Đề thi giữa kì 2 Toán 7 - Đề số 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

I. TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm)

Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.

Câu 1. Thay tỉ số 1,25 : 3,45 bằng tỉ số giữa các số nguyên ta được

A. 12,5 : 34,5;

B. 29 : 65;

C. 25 : 69;

D. 1 : 3.

Câu 2. Biết 7x = 4y và y – x = 24. Khi đó, giá trị của x, y là

A. x = −56, y = −32;

B. x = 32, y = 56;

C. x = 56, y = 32;

D. x = 56, y = −32.

Câu 3. Biết y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k = 2. Khi x = –3 thì giá trị của y bằng bao nhiêu?

A. –6;

B. 0;

C. –9;

D. –1.

Câu 4. Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau và khi x = –12 thì y = 8. Khi x = 3 thì y bằng:

A. –32;

B. 32;

C. –2;

D. 2.

Câu 5. Biểu thức đại số biểu thị “Lập phương của tổng của hai số x và y” là

A. x³ – y³;

B. x + y;

C. x³ + y³;

D. (x + y)³.

Câu 6. Một tam giác có ba góc có số đo tỉ lệ với 3,4,5. Số đo ba góc của tam giác lần lượt là:

A. 45⁰; 60⁰; 75⁰;

B. 30⁰; 60⁰; 90⁰;

C. 20⁰; 60⁰; 100⁰;

D. Một kết quả khác.

Câu 7. Cho tam giác \(MNP\) có \(MN = MP\). Gọi \(A\) là trung điểm của \(NP\). Nếu \(\angle NMP = {50^0}\) thì số đo của \(\angle MPN\) là:

A. \({100^0}\).

B. \({130^0}\).

C. \({50^0}\).

D. \({65^0}\).

Câu 8. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB > AC} \right)\). Tia phân giác của góc \(B\) cắt \(AC\) ở \(D\). Kẻ \(DH\) vuông góc với \(BC\).Chọn câu đúng.

A. \(BH = BD\).

B. \(BH > BA\).

C. \(BH < BA\).

D. \(BH = BA\).

Câu 9. Cho tam giác MNP có: \(\widehat N = 70^\circ ;\widehat P = 55^\circ \). Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. MP < MN;

B. MP = MN;

C. MP > MN;

D. Không đủ dữ kiện so sánh.

Câu 10. Cho tam giác MNP có: MN < MP, MD ⊥ NP. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. DN = DP;

B. MD < MP;

C. MD > MN;

D. MN = MP.

Câu 11. Bộ ba độ dài đoạn thẳng nào sau đây không thể tạo thành một tam giác?

A. 18cm; 28cm; 10cm;

B. 5cm; 4cm; 6cm;

C. 15cm; 18cm; 20cm;

D. 11cm; 9cm; 7cm.

Câu 12. Cho G là trọng tâm tam giác MNP có trung tuyến MK. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\dfrac{{MG}}{{GK}} = \dfrac{1}{2}\);

B. \(\dfrac{{MG}}{{MK}} = \dfrac{1}{3}\) ;

C. \(\dfrac{{KG}}{{MK}} = \dfrac{1}{3}\);

D. \(\dfrac{{MG}}{{MK}} = \dfrac{2}{3}\).

II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1. (2 điểm) Tìm \(x\) biết:

a) \(x - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{ - 9}}{{10}}\)

b) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 5}}{6}\)

c) \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{2 - x}}{{ - 2}}\)

Bài 2. (2 điểm) Tính chu vi của hình chữ nhật biết rằng chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt tỉ lệ với \(5\,\,;\,\,3\) và hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 8 cm.

Bài 3. (2,5 điểm) Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường trung tuyến \(AM\). Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(DM = MA\).

a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta DMC\).

b) Trên tia đối của tia \(CD\), lấy điểm \(I\) sao cho \(CI = CA\), qua điểm \(I\) vẽ đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(E\). Chứng minh \(\Delta ACE = \Delta ICE\), từ đó suy ra \(\Delta ACE\) là tam giác vuông cân.

Bài 4. (0,5 điểm) Cho x,y,z thỏa mãn:\(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7}\) với x,y,z khác 0. Tính:

\(P = \dfrac{{x - y + z}}{{x + 2y - z}}\).

Lời giải

I. Trắc nghiệm

Câu 1.

Phương pháp

Nhân cả tử và mẫu của phân số với 1 số khác 0, ta được phân số có giá trị không đổi.

Lời giải

1,25 : 3,45 = 125 : 345 = 25 : 69.

Chọn C.

Câu 2.

Phương pháp

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Lời giải

Vì 7x = 4y nên \(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{y}{7} = \dfrac{{y - x}}{{7 - 4}} = \dfrac{{24}}{3} = 8\)

Do đó x = 4 . 8 = 32; y = 7 . 8 = 56.

Chọn B.

Câu 3.

Phương pháp

Đại lượng \(y\) tỉ lệ thuận với \(x\) theo hệ số tỉ lệ \(k\) thì \(y = kx\)

Lời giải

Khi x = - 3 thì \(y = kx = 2.( - 3) =  - 6\)

Chọn A.

Câu 4.

Phương pháp

Tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch: tích 2 giá trị tương ứng của 2 đại lượng luôn không đổi (bằng hệ số tỉ lệ)

Cách giải:

Hệ số tỉ lệ là: -12 . 8 = -96.

Khi x = 3 thì y = -96 : 3 = -32.

Chọn A

Câu 5.

Phương pháp

Mô tả

Cách giải:

Biểu thức đại số biểu thị “Lập phương của tổng của hai số x và y” là (x + y)³

Chọn D

Câu 6.

Phương pháp

Áp dụng:

Định lí Tổng định lí 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ.

Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Cách giải:

Gọi số đo 3 góc của tam giác lần lượt là a,b,c.

Vì tổng 3 góc trong một tam giác là 180 độ nên \(a + b + c = 180^\circ \).

Do số đo ba góc tỉ lệ với 3;4;5 nên \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5}\).

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5} = \dfrac{{a + b + c}}{{3 + 4 + 5}} = \dfrac{{180}}{{12}} = 15\\ \Rightarrow a = 15.3 = 45;\\b = 15.4 = 60;\\c = 15.5 = 75.\end{array}\)

Chọn A.

Câu 7.

Phương pháp:

Vận dụng định lí:

+ Nếu ba cạnh của tam giác bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\).

Cách giải:

* Vì \(A\) là trung điểm của \(NP\) nên \(AN = AP\) (tính chất trung điểm của đoạn thẳng)

* Xét \(\Delta AMN\) và \(\Delta AMP\) có:

\(MN = MP\) (giả thiết)

\(AN = AP\) (chứng minh trên)

\(AM\) là cạnh chung

Suy ra \(\Delta AMN = \Delta AMP\,\left( {c.c.c} \right)\)

Do đó, \(\angle MNA = \angle MPA\) (hai góc tương ứng) hay \(\angle MNP = \angle MPN\)

Xét \(\Delta MNP\) có: \(\angle MNP + NPM + \angle NMP = {180^0}\) (tổng ba góc trong một tam giác)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle MPN + \angle MPN + {50^0} = {180^0}\\ \Rightarrow 2\angle MPN = {180^0} - {50^0}\\ \Rightarrow 2\angle MPN = {130^0}\\ \Rightarrow \angle MPN = {130^0}:2\\ \Rightarrow \angle MPN = {65^0}\end{array}\)

Vậy \(\angle MPN = {65^0}\)

Chọn D.

Câu 8.

Phương pháp:

Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn, từ đó suy ra cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

Cách giải:

Xét \(\Delta BAD\) và \(\Delta BHD\) có:

                 \(\angle BAD = \angle BHD = 90^\circ \)

                  \(BD\) chung

                 \(\angle ABD = \angle HBD\) (vì \(BD\) là tia phân giác \(\angle B\))

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow BA = BH\)(hai cạnh tương ứng).

Chọn D.

Câu 9.

Phương pháp: Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác, tính góc M.

Dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.

Cách giải:

Xét tam giác MNP có: \(\widehat M + \widehat N + \widehat P = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)

\( \Rightarrow \widehat M = 180^\circ  - \widehat N - \widehat P = 180^\circ  - 70^\circ  - 55^\circ  = 55^\circ \)

Ta được: \(\widehat M = \widehat P\)

Mà cạnh NP là cạnh đối của góc M, MN là cạnh đối của góc P.

Vậy NP = MN.

Chọn B.

Câu 10:

Phương pháp: Sử dụng mối quan hệ đường xiên và hình chiếu.

Sử dụng quan hệ đường vuông góc và đường xiên.

Cách giải:

Trong tam giác MNP có MN < MP, hình chiếu của MN và MP trên cạnh NP lần lượt là ND và PD.

Do đó, ND < PD.

Ta có: MD < MP (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

Chọn B

Câu 11.

Phương pháp: Bất đẳng thức tam giác: Kiểm tra tổng độ dài 2 cạnh nhỏ hơn có lớn hơn độ dài cạnh lớn nhất không. Nếu không thì bộ 3 độ dài đó không tạo được thành tam giác.

Cách giải:

Vì 18 + 10 = 28 nên không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Do đó, bộ ba độ dài đoạn thẳng 18 cm; 28 cm; 10 cm không thể tạo thành một tam giác.

Chọn A.

Câu 12.

Phương pháp

Nếu \(\Delta ABC\) có trung tuyến \(AM\) và trọng tâm \(G\) thì \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác MNP nên G là giao điểm của ba đường trung tuyến nên 

\(MG = \dfrac{2}{3}MK;GK = \dfrac{1}{3}MK;MG = 2GK\)

Chọn C.

II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm)

Bài 1. (1,5 điểm)

a) + b) Thực hiện các phép toán với số hữu tỉ.

c) Vận dụng định nghĩa hai phân thức bằng nhau.

Cách giải:

a) \(x - \dfrac{2}{5} = \dfrac{{ - 9}}{{10}}\)

\(\begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 9}}{{10}} + \dfrac{2}{5}\\x = \dfrac{{ - 9 + 2.2}}{{10}}\\x = \dfrac{{ - 5}}{{10}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array}\)

Vậy \(x = - \dfrac{1}{2}\)

b) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 5}}{6}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 5}}{6} - \dfrac{3}{4}\\\dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 5.2 - 3.3}}{{12}}\\\dfrac{1}{4}x = \dfrac{{ - 19}}{{12}}\\x = \dfrac{{ - 19}}{{12}}:\dfrac{1}{4}\\x = \dfrac{{ - 19}}{3}\end{array}\)

Vậy \(x = \dfrac{{ - 19}}{3}\)

c) \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{2 - x}}{{ - 2}}\)

\(\begin{array}{l} - 2\left( {x - 1} \right) = 3\left( {2 - x} \right)\\ - 2x + 2 = 6 - 3x\\ - 2x + 3x = 6 - 2\\x = 4\end{array}\)

Vậy \(x = 4\)

Câu 2 (1 điểm)

Phương pháp:

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \(x,y\) (cm) (điều kiện: \(x,y > 0\))

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \(x,y\) (cm) (điều kiện: \(x,y > 0\))

Theo đề bài: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó lần lượt tỉ lệ với \(5\,\,;\,\,3\)  nên ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3}\)

Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là \(8\) cm nên \(2x - 3y = 8\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\dfrac{x}{5} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{2x}}{{10}} = \dfrac{{3y}}{9} = \dfrac{{2x - 3y}}{{10 - 9}} = \dfrac{8}{1} = 8\)

Khi đó, \(\dfrac{x}{5} = 8 \Rightarrow x = 40\) (tmđk)

 \(\dfrac{y}{3} = 8 \Rightarrow y = 24\) (tmđk)

Chu vi của hình chữ nhật là: \(2\left( {x + y} \right) = 2\left( {40 + 24} \right) = 128\) (cm)

Bài 5. (2,0 điểm)

Phương pháp:

a) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta AMB = \Delta DMC\left( {c.g.c} \right)\)

b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle EIC = {90^0}\), từ đó chứng minh được \(\Delta ACE = \Delta ICE\)(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle ICE\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta ACE\) vuông cân tại \(A\left( {\angle EAC = {{90}^0}} \right)\)

Cách giải:

a) \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,AM\) là đường trung tuyến\( \Rightarrow CM = BM\)

Ta có: \(\angle CMD = \angle AMB\) (hai góc đối đỉnh)

Xét \(\Delta AMB\) và \(\Delta DMC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}CM = BM\left( {cmt} \right)\\\angle CMD = \angle AMB\left( {cmt} \right)\\AM = MD\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AMB = \Delta DMC\left( {c.g.c} \right)\)

b) Ta có: \(\Delta AMB = \Delta DMC\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle ABM = \angle DCM\) (hai góc tương ứng)

Mà hai góc \(\angle ABM;\angle DCM\) ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow AB//CD\)

Mà \(AB \bot AC(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\)

\( \Rightarrow CD \bot AC\) tại \(C \Rightarrow EI \bot CD\) tại \(I\) (vì \(EI//AC\)) hay \(\angle EIC = {90^0}\)

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ICE\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle EAC = \angle EIC = {90^0}\\CE\,\,chung\\AC = IC\left( {gt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ACE = \Delta ICE\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle ICE\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\angle ICE = \angle AEC\) (vì \(AB//CD\))

\( \Rightarrow \angle ACE = \angle AEC\)

\( \Rightarrow \Delta ACE\) vuông cân tại \(A\left( {\angle EAC = {{90}^0}} \right)\)

Bài 4. (0,5 điểm)

Phương pháp:

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = k\)

Cách giải:

Đặt \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{7} = k \Rightarrow x = 2k;y = 5k;z = 7k.\)

Ta có: \(P = \dfrac{{x - y + z}}{{x + 2y - z}} = \dfrac{{2k - 5k + 7k}}{{2k + 2.5k - 7k}} = \dfrac{{4k}}{{5k}} = \dfrac{4}{5}.\)         

Vậy \(P = \dfrac{4}{5}.\)