Từ đó, xác định số đo của cung lượng giác \(AN\).

Cách giải:

Ta có: \(\angle AOM = {75^0},\,\,\angle MON = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Cung lượng giác có điểm đầu \(A\) và điểm cuối \(N\) có số đo bằng \( - {105^0} + k{360^0},\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Chọn B.

Câu 12 (TH) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Gọi \({\vec n_1},\,\,{\vec n_2}\) lần lượt là VTPT của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

\( \Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right) = \)\(\left| {\cos \left( {{{\vec n}_1},\,\,{{\vec n}_2}} \right)} \right| = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_1}.{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|.\left| {{{\vec n}_2}} \right|}}\)

Cách giải:

\({\Delta _1}:\,\,2x - 5y + 15 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{{\Delta _1}}} = \left( {2;\,\, - 5} \right)\)

\({\Delta _2}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\vec u_{{\Delta _2}}} = \left( { - 2;\,\,5} \right)\)\( \Rightarrow {\vec n_{{\Delta _2}}} = \left( {5;\,\,2} \right)\)

\(\cos \left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right)\)\( = \cos \varphi  = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_{{\Delta _1}}},\,\,{{\vec n}_{{\Delta _1}}}} \right)} \right|\)\( = \dfrac{{\left| {2.5 + \left( { - 5} \right).2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{5^2} + {2^2}} }} = 0\)

\( \Rightarrow \cos \varphi  = 0 \Rightarrow \varphi  = {90^0}\).

Chọn B.

Câu 13 (TH) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Khoảng cách từ điểm \({M_0}\left( {{x_0},\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) được tính bằng công thức:

\(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cách giải:

\(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {3.3 + 4.\left( { - 1} \right) + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }}\)\( = \dfrac{{15}}{5} = 3\)

Chọn C.

Câu 14 (TH) - Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 đến 180 độ

Phương pháp:

Biến đổi \(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow  - \pi  < \alpha  - \pi  <  - \dfrac{\pi }{2}\). Sau đó sử dụng bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác.

Cách giải:

Ta có :

\(0 < \alpha  < \dfrac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow  - \pi  < \alpha  - \pi  <  - \dfrac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow \cos \left( {\alpha  - \pi } \right) < 0\)

\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.

\(0 < \alpha  + \pi  < \dfrac{\pi }{2}\)\( \Rightarrow \pi  < \alpha  + \pi  < \dfrac{{3\pi }}{2}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}\left( {\alpha  + \pi } \right) < 0\\\sin \left( {\alpha  + \pi } \right) < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{tan}}\left( {\alpha  + \pi } \right) > 0\\\cot \left( {\alpha  + \pi } \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Đáp án B và D đúng ; Đáp án C sai.

Chọn C.

Câu 15 (TH): - Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Phương pháp:

Giải từng bất phương trình sau đó kết hợp tập nghiệm của hai bất phương trình đó.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 \le 0\\{x^2} - 1 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0\\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \le x \le 2\\ - 1 \le x \le 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).

Chọn A.

Câu 16 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Hai bất phương trình được gọi là tương đương nếu nó có cùng tập nghiệm.

Cách giải:

*) Xét đáp án A

+) \(x - 2 \le 0 \Leftrightarrow x \le 2\)

+) \({x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 2 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \le 2\)

Vậy cặp bất phương trình \(x - 2 \le 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) \le 0\) tương đương.

*) Xét đáp án B

+) \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)

+) \({x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 2 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x \ge 2\end{array} \right.\)

Vậy cặp bất phương trình \(x - 2 \ge 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) \ge 0\) không tương đương.

*) Xét đáp án C

+) \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\)

+) \({x^2}\left( {x - 2} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x - 2 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 2\)

Vậy cặp bất phương trình \(x - 2 < 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) > 0\) không tương đương.

*) Xét đáp án D

+) \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\)

+) \({x^2}\left( {x - 2} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x - 2 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\x < 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x < 2\end{array} \right.\)

Vậy cặp bất phương trình \(x - 2 < 0\) và \({x^2}\left( {x - 2} \right) < 0\) không tương đương.

Chọn A.

Câu 17 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Biến đổi bất phương trình \(\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 2} \right| \ge 3\) về dạng \(\left| {x + 1} \right| \ge 3 + \left| {x - 2} \right|\). Sau đó, bình phương hai vế để giải bất phương trình.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 2} \right| \ge 3\\ \Leftrightarrow \left| {x + 1} \right| \ge \left| {x - 2} \right| + 3\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\left( {\left| {x - 2} \right| + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ge {\left( {x - 2} \right)^2} + 6\left| {x - 2} \right| + 9\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 \ge {x^2} - 4x + 4 + 6\left| {x - 2} \right| + 9\\ \Leftrightarrow 2x + 1 + 4x - 4 - 9 \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow 6x - 12 \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow 6\left( {x - 2} \right) \ge 6\left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow x - 2 \ge \left| {x - 2} \right|\\ \Leftrightarrow x - 2 \ge 0\\ \Leftrightarrow x \ge 2\end{array}\)

\( \Rightarrow x \in \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\)

Vậy  tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {x + 1} \right| - \left| {x - 2} \right| \ge 3\) là \(S = \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\).

Chọn A.

Câu 18 (TH) - Phương trình đường tròn

Phương pháp:

\(I\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) khi và chỉ khi \(AI = BI = CI\).

Cách giải:

Gọi \(I\left( {a;\,\,b} \right)\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Khi đó, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}AI = BI\\BI = CI\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 3} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a + 4b = 0\\8a - 8b = 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow I\left( {2;\,\, - 2} \right)\), \(R = AI = \sqrt {{{\left( {2 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 1} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\) có tâm \(I\left( {2;\,\, - 2} \right)\) và \(R = \sqrt {10} \) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\)

Chọn C.

Câu 19 (TH): - Bất phương trình

Phương pháp:

\(\sqrt {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \) xác định khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \ge 0\\g\left( x \right) \ne 0\end{array} \right.\)

Cách giải:

Bất phương trình \(\sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}}  < x + 1\) xác định khi và chỉ khi :

 \(\,\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\\dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge  - 1\end{array} \right.\)

Vậy \(D = \left[ { - 1;\,\, + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Chọn D.

Câu 20 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Giải bất phương trình, từ đó tìm \(a\) và \(b\) để tính giá trị biểu thức \(b - a\).

Cách giải:

Bất phương trình: \(\left( {2x + 8} \right)\left( {1 - x} \right) > 0\)

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, tập nghiệm của bất phương trình \(\left( {2x + 8} \right)\left( {1 - x} \right) > 0\) là \(S = \left( { - 4;\,\,1} \right)\).

\( \Rightarrow a =  - 4;\,\,b = 1\)

\( \Rightarrow b - a = 1 - \left( { - 4} \right) = 5\)

Chọn C.

Câu 21 (TH): - Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 đến 180 độ

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\) để tìm \(\cos \alpha \) (chú ý bảng xét dấu các giá trị lượng giác).

Cách giải:

Áp dụng công thức: \({\sin ^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha \)\( = 1 - {\left( {\dfrac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \dfrac{{25}}{{169}}\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha  = \dfrac{5}{{13}}\\\cos \alpha  =  - \dfrac{5}{{13}}\end{array} \right.\)

Mà \(\dfrac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) nên \(\cos \alpha  < 0\), do đó \(\cos \alpha  =  - \dfrac{5}{{13}}\).

Chọn C.

Câu 22 (TH): - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng:

+ Nếu \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} \ne \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}}\) thì hai đường thẳng cắt nhau.

+ Nếu \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} \ne \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\) thì hai đường thẳng song song.

+ Nếu \(\dfrac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \dfrac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \dfrac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\) thì hai đường thẳng trùng nhau.

+ Nếu \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\) thì hai đường thẳng vuông góc

Cách giải:

\({d_1}:\,\,5x - 3y + 5 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_1} = \left( {5;\,\, - 3} \right)\)

\({d_2}:\,\,3x + 5y - 2 = 0x\)\( \Rightarrow {\vec n_2} = \left( {3;\,\,5} \right)\)

\( \Rightarrow {\vec n_1}\,.\,\,{\vec n_2}\)\( = 5.3 + \left( { - 3} \right).5\)\( = 0\)

\( \Rightarrow {d_1}\) vuông góc \({d_2}\).

Chọn B.

Câu 23 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải và biện luận bất phương trình.

Cách giải:

+) \(m = 0\), bất phương trình trở thành: \(0x > 3 \Leftrightarrow 0 > 3\) (vô lý)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình vô nghiệm khi \(m = 0\).

+) \(m \ne 0\), ta có: \(mx > 3 \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{m}\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của BPT là \(S = \left( {\dfrac{3}{m};\,\, + \infty } \right)\).

Kết luận:

+ Với \(m = 0\): Bất phương trình vô nghiệm

+ Với \(m \ne 0\): Bất phương trình có tập nghiệm là \(S = \left( {\dfrac{3}{m};\,\, + \infty } \right)\).

Chọn C.

Câu 24 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Giải bất phương trình và xác định các giá trị nguyên thuộc tập nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

\({x^2} - x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\\x = 4\end{array} \right.\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình \({x^2} - x - 12 \le 0\) là \(S = \left[ { - 3;\,\,4} \right]\).

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}\).

Vậy bất phương trình có \(8\) nghiệm nguyên.

Chọn A.

Câu 25 (TH) - Phương trình đường tròn

Phương pháp:

Phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với các số \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn điều kiện \({a^2} + {b^2} > c\).

Cách giải:

+) Xét đáp án A: \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0\)

Ta có: \(a = 1,\,\,b = 1,\,\,c = 2\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = c\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 2 = 0\) không phải là phương trình của một đường tròn.

+) Xét đáp án B: \({x^2} + {y^2} - 6y + 4 = 0\)

Ta có: \(a = 0,\,\,b = 3,\,\,c = 0\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - 6y + 4 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {0;\,\,3} \right),\,\,R = \sqrt 5 \).

+) Xét đáp án C: \(2{x^2} + 2{y^2} - 8 = 0\)

Ta có: \(a = 0,\,\,b = 0,\,\,c =  - 8\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 8 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {0;\,\,0} \right),\,\,R = 2\).

+) Xét đáp án D: \(2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 2y + 2 = 0\)

Ta có: \(a = 4,\,\,b = 1,\,\,c = 2\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} > c\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow 2{x^2} + 2{y^2} - 8x - 2y + 2 = 0\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {2;\,\,\dfrac{1}{2}} \right),\,\,R = \dfrac{{\sqrt {13} }}{2}\).

Chọn A.

Câu 26 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Tìm ĐKXĐ, quy đồng và giải bất phương trình.

Cách giải:

ĐKXĐ: \(x \ne 2\)

\(\begin{array}{l}\,\dfrac{3}{{2 - x}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{2 - x}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - 2 + x}}{{2 - x}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 + x}}{{2 - x}} < 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 + x > 0\\2 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 + x < 0\\2 - x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x > 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x <  - 1\\x < 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ \( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\,\, - 1} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\).

Chọn C.

Câu 27 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Với \(a > 0\), \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le a\)\( \Leftrightarrow  - a \le f\left( x \right) \le a\) và giải bất phương trình, xác định nghiệm nguyên thuộc tập nghiệm.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {2x - 3} \right| \le 1\\ \Leftrightarrow  - 1 \le 2x - 3 \le 1\\ \Leftrightarrow 2 \le 2x \le 4\\ \Leftrightarrow 1 \le x \le 2\end{array}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2} \right\}\).

Tổng bình phương các nghiệm của bất phương trình là: \({1^2} + {2^2} = 5\)

Chọn B.

Câu 28 (TH) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Gọi phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\) (với \(a\) là hệ số góc). Từ yêu cầu của đề bài để tìm  \(a,\,\,b\).

Cách giải:

Gọi phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(y = ax + b\)

+) \(d\) có hệ số góc \(k =  - 2\) nên \(a =  - 2\) \(\left( 1 \right)\)  

+) \(d\) đi qua \(A\left( {3;\,\, - 2} \right)\) nên ta có: \( - 2 = 3a + b\) \(\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\)vào \(\left( 2 \right)\)ta được: \( - 2 = 3.\left( { - 2} \right) + b \Leftrightarrow b = 4\)

\( \Rightarrow \) PTTQ của đường thẳng \(d\) có dạng :

 \(y =  - 2x + 4\)\( \Leftrightarrow  - 2x - y + 4 = 0\)

\( \Rightarrow {\vec n_d} = \left( { - 2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow {\vec u_d} = \left( {1;\,\, - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \) PTTS của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {3;\,\, - 2} \right)\) nhận \({\vec u_d} = \left( {1;\,\, - 2} \right)\) là VTCP có dạng là :  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y =  - 2 - 2t\end{array} \right.\)

Chọn B.

Câu 29 (TH) - Phương trình bậc hai

Phương pháp:

\(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\)

Cách giải:

 \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow {x^2} - bx + 3 = 0\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} - 12 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b \ge 2\sqrt 3 \\b \le  - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow b \in \left( { - \infty ;\,\, - 2\sqrt 3 } \right] \cup \left[ {2\sqrt 3 ;\,\, + \infty } \right)\)

Chọn A.

Câu 30 (VD): - Cung và góc lượng giác

Phương pháp:

Sử dụng tính chất tam giác đều, định nghĩa góc nội tiếp, góc ở tâm của đường tròn.

Cách giải:

Tam giác đều có góc ở đỉnh là \({60^0}\) nên góc ở tâm là \({120^0}\) tương ứng \(\dfrac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Chọn D.

Câu 31 (TH) - Công thức lượng giác

Phương pháp:

Sử dụng công thức \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) và \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) để tìm \({\sin ^2}\alpha \), \({\cos ^2}\alpha \).

Cách giải:

Theo đề bài: \(\tan \alpha  = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = 2\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 4\)\( \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = 4{\cos ^2}\alpha \)

Ta lại có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Rightarrow 5{\cos ^2}\alpha  = 1\)\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha  = \dfrac{1}{5}\)\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\)

\(P = {\cos ^2}\alpha  - {\sin ^2}\alpha \)\( = \dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{5} =  - \dfrac{3}{5}\)

Vậy \(P =  - \dfrac{3}{5}\) khi \(\tan \alpha  = 2\).

Chọn C.

Câu 32 (TH) - Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Phương pháp:

Giải từng bất phương trình, từ đó tìm điều kiện của \(m\) để hệ bất phương trình có nghiệm.

Cách giải:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x \ge {\left( {x + 1} \right)^2}\\x - m < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x \ge {x^2} + 2x + 1\\x < m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x < m\end{array} \right.\)

Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m > 1\).

Kết hợp với điều kiện \(m < 2019,\,\,m \in \mathbb{Z}\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\1 < m < 2019\end{array} \right.\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {2;\,\,3; \ldots ;\,\,2018} \right\}\).

Vậy có \(2017\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Chọn B.

Câu 33 (TH) - Dấu của tam thức bậc hai

Phương pháp:

Sử dụng các định lý về dấu của tam thức bậc hai.

Cách giải:

\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\, > 0\) đúng \(\forall x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  < 0\end{array} \right.\).

Chọn C.

Câu 34 (TH) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

\(A \in {\Delta _1}\)\( \Rightarrow d\left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right) = d\left( {A,\,\,{\Delta _2}} \right)\)

Công thức tính khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :\,\,ax + by + c = 0\).

\(d\left( {M,\,\,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Cách giải:

Lấy \(A\left( {1;\,\,0} \right) \in {\Delta _1}:\,\,3x + 2y - 3 = 0\).

\(d\left( {{\Delta _1},\,\,{\Delta _2}} \right) = d\left( {A,\,\,{\Delta _2}} \right)\)\( = \dfrac{{\left| {3.1 + 2.0 + 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} }}\)\( = \dfrac{5}{{\sqrt {13} }} = \dfrac{{5\sqrt {13} }}{{13}}\)

Chọn D.

Câu 35 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Tìm ĐKXĐ và giải bất phương trình bằng cách đặt \(t = \sqrt x  + \sqrt {4 - x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\).

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\)

Đặt \(t = \sqrt x  + \sqrt {4 - x} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\( \Rightarrow {t^2} = x + 2.\sqrt x .\sqrt {4 - x}  + 4 - x\)

\( \Leftrightarrow {t^2} = 2\sqrt {x\left( {4 - x} \right)}  + 4\)\( = 2\sqrt {4x - {x^2}}  + 4\)

Bất phương trình trở thành:

\(t + {t^2} - 4 \ge 2 \Leftrightarrow {t^2} + t - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 2\\t \le  - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp với điều kiện ta được \(t \ge 2\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}}  + 4 \ge 4\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4x - {x^2}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {4x - {x^2}}  \ge 0\\ \Leftrightarrow 4x - {x^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x \le 4\end{array}\)

\( \Rightarrow x \in \left[ {0;\,\,4} \right]\)\( \Rightarrow a = 0;\,\,b = 4\)

Thay \(a = 0,\,\,b = 4\) vào biểu thức \(P = {a^{2019}} + {b^{2019}}\) ta được: \(P = {0^{2019}} + {4^{2019}}\)\( = {\left( {{2^2}} \right)^{2019}} = {2^{4038}}\)

Chọn B.

Câu 36 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Tìm ĐKXĐ sau đó bình phương hai vế.

\(\sqrt A  < B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B > 0\\A \ge 0\\A < {B^2}\end{array} \right.\)

Cách giải:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 2 \ge 0\\x - 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ge 2\\x \ge 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \ge 3\)

\(\begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  > \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 3} \\ \Leftrightarrow x - 1 > x - 2 + x - 3 + 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}  < 4 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - x > 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\\4\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) < {\left( {4 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge 3\end{array} \right.\\4{x^2} - 20x + 24 < 16 - 8x + {x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 4\\\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\x \ge 3\end{array} \right.\\3{x^2} - 12x + 8 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 2\\3 \le x < 4\end{array} \right.\\\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3} < x < \dfrac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x \in \left( {\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};2} \right] \cup \left[ {3;\dfrac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\end{array}\)

Mà \(x \in {\mathbb{Z}^ + }\) và \(x \ge 3\) nên \(x = 3\).

Chọn B.

Câu 37 (TH) - Công thức lượng giác

Phương pháp:

Sử dụng công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biệt.

Cách giải:

Với \(\alpha  \in \mathbb{R}\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = \cos \left( {\alpha  - \dfrac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha  - \pi } \right)\\P = \cos \left[ { - \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right] + \sin \left[ { - \left( {\pi  - \alpha } \right)} \right]\\P = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin \left( {\pi  - \alpha } \right)\\P = \sin \alpha  - \sin \alpha \\P = 0\end{array}\)

Vậy \(P = 0\).

Chọn D.

Câu 38 (TH): - Bất phương trình

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu để giải bất phương trình. Từ tập nghiệm của bất phương trình tìm giá trị nguyên âm lớn nhất, giá trị nguyên dương nhỏ nhất.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}\left( {3x - 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) > 0\end{array}\)

Ta có bảng xét dấu:

\( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left( {1;\,\,2} \right) \cup \left( {2;\,\, + \infty } \right)\)

Giá trị nguyên âm lớn nhất của \(x\) là \( - 3\).

Giá trị nguyên dương nhỏ nhất của \(x\) là \(3\).

\( \Rightarrow \) Tích của chúng là \(3.\left( { - 3} \right) =  - 9\).

Chọn D.

Câu 39 (TH) - Hệ trục tọa độ

Phương pháp:

+ Biểu diễn các đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ

+ Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

+ Xác định tọa độ các đỉnh của miền nghiệm đó, thay vào \(F\left( {x;\,\,y} \right) = x + 2y\) và tìm giá trị lớn nhất.

Cách giải:

Quan sát đồ thị, ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng (ngũ giác \(OABCD\)).

Khi đó, ta có các đỉnh \(O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {1;\,\,0} \right),\,\,B\left( {4;\,\,3} \right),\)\(C\left( {2;\,\,4} \right),\,\,D\left( {0;\,\,4} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( {0;\,\,0} \right) = 0\\F\left( {1;\,\,0} \right) = 1\\F\left( {4;\,\,3} \right) = 10\\F\left( {2;\,\,4} \right) = 10\\F\left( {0;\,\,4} \right) = 8\end{array} \right.\\ \Rightarrow M = 10\end{array}\)

Chọn A.

Câu 40 (TH) - Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp:

\(I\left( { - a;b} \right) \in {d_1}:\,\,3x - y - 1 = 0\)\( \Rightarrow I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right)\)

Kết hợp với điều kiện \(IA = d\left( {I,\,\,{d_2}} \right)\) để tìm \(a\).

Cách giải:

Vì \(I\left( { - a;\,\,b} \right),\,\,a > 0\) thuộc đường thẳng \({d_1}\) nên \(I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right)\).

Khoảng cách từ \(I\left( { - a;\,\,3a - 1} \right)\) đến đường thẳng \({d_2}:\,\,x + y - 2 = 0\) là:

\(d\left( {I,\,\,{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| { - a - 3a - 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| { - 4a - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\)

\(I\left( { - a;\,\, - 3a - 1} \right),\,\,A\left( {2;\,\, - 1} \right)\)\( \Rightarrow IA = \sqrt {{{\left( {2 + a} \right)}^2} + 9{a^2}} \)

Vì đường tròn \(\left( I \right)\) đi qua \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) nên \(IA = d\left( {I,\,\,{d_2}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{{\left( {2 + a} \right)}^2} + 9{a^2}}  = \dfrac{{\left| { - 4a - 3} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {2 + a} \right)^2} + 9{a^2} = \dfrac{{16{a^2} + 24a + 9}}{2}\\ \Leftrightarrow 4 + 4a + {a^2} + 9{a^2} = \dfrac{{16{a^2} + 24a + 9}}{2}\\ \Leftrightarrow 8 + 8a + 20{a^2} = 16{a^2} + 24a + 9\\ \Leftrightarrow 4{a^2} - 16a - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{4 + \sqrt {17} }}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\a = \dfrac{{4 - \sqrt {17} }}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Rightarrow a = \dfrac{{4 + \sqrt {17} }}{2} \in \left( {4;\,\,5} \right)\end{array}\)

Chọn B.

Câu 41 (VD) - Công thức lượng giác

Phương pháp:

Sử dụng công thức lượng giác của các cung liên quan đặc biệt.

Cách giải:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\left( {\cot {{44}^0} + \tan {{226}^0}} \right)\cos {{406}^0}}}{{\cos {{316}^0}}} - \cot {72^0}\cot {18^0}\\P = \dfrac{{ - \left( {\tan {{46}^0} + \tan {{46}^0}} \right)\sin {{316}^0}}}{{\cos {{316}^0}}} - \cot {72^0}\tan {72^0}\\P =  - \left( {\tan {{46}^0} + \tan {{46}^0}} \right)\tan {316^0} - 1\\P =  - 2\tan {46^0}\tan {136^0} - 1\\P = 2\tan {46^0}\tan {44^0} - 1\\P = 2\tan {46^0}\cot {46^0} - 1\\P = 2 - 1 = 1\end{array}\)

Vậy \(P = 1\).

Chọn A.

Câu 42 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Tìm ĐKXĐ và đặt \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), sau đó giải bất phương trình tìm \(a\) và \(b\).

Cách giải:

ĐKXĐ: \(x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(\sqrt {{x^2} - x + 1}  = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - x = {t^2} - 1\\ \Rightarrow x\left( {x - 1} \right) = {t^2} - 1\end{array}\)

Bất phương trình trở thành:

 \(2\left( {{t^2} - 1} \right) + 1 > t \Leftrightarrow 2{t^2} - t - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t <  - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\\t > 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {{x^2} - x + 1}  > 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 > 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - x > 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < 0\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow a = 0,\,\,b = 1\)

\( \Rightarrow P = a.b = 0.1 = 0\)

Chọn A.

Câu 43 (TH) - Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp:

Xác định tâm và bán kính của \(\left( C \right)\).

Giả sử \(d\,{\rm{//}}\,d':3x - y + c = 0\). Dây cung có độ dài lớn nhất là đường kính \( \Rightarrow d\left( {I,\,\,d'} \right) = 0\). Từ đó tìm được \(c\).

Cách giải:

\(\left( C \right):\,\,{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm T鈓}\nolimits} \,I\left( { - 1;\,\,2} \right)\\R = 2\end{array} \right.\)

Giả sử đường thẳng \(d'\,\) song song với \(d:3x - y + 2 = 0\) có dạng \(3x - y + c = 0\)

Vì dây cung có độ dài lớn nhất là đường kính nên \(d'\,\) đi qua tâm \(I\left( { - 1;\,\,2} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {I,\,\,d'} \right) = 0\)\( \Rightarrow 3.\left( { - 1} \right) - 2 + c = 0\)\( \Leftrightarrow c = 5\)

Vậy \(d':\,\,3x - y + 5 = 0\).

Chọn A.

Câu 44 (TH) - Phương trình đường thẳng

Phương pháp:

Gọi \(d':y = kx + a\) là đường thẳng cần tìm.

Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: \(\cos \left( {d,\,\,d'} \right) = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}}\)

Cách giải: 

Gọi \(d':y = kx + a\) là đường thẳng cần tìm.

Vì \(d'\) đi qua \(A\left( {0;\,\,1} \right)\) nên ta có: \(1 = k.0 + a \Leftrightarrow a = 1\)

Ta có:

\(d:3x - 2y - 5 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_d} = \left( {3;\,\, - 2} \right)\)

\(d':kx - y + 1 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{d'}} = \left( {k;\,\, - 1} \right)\)

Theo đề bài, ta có:

\(\cos \left( {d,\,\,d'} \right) = \cos {45^0} = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_d}.{{\vec n}_{d'}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_d}} \right|.\left| {{{\vec n}_{d'}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {3.k + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{k^2} + 1} }}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\left| {3.k + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{k^2} + 1} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\left| {3k + 2} \right|}}{{\sqrt {13\left( {{k^2} + 1} \right)} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13{k^2} + 13}}\\ \Leftrightarrow 26{k^2} + 26 = 36{k^2} + 48k + 16\\ \Leftrightarrow 10{k^2} + 48k - 10 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {k + 5} \right)\left( {5k - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k + 5 = 0\\5k - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k =  - 5\\k = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn B.

Câu 45 (TH) - Công thức lượng giác

Phương pháp:

Cách giải:

\(\begin{array}{l}P = {\sin ^6}\alpha  + {\cos ^6}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = \left( {{{\sin }^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha } \right) + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = {\sin ^4}\alpha  - {\sin ^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = {\left( {{{\sin }^2}\alpha  + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)^2} - 3{\sin ^2}\alpha .c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P = 1 - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha \\ \Leftrightarrow P =  - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha  + 1\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{3}{4}{\sin ^2}2\alpha  + m\sin 2\alpha  + 1 - P = 0\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi :

 \(\begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4.\left( { - \dfrac{3}{4}} \right).\left( {1 - P} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 3 - 3P \ge 0\\ \Leftrightarrow P \le \dfrac{{{m^2} + 3}}{3}\end{array}\)

Chọn C.

Câu 46 (TH) - Ôn tập đại số

Phương pháp:

Biến đổi \(S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}\) về dạng \(S = 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x}\) sau đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}S = \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y} = 1.\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}} \right)\\ = \left( {x + y} \right).\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{y}} \right)\\ = 1 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} + 4 = 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x}\end{array}\)

Vì \(x,\,\,y\) là hai số thực dương nên \(\dfrac{{4x}}{y},\,\,\dfrac{y}{x}\)dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số \(\dfrac{{4x}}{y}\) và \(\dfrac{y}{x}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 2.\sqrt {\dfrac{{4x}}{y}.\dfrac{y}{x}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 4\\ \Leftrightarrow 5 + \dfrac{{4x}}{y} + \dfrac{y}{x} \ge 9\\ \Leftrightarrow S \ge 9\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4x}}{y} = \dfrac{y}{x}\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} = {y^2}\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = y\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{3}\\y = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(\min S = 9\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3};\,y = \dfrac{2}{3}\).

Chọn B.

Câu 47 (TH) - Bất phương trình

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để giải bất phương trình. Từ đó, tìm các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn điều kiện \(\left| x \right| \le 2019\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{x^4} - 1 > {x^2} + 2x\\ \Leftrightarrow {x^4} > {x^2} + 2x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} > {\left( {x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^4} - {\left( {x + 1} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 > 0\left( {do{x^2} + x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x > \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}; + \infty } \right)\end{array}\)

Ta lại có: \(\left| x \right| \le 2019\) nên \( - 2019 \le x \le 2019\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\).\( \Rightarrow x \in \left\{ { - 2019;\, - 2018; \ldots ; - 1;2; \ldots ;2018;2019} \right\}\)

Do đó, số nghiệm nguyên của bất phương trình là: \(2019 + 2018 = 4037\) (phần tử)

Chọn C.

Câu 48 (TH) - Ôn tập chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phương pháp:

Gọi \({\vec n_{AB}} = \left( {u;\,\,v} \right)\) với \({u^2} + {v^2} > 0\).

Chứng minh được: \(\cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AB}}.\,{{\vec n}_{BN}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AB}}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_{BN}}} \right|}}\) và \(\cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{BM}}{{BN}}\) để \(\dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AB}}.\,{{\vec n}_{BN}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AB}}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_{BN}}} \right|}} = \dfrac{{BM}}{{BN}}\)

Cách giải:

Đường thẳng \(BN\) có phương trình \(2x + 9y - 34 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{BN}} = \left( {2;\,\,9} \right)\).

Gọi \({\vec n_{AB}} = \left( {u;\,\,v} \right)\) với \({u^2} + {v^2} > 0\).

\( \Rightarrow \cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{\left| {{{\vec n}_{AB}}.\,{{\vec n}_{BN}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{AB}}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_{BN}}} \right|}}\)\( = \dfrac{{\left| {2a + 9b} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {9^2}} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {2a + 9b} \right|}}{{\sqrt {85} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }}\)  \(\left( 1 \right)\)

Xét tam giác \(BMN\) vuông tại \(M\) ta có:

\(B{N^2} = B{M^2} + M{N^2}\)\( = \dfrac{{A{B^2}}}{4} + A{B^2} = \dfrac{5}{4}A{B^2}\)\( \Rightarrow BN = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}AB\)

\(\cos \left( {AB,\,\,BN} \right) = \dfrac{{BM}}{{BN}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AB}}{{AB.\sqrt {\dfrac{5}{4}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)  và \(\left( 2 \right)\)  ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left| {2u + 9v} \right|}}{{\sqrt {85} .\sqrt {{u^2} + {v^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow {\left( {2u + 9v} \right)^2} = 17\left( {{u^2} + {v^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 4{u^2} + 36uv + 81{v^2} = 17{u^2} + 17{v^2}\\ \Leftrightarrow 13{u^2} - 36uv - 64{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 13{u^2} - 52uv + 16uv - 64{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 13u\left( {u - 4v} \right) + 16b\left( {u - 4v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {u - 4v} \right)\left( {13u + 16v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u - 4v = 0\\13u + 16v = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4v\\13u =  - 16v\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 4v\\u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v\end{array} \right.\end{array}\)

Trường hợp 1: \(u = 4v\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {4v;\,\,v} \right) = \left( {4;\,\,1} \right)\)

PTTQ của đường thẳng đi qua \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( {4;\,\,1} \right)\) là VTPT có dạng là :

\(\begin{array}{l}4.\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x + y = 0\end{array}\)

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 34 = 0\\4x + y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 9y = 34\\4x + y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 4\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)\)

\( \Rightarrow a =  - 1,\,b = 4\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( { - 1} \right)^2} + {4^2} = 17\)

Trường hợp 2: \(u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v\)\( \Rightarrow {\vec n_{AB}} = \left( {u =  - \dfrac{{16}}{{13}}v;\,\,v} \right)\)\( = \left( { - \dfrac{{16}}{{13}};\,\,1} \right)\)

PTTQ của đường thẳng đi qua \(M\left( { - \dfrac{1}{2};\,\,2} \right)\) nhận \({\vec n_{AB}} = \left( { - \dfrac{{16}}{{13}};\,\,1} \right)\) là VTPT có dạng là :

\(\begin{array}{l} - \dfrac{{16}}{{13}}.\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right) + 1.\left( {y - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow  - \dfrac{{16}}{{13}}x + y - \dfrac{{34}}{{13}} = 0\end{array}\)

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\,\left\{ \begin{array}{l}2x + 9y - 34 = 0\\ - \dfrac{{16}}{{13}}x + y - \dfrac{{34}}{{13}} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 9y = 34\\ - \dfrac{{16}}{{13}}x + y = \dfrac{{34}}{{13}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{5}\\y = \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\,\left( {ktm} \right)\)

\( \Rightarrow \) Loại

Chọn C.

Câu 49 (TH): - Bất phương trình

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp giải và biện luận bất phương trình (bất phương trình \(mx + 4 > 0\) có nghiệm đúng khi và chỉ khi hàm số \(y = mx + 4\) nằm phía trên trục hoành.

Cách giải:

\(\left| x \right| < 8 \Leftrightarrow  - 8 < x < 8\) hay \(x \in \left( { - 8;\,\,8} \right)\).

Bất phương trình \(mx + 4 > 0\) có nghiệm đúng với \(\forall x \in \left( { - 8;\,\,8} \right)\) khi và chỉ khi đồ thị của hàm số \(y = mx + 4\) trên khoảng \(\left( { - 8;\,\,8} \right)\) nằm ở phía trên trục hoành và hai đầu mút của đoạn thẳng cũng nằm phía trên trục hoành \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8m + 4 \ge 0\\8m + 4 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{2}\\m \ge  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(m \in \left[ { - \dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{1}{2}} \right]\).

Chọn D.

Câu 50 (TH) - Bất đẳng thức

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức \({x^2} + {y^2} \ge 2xy\) và \(xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\).

Cách giải:

\(\begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge 2xy\end{array}\)

\({\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ge 4xy\)\( \Rightarrow xy \le \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}x{}^2 + {y^2} = x + y + xy\\ \Leftrightarrow x + y = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy \ge {\left( {x + y} \right)^2} - \dfrac{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow x + y \ge \dfrac{1}{4}{\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {x + y} \right) \ge {\left( {x + y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le x + y \le 4\\ \Leftrightarrow 0 \le S \le 4\end{array}\)

Chọn D.

Loigiaihay.com