Đề kiểm tra 1 tiết Toán 12 chương 7: Phương pháp tọa độ trong không gian - Đề số 2
Đề bài
Cho \(\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\) là cặp VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(\left( {1;2;0} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;11; - 7} \right)\)
-
C.
\(\left( {4; - 22; - 14} \right)\)
-
D.
\(\left( {2;2; - 4} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1 - 2} \right)\); \(\overrightarrow b = \left( {2;1; - 1} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
-
A.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{6}\)
-
B.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{{36}}\)
-
C.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{6}\)
-
D.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{{36}}\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {m;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {0;n;p} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), giá trị \(T = m - n + p\) bằng:
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\( - 1\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j\). Tọa độ của điểm $M$ là
-
A.
$M\left( {0;2;1} \right)$
-
B.
$M\left( {1;2;0} \right)$
-
C.
$M\left( {2;0;1} \right)$
-
D.
$M\left( {2;1;0} \right)$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right)\) và \(B\left( {0;1;2} \right)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \)
-
A.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;0} \right)\)
-
B.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\)
-
C.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right)\)
-
D.
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20\).
-
A.
$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 5\sqrt 2 \)
-
B.
$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \)
-
C.
$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$
-
D.
$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \)
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 3;2;1} \right)\) và \(B\left( {5; - 4;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.
-
A.
\(\left( P \right):\,\,4x - 3y - 7 = 0\)
-
B.
\(\left( P \right):\,\,4x - 3y + 7 = 0\)
-
C.
\(\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z - 16 = 0\)
-
D.
\(\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z + 16 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây?
-
A.
$\left( {1; - 1;1} \right)$ và \(\left( {0;1;2} \right)\)
-
B.
$\left( {1;2;0} \right)$ và \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
-
C.
$\left( {0;1;2} \right)$ và \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
-
D.
$\left( {0;1;2} \right)$ và \(\left( {1;0;3} \right)\)
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:
-
A.
\(6\pi \)
-
B.
\(12\pi \)
-
C.
\(3\pi \)
-
D.
\(10\pi \)
Xét đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và mặt cầu $(S)$ có phương trình \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\). Nhận xét nào sau đây đúng.
-
A.
$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và \(AB < 2R\)
-
B.
$d$ không có điểm chung với $(S)$
-
C.
$d$ tiếp xúc với $(S)$
-
D.
$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B $ và $AB$ đạt GTLN.
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M(1;-1;2)\) và chứa trục Ox. Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
-
A.
\(M(0;4;-2)\).
-
B.
\(N(2;2;-4)\).
-
C.
\(P(-2;2;4)\).
-
D.
\(Q(0;4;2)\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?
-
A.
$m = - 16$.
-
B.
$m = 16$.
-
C.
$m = 4$.
-
D.
$m = - 4$.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}\). Đường thẳng d có một VTCP là:
-
A.
\(\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;-2 \right)\).
-
B.
\(\overrightarrow{a}=\left( -1;1;2 \right)\).
-
C.
\(\overrightarrow{a}=\left( 3;2;1 \right)\).
-
D.
\(\overrightarrow{a}=\left( 3;-2;1 \right)\).
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 3,1,2} \right),{\rm{ }}B\left( {1, - 1,0} \right)$. Phương trình mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm là:
-
A.
\(( - 2,0,2)\)
-
B.
\(( - 1,0,1)\)
-
C.
\((1,0,1)\)
-
D.
\((1,0, - 1)\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-\,2}\) đi qua điểm
-
A.
\(M\left( 1;-\,1;0 \right).\)
-
B.
\(N\left( -\,1;1;0 \right).\)
-
C.
\(Q\left( -\,1;-\,2;2 \right).\)
-
D.
\(P\left( 1;2;-\,2 \right).\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
-
A.
\(M(0;1;0)\)
-
B.
\(M(0;2;1)\)
-
C.
\(M(0;1;2)\)
-
D.
\(M(0; - 1;1)\)
Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là
-
A.
$\left( {0; - 9;9} \right)$
-
B.
$\left( {0; - 4;4} \right)$
-
C.
$\left( {0;4; - 4} \right)$
-
D.
$\left( {0;9; - 9} \right)$
Trong không gian với hệ tọa độ , cho \(A\left( {2;5; - 3} \right);\,\,B\left( { - 2;1;1} \right);\,\,C\left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng (P). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {c > 0} \right)\) thuộc \((\alpha ) : 3x+4y+5z+1=0\) sao cho có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
-
A.
S=18.
-
B.
S=32.
-
C.
S=20.
-
D.
S=26.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và \(\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}\).
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng \({d_3}\) qua \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và vuông góc với cả \({d_1},\,\,{d_2}.\)
-
A.
\(\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{{17}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{9} = \dfrac{{z - 2}}{3}\)
-
D.
\({d_3}:\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 14}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\)
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( 1;\ 2;\ -1 \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):\ 2x-y+2z-1=0\) theo một đường tròn bán kính bằng \(\sqrt{8}\) có phương trình là:
-
A.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3\)
-
B.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\)
-
C.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\)
-
D.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z\) . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với \(\Delta \) và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là
-
A.
\(2x - 2y + z - 2 = 0\) và \(2x - 2y + z + 16 = 0\)
-
B.
\(2x - 2y + z + 2 = 0\) và \(2x - 2y + z - 16 = 0\)
-
C.
\(2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0\) và \(2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\)
-
D.
\(2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0\) và \(2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phươn trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho \(T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
\(\left( P \right):\,\,6x - 3y + 2z - 6 = 0\)
-
B.
\(\left( P \right):\,\,6x + 3y + 2z - 18 = 0\)
-
C.
\(\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 14 = 0\)
-
D.
\(\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 10 = 0\)
Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:
-
A.
$ - 10$
-
B.
$0$
-
C.
$7$
-
D.
$ - 7$
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
-
A.
\(m=-4.\)
-
B.
\(m=0.\)
-
C.
\(m=4.\)
-
D.
\(m=7.\)
Lời giải và đáp án
Cho \(\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\) là cặp VTCP của mặt phẳng \(\left( P \right)\). Véc tơ nào sau đây là một véc tơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?
-
A.
\(\left( {1;2;0} \right)\)
-
B.
\(\left( {2;11; - 7} \right)\)
-
C.
\(\left( {4; - 22; - 14} \right)\)
-
D.
\(\left( {2;2; - 4} \right)\)
Đáp án : B
Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là cặp VTCP của \(\left( P \right)\) thì \(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right]\) là một VTPT của \(\left( P \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow a = \left( {5;1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)\)
\(\left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 5\end{array}&\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5\\ - 1\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {4;22; - 14} \right)\)
Do đó \(\overrightarrow n = \left( {4;22; - 14} \right)\) là một VTPT của \(\left( P \right)\) nên \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow n = \left( {2;11; - 7} \right)\) cũng là một VTPT của \(\left( P \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1;1 - 2} \right)\); \(\overrightarrow b = \left( {2;1; - 1} \right)\). Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)
-
A.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{6}\)
-
B.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{{36}}\)
-
C.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{5}{6}\)
-
D.
\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{1}{{36}}\)
Đáp án : C
Cho \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right),\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2};{b_3}} \right)\), khi đó \(\cos \left( {a,b} \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} }}\)
Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{1.2 + 1.1 + \left( { - 2} \right)\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{5}{6}\)
Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {m;2;1} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {0;n;p} \right)\). Biết \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \), giá trị \(T = m - n + p\) bằng:
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\( - 1\)
Đáp án : D
Hai véc tơ bằng nhau nếu tọa độ tương ứng của chúng bằng nhau
Do \(\overrightarrow u = \overrightarrow v \) nên \(m = 0,n = 2,p = 1\).
Vậy \(m - n + p = 0 - 2 + 1 = - 1\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho điểm $M$ thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j\). Tọa độ của điểm $M$ là
-
A.
$M\left( {0;2;1} \right)$
-
B.
$M\left( {1;2;0} \right)$
-
C.
$M\left( {2;0;1} \right)$
-
D.
$M\left( {2;1;0} \right)$
Đáp án : D
Sử dụng định nghĩa điểm \(M\left( {x;y;z} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = x.\overrightarrow i + y.\overrightarrow j + z.\overrightarrow k \)
Ta có: \(\overrightarrow {OM} = 2\vec i + \vec j \Rightarrow \overrightarrow {OM} = 2.\vec i + 1.\vec j + 0.\overrightarrow k \Leftrightarrow M\left( {2;1;0} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right)\) và \(B\left( {0;1;2} \right)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \)
-
A.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;1;0} \right)\)
-
B.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;2} \right)\)
-
C.
\(\overrightarrow {AB} = \left( {1;0; - 2} \right)\)
-
D.
\(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;2} \right)\)
Đáp án : D
Cho điểm \(A\left( {{x_A},{y_A},{z_A}} \right);B\left( {{x_B},{y_B},{z_B}} \right)\) thì \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A};{z_B} - {z_A}} \right)\)
\(A\left( {1;1;0} \right),B\left( {0;1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {0 - 1;1 - 1;2 - 0} \right) = \left( { - 1;0;2} \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20\).
-
A.
$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 5\sqrt 2 \)
-
B.
$I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \)
-
C.
$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$
-
D.
$I\left( {1, - 2,4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \)
Đáp án : D
Mặt cầu có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R \)
Phương trình có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) với \(a = 1,b = - 2,c = 4\) và \(R = 2\sqrt 5 \)
có tâm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 3;2;1} \right)\) và \(B\left( {5; - 4;1} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB.
-
A.
\(\left( P \right):\,\,4x - 3y - 7 = 0\)
-
B.
\(\left( P \right):\,\,4x - 3y + 7 = 0\)
-
C.
\(\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z - 16 = 0\)
-
D.
\(\left( P \right):\,\,4x - 3y + 2z + 16 = 0\)
Đáp án : A
Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm 1 VTPT.
Gọi I là trung trực của AB ta có \( \Rightarrow I\left( {1; - 1;1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {8; - 6;0} \right) = - 2\left( {4; - 3;0} \right) \Rightarrow \left( P \right)\) đi qua I và nhận \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3;0} \right)\). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là \(4\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 - t\\z = 2 + t\end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua các điểm nào sau đây?
-
A.
$\left( {1; - 1;1} \right)$ và \(\left( {0;1;2} \right)\)
-
B.
$\left( {1;2;0} \right)$ và \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
-
C.
$\left( {0;1;2} \right)$ và \(\left( {0; - 1;1} \right)\)
-
D.
$\left( {0;1;2} \right)$ và \(\left( {1;0;3} \right)\)
Đáp án : D
Đưa phương trình về phương trình chính tắc rồi kiểm tra các điểm thuộc đường thẳng.
Đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).
Thay các điểm ở mối đáp án vào phương trình trên ta thấy chỉ có đáp án D là cả hai điểm đều thỏa mãn phương trình.
Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-4y-20=0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn có chu vi bằng:
-
A.
\(6\pi \)
-
B.
\(12\pi \)
-
C.
\(3\pi \)
-
D.
\(10\pi \)
Đáp án : A
Gọi I; R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu (S), giả sử mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cách I một khoảng là d và cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r, khi đó ta có \({{R}^{2}}={{r}^{2}}+{{d}^{2}}\).
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;2;0 \right)\), bán kính R = 5.
\(d\left( I;\left( \alpha \right) \right)=\frac{\left| 1+2.2+7 \right|}{\sqrt{1+4+4}}=4=d\).
Do đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x+2y-2z+7=0\) cắt nhau theo một đường tròn (C) có bán kính \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=3\).
Vậy chu vi đường tròn (C) bằng \(2\pi r=6\pi \).
Xét đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và mặt cầu $(S)$ có phương trình \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\). Nhận xét nào sau đây đúng.
-
A.
$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và \(AB < 2R\)
-
B.
$d$ không có điểm chung với $(S)$
-
C.
$d$ tiếp xúc với $(S)$
-
D.
$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B $ và $AB$ đạt GTLN.
Đáp án : D
Xét số giao điểm của $d$ và $(S)$ bằng cách tìm số nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\end{array} \right.\)
Giải hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{t^2} + {(2t)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\5{t^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \pm \sqrt {\dfrac{4}{5}} \\x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\)
Suy ra $d $ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt.
Mặt khác $(S)$ có tâm \(I(1;2;3) \in d\) nên $d$ qua tâm của mặt cầu.
Do đó $AB$ đạt GTLN.
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M(1;-1;2)\) và chứa trục Ox. Điểm nào trong các điểm sau đây thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
-
A.
\(M(0;4;-2)\).
-
B.
\(N(2;2;-4)\).
-
C.
\(P(-2;2;4)\).
-
D.
\(Q(0;4;2)\).
Đáp án : B
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)nhận \(\overrightarrow{i}(1;0;0),\,\,\overrightarrow{OM}=(1;-1;2)\) là cặp vecto chỉ phương \(\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i};\overrightarrow{OM} \right]\) là một vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)
\(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M(1;-1;2)\) và chứa trục Ox\(\Rightarrow \left( \alpha \right)\)nhận \(\overrightarrow{i}(1;0;0),\,\,\overrightarrow{OM}=(1;-1;2)\) là cặp vecto chỉ phương \(\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left[ \overrightarrow{i};\overrightarrow{OM} \right]=(0;-2;-1)\) là một vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\).
\(\left( \alpha \right)\): \(0.(x-0)-2.(y-0)-1\left( z-0 \right)=0\Leftrightarrow 2y+z=0\)
Dễ dàng kiểm tra \(N(2;2;-4)\in \left( \alpha \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x + 4y - 4z - m = 0}}$ có bán kính $R = 5$. Tìm giá trị của $m$?
-
A.
$m = - 16$.
-
B.
$m = 16$.
-
C.
$m = 4$.
-
D.
$m = - 4$.
Đáp án : B
Ta có: phương trình mặt cầu có 2 dạng:
Dạng 1: ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}b} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} = {\rm{ }}{R^2}\left( {R{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính là $R$ .
Dạng 2: ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}2ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2by{\rm{ }}-{\rm{ }}2cz{\rm{ }} + {\rm{ }}d{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {c^2} > {\rm{ }}d} \right)$ có tâm là $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} $
Ta có: $I(1; - 2;2),R = \sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2} + {2^2} + m} = \sqrt {9 + m} $
Ta có: $R = 5 \Leftrightarrow \sqrt {9 + m} = 5 \Leftrightarrow m = 16$
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}\). Đường thẳng d có một VTCP là:
-
A.
\(\overrightarrow{a}=\left( 1;-1;-2 \right)\).
-
B.
\(\overrightarrow{a}=\left( -1;1;2 \right)\).
-
C.
\(\overrightarrow{a}=\left( 3;2;1 \right)\).
-
D.
\(\overrightarrow{a}=\left( 3;-2;1 \right)\).
Đáp án : D
Đường thẳng \(d:\,\,\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( a;b;c \right)\)
Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow{u}=\left( 3;-2;1 \right)\)
Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( { - 3,1,2} \right),{\rm{ }}B\left( {1, - 1,0} \right)$. Phương trình mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm là:
-
A.
\(( - 2,0,2)\)
-
B.
\(( - 1,0,1)\)
-
C.
\((1,0,1)\)
-
D.
\((1,0, - 1)\)
Đáp án : B
- Tâm mặt cầu chính là trung điểm của \(AB\).
Mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính có tọa độ tâm $I$ là trung điểm của $AB$. Suy ra ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \dfrac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = - 1\\{y_I} = 0\\{z_I} = 1\end{array} \right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-\,2}\) đi qua điểm
-
A.
\(M\left( 1;-\,1;0 \right).\)
-
B.
\(N\left( -\,1;1;0 \right).\)
-
C.
\(Q\left( -\,1;-\,2;2 \right).\)
-
D.
\(P\left( 1;2;-\,2 \right).\)
Đáp án : A
Thay tọa độ các điểm ở đáp án vào phương trình đường thẳng
Ta có \(d:\left\{ \begin{align} x=1+t \\ y=-\,1+2t \\ z=-\,2t \\ \end{align} \right.,\) với \(t=0\) \(\Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( 1;-\,1;0 \right).\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
-
A.
\(M(0;1;0)\)
-
B.
\(M(0;2;1)\)
-
C.
\(M(0;1;2)\)
-
D.
\(M(0; - 1;1)\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} \)
$M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, giả sử \(M(0;m;n)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \\MB = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(m - 0)}^2} + {{(n - 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + {{(n - 1)}^2} + 4} \end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = {(m - 2)^2} + {(n + 1)^2} + {m^2} + {(n - 1)^2} + 4\\ = 2{m^2} - 4m + 2{n^2} + 10 = 2({m^2} - 2m + 1) + 2{n^2} + 8\\ = 2{(m - 1)^2} + 2{n^2} + 8 \ge 8\end{array}\)
\( \Rightarrow \min \left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(M(0;1;0)\)
Cho tam giác $ABC$ biết $A\left( {2;4; - 3} \right)$ và trọng tâm $G$ của tam giác có toạ độ là $G\left( {2;1;0} \right)$. Khi đó \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) có tọa độ là
-
A.
$\left( {0; - 9;9} \right)$
-
B.
$\left( {0; - 4;4} \right)$
-
C.
$\left( {0;4; - 4} \right)$
-
D.
$\left( {0;9; - 9} \right)$
Đáp án : A
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), tìm \(\overrightarrow {AM} \) qua \(\overrightarrow {AG} \).
- Biểu diễn tổng hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) qua \(\overrightarrow {AM} \) suy ra kết luận.
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \).
Do tính chất trọng tâm có \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG} \). Suy ra\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 3\overrightarrow {AG} \).
Mà \(\overrightarrow {AG} = \left( {2 - 2;1 - 4;0 - ( - 3)} \right) = \left( {0; - 3;3} \right)\). Suy ra \(3\overrightarrow {AG} = (0; - 9;9)\).
Trong không gian với hệ tọa độ , cho \(A\left( {2;5; - 3} \right);\,\,B\left( { - 2;1;1} \right);\,\,C\left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng (P). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {c > 0} \right)\) thuộc \((\alpha ) : 3x+4y+5z+1=0\) sao cho có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)
-
A.
S=18.
-
B.
S=32.
-
C.
S=20.
-
D.
S=26.
Đáp án : D
Vì \({d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}\) nên AB cắt (P) tại điểm I \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right.\)
Vì \({d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}\) nên AB cắt (P) tại điểm I \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI} = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI} = - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 4; - 1;3} \right)\\I\left( { - 1;2;0} \right)\end{array} \right.\)
Vì có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gắp 3 lần khoảng cách từ B đến (P) nên I, C, D thẳng hàng hay \(D = IC \cap (\alpha )\)
+ Nếu \(I\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right. \)
Thay các tọa độ trên vào phương trình \((\alpha) \) ta được:
$3\left( {2 + 6t} \right) + 4t + 5\left( {1 - 2t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 12t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$
\(\Rightarrow D\left( { - 4; - 1;3} \right)\) ( thỏa mãn )
+ Nếu \(I( - 1;2;0) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right. \)
Thay các tọa độ trên vào phương trình \((\alpha) \) ta được:
$3\left( {2 + 3t} \right) + 4.(-2t) + 5\left( {1 +t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$
\(\Rightarrow D\left( { - 4;4; - 1} \right)\) ( loại)
Vậy \(D\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4\\b = - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 16 + 1 + 9 = 26\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 - 4t\\z = 6 + 6t\end{array} \right.\) và \(\,{d_2}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 2}}{{ - 5}}\).
Trong các phương trình sau đây, phương trình nào là phương trình của đường thẳng \({d_3}\) qua \(M\left( {1; - 1;2} \right)\) và vuông góc với cả \({d_1},\,\,{d_2}.\)
-
A.
\(\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 3}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{{17}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{{14}} = \dfrac{{y + 1}}{9} = \dfrac{{z - 2}}{3}\)
-
D.
\({d_3}:\dfrac{{x - 1}}{7} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 14}} = \dfrac{{z - 2}}{9}\)
Đáp án : B
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1},{d_2}\) thì \(d\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\)
Đường \({d_1}\) có VTCP \(\overrightarrow a = \left( {1; - 4;6} \right)\); \({d_2}\) có VTCP \(\overrightarrow b = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Vì \({d_3}\) vuông góc với \({d_1};\,\,{d_2}\) nên có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {14;17;9} \right)\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\)
Đáp án : B
Xét từng đáp án:
- Xác định tâm mặt cầu và thay vào mặt phẳng.
- Tính bán kính mặt cầu và kiểm tra khoảng cách từ tâm đến các điểm \(A,B,C\) bằng bán kính.
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâm \({I_A}(1, - 1,1)\) và \({R_A} = \sqrt {13} \)
+ B cho mặt cầu tâm \({I_B}(2, - 1,3)\) và \({R_B} = 4\)
+ C cho mặt cầu tâm \({I_C}( - 2,1, - 3)\) và \({R_C} = 2\sqrt 3 \)
+ D cho mặt cầu tâm \({I_D}(1, - 1,1)\) và \({R_D} = \sqrt 5 \)
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) hay không. Loại được đáp án C.
- Ta thấy\({I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\), nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với \({R_A},{R_D}\) .
Có \(IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {21} \) . Ta thấy \(IM \ne {R_A} \ne {R_D}\). Loại A và D
Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm \(I\left( 1;\ 2;\ -1 \right)\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right):\ 2x-y+2z-1=0\) theo một đường tròn bán kính bằng \(\sqrt{8}\) có phương trình là:
-
A.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3\)
-
B.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9\)
-
C.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\)
-
D.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3\)
Đáp án : C
+) Giả sử mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tâm I có bán kính R theo giao tuyến là một đường tròn tâm O có bán kính r. Khi đó ta có: \(OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)\) và \(R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}.\)
+) Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( a;\ b;\ c \right)\) và có bán kính \(R\) có phương trình: \({{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( y-b \right)}^{2}}+{{\left( z-c \right)}^{2}}={{R}^{2}}.\)
Theo đề bài ta có: \(r=\sqrt{8}.\)
\(OI=d\left( I;\ \left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-2+2.\left( -1 \right)-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| -3 \right|}{\sqrt{9}}=1.\)
Khi đó ta có: \(R=\sqrt{O{{I}^{2}}+{{r}^{2}}}=\sqrt{1+8}=3.\)
Ta có phương trình mặt cầu cần tìm là: \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z\) . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với \(\Delta \) và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là
-
A.
\(2x - 2y + z - 2 = 0\) và \(2x - 2y + z + 16 = 0\)
-
B.
\(2x - 2y + z + 2 = 0\) và \(2x - 2y + z - 16 = 0\)
-
C.
\(2x - 2y - 3\sqrt 8 + 6 = 0\) và \(2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\)
-
D.
\(2x - 2y + 3\sqrt 8 - 6 = 0\) và \(2x - 2y - 3\sqrt 8 - 6 = 0\)
Đáp án : B
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu thì khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu
Tâm mặt cầu $I(1;-2;1)$, bán kính $R=3$.
Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $\Delta $ có phương trình dạng $2{\rm{x - }}2y + z + D = 0$
Vì $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu nên ${\rm{d}}\left( {I,\left( P \right)} \right) = R \Rightarrow \left| {D - 7} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{D = 2}\\{D = - 16}\end{array}} \right.$
Phương trình $(P)$ là $2x-2y+z+2=0; 2x-2y+z-16=0$.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phươn trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho \(T = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
\(\left( P \right):\,\,6x - 3y + 2z - 6 = 0\)
-
B.
\(\left( P \right):\,\,6x + 3y + 2z - 18 = 0\)
-
C.
\(\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 14 = 0\)
-
D.
\(\left( P \right):\,\,3x + 2y + z - 10 = 0\)
Đáp án : C
+) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) ở dạng đoạn chắn.
+) Sử dụng BĐT Bunhiacopxki.
+) Tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra.
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);\,\,B\left( {0;b;0} \right);\,\,C\left( {0;0;c} \right)\), khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
\(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\begin{array}{l}1 = {\left( {\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}} \right)^2} \le \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)\left( {{1^2} + {2^2} + {3^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} \ge \frac{1}{{14}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \ge \frac{1}{{14}} \Rightarrow {T_{\min }} = \frac{1}{{14}}\end{array}\)
Dấu = xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{1}{{2b}} = \frac{1}{{3c}}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{a}{2}\\c = \frac{a}{3}\\\frac{1}{a} + \frac{4}{a} + \frac{9}{a} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 7\\c = \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,\,\frac{x}{{14}} + \frac{y}{7} + \frac{{3z}}{{14}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 14 = 0\)
Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:
-
A.
$ - 10$
-
B.
$0$
-
C.
$7$
-
D.
$ - 7$
Đáp án : A
Bốn điểm \(A,B,C,D\) được gọi là đổng phẳng nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0\)
Có
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 1;0 - 2;2 - 5} \right) = \left( {0; - 2; - 3} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {4 - 1;7 - 2; - 1 - 5} \right) = \left( {3;5; - 6} \right)\\\overrightarrow {AD} = \left( {4 - 1;1 - 2;a - 5} \right) = \left( {3; - 1;a - 5} \right)\end{array} \right.\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 3}\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 6}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&5\end{array}} \right|} \right) = \left( {27; - 9;6} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = \left( {27; - 9;6} \right).\left( {3; - 1;a - 5} \right) = 60 + 6a\end{array}$
$A,B,C,D$ đồng phẳng khi \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow 60 + 6a = 0 \Leftrightarrow a = - 10\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
-
A.
\(m=-4.\)
-
B.
\(m=0.\)
-
C.
\(m=4.\)
-
D.
\(m=7.\)
Đáp án : C
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;1;-2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{7}\).
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.
Ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4\)